🟡 Trung bình 90 phút
Bài 10. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Bắt đầu hành trình khám phá thế giới ba chiều thông qua các khái niệm cơ bản về điểm, đường thẳng và mặt phẳng, cùng các phương pháp xác định giao tuyến, giao điểm.
Chương: Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Lý thuyết đại cương về HHKG
1. Các tính chất thừa nhận (Tiên đề)
- Có duy nhất 1 đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt.
- Có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng.
- Nếu một đường thẳng có 2 điểm phân biệt thuộc mặt phẳng thì mọi điểm của nó đều thuộc mặt phẳng đó.
- Tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa (tạo thành đường giao tuyến).
2. Cách xác định mặt phẳng
Một mặt phẳng được xác định hoàn toàn bởi:
- Ba điểm không thẳng hàng.
- Một đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng đó.
- Hai đường thẳng cắt nhau.
- Hai đường thẳng song song.
Ký hiệu: mp($ABC$), mp($d, A$), ($d_1, d_2$), hoặc $(\alpha)$.
3. Hình chóp và hình tứ diện
- Hình tứ diện: Có 4 đỉnh là các điểm không đồng phẳng. Cả 4 mặt đều là tam giác.
- Hình chóp: Có mặt đáy là đa giác và các mặt bên là các tam giác chung đỉnh (đỉnh chóp).
Lưu ý khi vẽ hình: Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Phương pháp giải:
Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng. Đường thẳng nối hai điểm đó là giao tuyến.
Ví dụ:
Cho tứ diện $ABCD$. Tìm giao tuyến của mp($ABC$) và mp($ABD$).
Điểm chung thứ nhất là $A$, điểm chung thứ hai là $B$. Giao tuyến là đường thẳng $AB$.
Cho hình chóp $S.ABCD$ (đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song). Tìm giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$.
Điểm chung thứ nhất là $S$. Dưới mặt đáy, gọi $O = AC \cap BD$. $O$ là điểm chung thứ hai. Giao tuyến là $SO$.
Tìm giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ nếu $AB$ không song song $CD$.
$S$ là điểm chung 1. $I = AB \cap CD$ là điểm chung 2. Giao tuyến $SI$.
Dạng 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm mặt phẳng phụ $(P)$ chứa đường thẳng $d$.
Bước 2: Tìm giao tuyến $g$ của $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ cho trước.
Bước 3: Giao điểm $M = d \cap g$.
Bước 2: Tìm giao tuyến $g$ của $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ cho trước.
Bước 3: Giao điểm $M = d \cap g$.
Ví dụ:
Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm $AC$. Tìm giao điểm của $BM$ và mp($ACD$).
$M$ thuộc $AC \subset (ACD)$, vậy $M$ là giao điểm cần tìm.
Cho hình chóp $S.ABCD$, $M$ trên cạnh $SD$. Tìm giao điểm $AM \cap (SBC)$.
Sử dụng mặt phẳng phụ $(SAD)$. Giao tuyến $(SAD) \cap (SBC) = SH$. Khi đó $AM \cap SH = P$ là giao điểm.
Tìm giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha)$ khi $d$ nằm ngang.
Vẽ hình và tìm giao của $d$ với một đường thẳng nằm trong $(\alpha)$.
Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Phương pháp giải:
Chứng minh ba điểm đó cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt (cùng nằm trên giao tuyến).
Ví dụ:
Chứng minh $A, B, C$ thẳng hàng nếu chúng là các điểm chung của $(\alpha)$ và $(\beta)$.
Vì hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì chúng có duy nhất một giao tuyến đi qua các điểm đó. Vậy $A, B, C$ thuộc giao tuyến nên thẳng hàng.
Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi $I, J, K$ là giao điểm các cặp cạnh đối diện của đáy và mặt bên. Chứng minh $S, I, J$ thẳng hàng.
Chỉ ra các điểm này nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng xác định.
Ứng dụng thực tế của việc tìm giao tuyến trong kiến trúc.
Xác định đường tiếp giáp giữa hai bức tường hoặc giữa mái nhà và bức tường.