🟢 Dễ 90 phút
Bài 8. Mẫu số liệu ghép nhóm
Học cách thu thập, phân loại và trình bày dữ liệu dưới dạng các nhóm khoảng để dễ dàng phân tích các mẫu số liệu lớn.
Chương: Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
Lý thuyết mẫu số liệu ghép nhóm
1. Khái niệm mẫu số liệu ghép nhóm
Khi mẫu số liệu có kích thước lớn hoặc các giá trị phân tán trên một dải rộng, ta thường chia mẫu số liệu thành các nhóm có dạng $[a; b)$. Mỗi nhóm như vậy gọi là một tổ.
Ví dụ: Nhóm $[160; 165)$ bao gồm các quan sát $x$ thỏa mãn $160 \le x < 165$.
2. Giá trị đại diện của nhóm
Để tính toán các số đặc trưng, người ta thay thế mỗi nhóm $[a_i; a_{i+1})$ bằng giá trị đại diện $x_i$ là trung điểm của khoảng đó.
$$x_i = \dfrac{a_i + a_{i+1}}{2}$$
Độ dài nhóm: $h = a_{i+1} - a_i$. Thường các nhóm được chia có độ dài bằng nhau.
3. Tần số và Tần số tương đối
- Tần số ($n_i$): Là số lượng các giá trị thuộc vào nhóm thứ $i$.
- Tần số tương đối ($f_i$): Là tỉ số giữa tần số nhóm và kích thước mẫu $N$. ($f_i = n_i / N$).
Bảng tần số ghép nhóm giúp tóm tắt dữ liệu một cách trực quan thông qua các khoảng số.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Xác định giá trị đại diện và độ dài nhóm
Phương pháp giải:
Tính trung điểm của khoảng $[a, b)$ và hiệu $b - a$.
Ví dụ:
Tính giá trị đại diện của nhóm $[20; 30)$.
$x = (20 + 30) / 2 = 25$.
Mẫu số liệu ghép nhóm có các tổ: $[10, 15), [15, 20), [20, 25)$. Tìm độ dài mỗi nhóm.
$h = 15 - 10 = 5$.
Nếu giá trị đại diện là $12,5$ và độ dài nhóm là $5$. Tìm khoảng của nhóm.
Đầu mút $a = 12,5 - 5/2 = 10$; $b = 12,5 + 5/2 = 15$. Nhóm là $[10; 15)$.
Dạng 2: Lập bảng tần số ghép nhóm
Phương pháp giải:
Phân loại từng dữ liệu thô vào các khoảng tương ứng và đếm số lượng.
Ví dụ:
Ghép các số liệu sau vào nhóm $[0; 5), [5; 10), [10; 15)$: 1, 4, 6, 7, 8, 12, 14.
Nhóm 1: {1, 4} (tần số 2). Nhóm 2: {6, 7, 8} (tần số 3). Nhóm 3: {12, 14} (tần số 2).
Tính tần số tương đối của nhóm 1 trong ví dụ trên.
Tổng $N = 7$. $f_1 = 2/7 \approx 28,6\%$.
Cho các nhóm lùi: $(20, 25], (25, 30], (30, 35]$. Tìm nhóm chứa giá trị $30$.
Giá trị $30$ thuộc nhóm $(25; 30]$.
Dạng 3: Đọc và phân tích bảng số liệu
Phương pháp giải:
Sử dụng các thông tin trên bảng tần số để trả lời các câu hỏi về phân bố dữ liệu.
Ví dụ:
Bảng ghi số học sinh đạt điểm $[8; 10)$ là 15 em. Tính tổng tỉ số nếu lớp có 40 em.
Tỉ lệ là $15/40 = 37,5\%$.
Xác định nhóm có tần số lớn nhất từ một bảng cho trước.
So sánh các giá trị $n_i$ trong bảng, cột nào cao nhất là nhóm đó.
Tính kích thước mẫu $N$ khi biết các tần số $4, 10, 6$.
$N = 4 + 10 + 6 = 20$.