🟡 Trung bình 90 phút
Bài 17. Hàm số liên tục
Tìm hiểu điều kiện để một hàm số không bị ngắt quãng, đảm bảo sự trơn tru của các quá trình vật lý và ứng dụng chứng minh nghiệm phương trình.
Chương: Chương 5: Giới hạn – Hàm số liên tục
Lý thuyết hàm số liên tục
1. Hàm số liên tục tại một điểm
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ chứa $x_0$. Hàm số được gọi là liên tục tại $x_0$ nếu:
$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$
Nếu không thỏa mãn điều này, hàm số gọi là gián đoạn tại $x_0$.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
- Hàm liên tục trên khoảng $(a, b)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
- Hàm liên tục trên đoạn $[a, b]$ nếu nó liên tục trên $(a, b)$ và có:
$\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ và $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$.
3. Định lý về giá trị trung gian
Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ và $f(a) \cdot f(b) < 0$ thì tồn tại ít nhất một số thực $c \in (a; b)$ sao cho $f(c) = 0$.
Ý nghĩa: Đồ thị hàm số liên tục đi từ điểm âm sang điểm dương thì phải cắt trục hoành.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Xét tính liên tục tại một điểm
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính $f(x_0)$.
Bước 2: Tính $\lim_{x \to x_0} f(x)$.
Bước 3: So sánh. Nếu bằng nhau thì liên tục.
Bước 2: Tính $\lim_{x \to x_0} f(x)$.
Bước 3: So sánh. Nếu bằng nhau thì liên tục.
Ví dụ:
Xét tính liên tục của $f(x) = x^2$ tại $x=1$.
$f(1) = 1$. $\lim_{x \to 1} x^2 = 1$. Vì $1=1$ nên hàm liên tục tại $x=1$.
Hàm $f(x) = 1/x$ có liên tục tại $x=0$ không?
Hàm không xác định tại $x=0$, nên không liên tục tại $x=0$.
Tại sao hàm bậc nhất luôn liên tục trên $\mathbb{R}$?
Vì giới hạn tại mọi điểm bằng giá trị của hàm tại điểm đó.
Dạng 2: Tìm tham số để hàm số liên tục
Phương pháp giải:
Sử dụng điều kiện giới hạn bằng giá trị hàm hoặc giới hạn trái bằng giới hạn phải.
Ví dụ:
Tìm $m$ để $f(x) = \begin{cases} x+m & \text{khi } x \ge 0 \ 2x+1 & \text{khi } x < 0 \end{cases}$ liên tục tại $x=0$.
$f(0) = m$. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = m, \lim_{x \to 0^-} f(x) = 1$. Để liên tục thì $m=1$.
Tìm $a$ để $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}$ khi $x \neq 1$ và $f(1)=a$ liên tục.
$\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1} = 2$. Vậy $a=2$.
Giá trị của hàm tại điểm gián đoạn loại 1.
Có thể bổ sung giá trị để hàm trở nên liên tục tại đó.
Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp giải:
Đặt $f(x)$ là vế trái. Tìm hai giá trị $a, b$ sao cho $f(a) \cdot f(b) < 0$. Chỉ rõ hàm liên tục trên $[a, b]$.
Ví dụ:
Chứng minh $x^3 + x - 1 = 0$ có nghiệm trong $(0; 1)$.
$f(x) = x^3 + x - 1$ liên tục trên $[0; 1]$. $f(0) = -1, f(1) = 1$. Có $f(0)f(1) < 0$ nên có nghiệm.
Chứng minh phương trình bậc 3 luôn có ít nhất một nghiệm thực.
Do $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ và $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, đồ thị phải cắt trục hoành.
Phương trình có nghiệm hay không?
Dùng tính chất liên tục và xét dấu ở hai đầu mút.