🟡 Trung bình 90 phút
Bài 20. Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Nghiên cứu tính chất đồ thị và sự biến thiên của hai loại hàm số quan trọng nhất trong việc mô tả các quy luật tự nhiên như gia tăng dân số hay phân rã chất phóng xạ.
Chương: Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Lý thuyết hàm mũ và lôgarit
1. Hàm số mũ $y = a^x$ ($a > 0, a \neq 1$)
- Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
- Tập giá trị: $(0; +\infty)$.
- Đạo hàm: $(a^x)' = a^x \ln a$; $(e^x)' = e^x$.
- Biến thiên: $a > 1$ (đồng biến), $0 < a < 1$ (nghịch biến).
- Tiệm cận: Trục $Ox$ là tiệm cận ngang.
2. Hàm số lôgarit $y = \log_a x$ ($a > 0, a \neq 1$)
- Tập xác định: $D = (0; +\infty)$.
- Tập giá trị: $\mathbb{R}$.
- Đạo hàm: $(\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a}$; $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$.
- Biến thiên: $a > 1$ (đồng biến), $0 < a < 1$ (nghịch biến).
- Tiệm cận: Trục $Oy$ là tiệm cận đứng.
3. Đồ thị và quan hệ đối xứng
Đồ thị hàm số $y = a^x$ và $y = \log_a x$ đối xứng với nhau qua đường phân giác thứ nhất $y = x$.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số
Phương pháp giải:
Với hàm $\log_a f(x)$, điều kiện là $f(x) > 0$. Với hàm mũ $a^{g(x)}$, tập xác định phụ thuộc vào $g(x)$.
Ví dụ:
Tìm TXD của $y = \ln (x-2)$.
$x-2 > 0 \Rightarrow x > 2$.
Tìm TXD của $y = \log (3 - x^2)$.
$3 - x^2 > 0 \Rightarrow -\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$.
Tìm TXD của $y = 3^{\frac{1}{x}}$.
$x \neq 0$.
Dạng 2: Tính đạo hàm hàm số mũ và logarit
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức cơ bản và hàm hợp:
$(a^u)' = u' \cdot a^u \ln a$
$(\log_a u)' = \dfrac{u'}{u \ln a}$
$(a^u)' = u' \cdot a^u \ln a$
$(\log_a u)' = \dfrac{u'}{u \ln a}$
Ví dụ:
Tính đạo hàm của $y = 3^{x^2}$.
$y' = (x^2)' \cdot 3^{x^2} \cdot \ln 3 = 2x \cdot 3^{x^2} \ln 3$.
Tính đạo hàm của $y = \ln (x^2 + 1)$.
$y' = \dfrac{(x^2+1)'}{x^2+1} = \dfrac{2x}{x^2+1}$.
Tính đạo hàm của $y = x \cdot e^x$.
$y' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(x+1)$.
Dạng 3: Khảo sát đồ thị và sự biến thiên
Phương pháp giải:
Xét cơ số $a$ so với 1 để xác định xu hướng của đồ thị.
Ví dụ:
Cho các đồ thị $y=a^x, y=b^x, y=c^x$. Làm sao để so sánh $a, b, c$?
Kẻ đường đứng $x=1$ cắt các đồ thị tại $(1, a), (1, b), (1, c)$. Điểm nào cao hơn thì cơ số đó lớn hơn.
Hàm số $y = \log_{1/2} x$ có tính chất gì?
Cơ số $1/2 < 1$ nên hàm nghịch biến, đi qua $(1, 0)$, nhận $Oy$ làm tiệm cận đứng.
Giao điểm của đồ thị hàm mũ với trục tung.
Luôn là điểm $(0, 1)$ vì $a^0 = 1$.