🟡 Trung bình 90 phút
Bài 18. Lũy thừa với số mũ thực
Nâng tầm khái niệm lũy thừa từ những con số nguyên đơn giản lên các số thực bất kỳ, mở đường cho việc hiểu về sự tăng trưởng mũ.
Chương: Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Lý thuyết lũy thừa số mũ thực
1. Mở rộng khái niệm lũy thừa
- Số mũ nguyên âm: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ (với $a \neq 0$).
- Số mũ hữu tỉ: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ (với $a > 0$).
- Số mũ thực: Cho $a > 0$ và số thực $\alpha$. Lũy thừa $a^\alpha$ được xác định là giới hạn của dãy số $(a^{r_n})$ với $(r_n)$ là dãy số hữu tỉ tiến về $\alpha$.
2. Các tính chất quan trọng
Cho $a, b > 0$ và $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$:
- $a^\alpha \cdot a^\beta = a^{\alpha + \beta}$
- $a^\alpha / a^\beta = a^{\alpha - \beta}$
- $(a^\alpha)^\beta = a^{\alpha \cdot \beta}$
- $(ab)^\alpha = a^\alpha \cdot b^\alpha$
- $(a/b)^\alpha = a^\alpha / b^\alpha$
3. Quan hệ so sánh
- Nếu $a > 1$ thì $a^\alpha > a^\beta \Leftrightarrow \alpha > \beta$.
- Nếu $0 < a < 1$ thì $a^\alpha > a^\beta \Leftrightarrow \alpha < \beta$.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Rút gọn biểu thức lũy thừa
Phương pháp giải:
Đưa các cơ số về cùng một cơ số (thường là số nguyên tố), chuyển các căn thức về dạng lũy thừa số mũ hữu tỉ, sau đó áp dụng tính chất cộng/trừ số mũ.
Ví dụ:
Rút gọn $P = \dfrac{a^{\sqrt{3}+1} \cdot a^{2-\sqrt{3}}}{(a^{\sqrt{2}-1})^{\sqrt{2}+1}}$.
Tử: $a^{(\sqrt{3}+1) + (2-\sqrt{3})} = a^3$.
Mẫu: $a^{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = a^{2-1} = a^1$.
Vậy $P = a^3 / a^1 = a^2$.
Mẫu: $a^{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = a^{2-1} = a^1$.
Vậy $P = a^3 / a^1 = a^2$.
Rút gọn $B = \sqrt[4]{x \cdot \sqrt[3]{x^2 \cdot \sqrt{x}}}$.
$B = x^{1/4} \cdot x^{2/12} \cdot x^{1/24} = x^{(6+4+1)/24} = x^{11/24}$.
Cách rũ bỏ căn thức lồng nhau.
Biến đổi từ trong ra ngoài theo công thức $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$.
Dạng 2: So sánh các giá trị lũy thừa
Phương pháp giải:
Cách 1: Đưa về cùng cơ số rồi so sánh số mũ.
Cách 2: Đưa về cùng số mũ rồi so sánh cơ số.
Cách 2: Đưa về cùng số mũ rồi so sánh cơ số.
Ví dụ:
So sánh $(\sqrt{2})^{\pi}$ và $(\sqrt{2})^{3,14}$.
Cơ số $\sqrt{2} > 1$, số mũ $\pi \approx 3,14159 > 3,14$. Vậy $(\sqrt{2})^{\pi} > $(\sqrt{2})^{3,14}$.
So sánh $(\sqrt{3}-1)^{2023}$ và $(\sqrt{3}-1)^{2024}$.
Cơ số $\sqrt{3}-1 \approx 0,73 < 1$. Do $2023 < 2024$ nên $(\sqrt{3}-1)^{2023} > (\sqrt{3}-1)^{2024}$.
So sánh các số khác cơ số và khác số mũ.
Tìm hằng số trung gian hoặc dùng tính chất hàm số.
Dạng 3: Tính toán và biến đổi căn bậc n
Phương pháp giải:
Áp dụng định nghĩa và các điều kiện có nghĩa của căn bậc n (n lẻ thì xác định với mọi x, n chẵn thì x không âm).
Ví dụ:
Tính giá trị $\sqrt[3]{-27} + \sqrt[4]{16}$.
$-3 + 2 = -1$.
Rút gọn $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(a^{2/3} - \sqrt[3]{ab} + b^{2/3})$.
Đây là hằng đẳng thức tổng hai lập phương: $(\sqrt[3]{a})^3 + (\sqrt[3]{b})^3 = a + b$.
Điều kiện có nghĩa của $\sqrt[6]{x-2}$.
$x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$.