🟡 Trung bình 90 phút
Bài 13. Hai mặt phẳng song song
Khám phá cấp độ cao nhất của quan hệ song song: Sự tương xứng giữa các mặt phẳng và ứng dụng của định lý Thales trong không gian ba chiều.
Chương: Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Lý thuyết hai mặt phẳng song song
1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$:
- Cắt nhau: Có duy nhất một đường thẳng chung (giao tuyến).
- Song song: Không có điểm chung nào ($(\alpha) // (\beta)$).
- Trùng nhau: Có vô số đường thẳng chung.
2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song
Định lý 1: Nếu mặt phẳng $(\alpha)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng $(\beta)$ thì $(\alpha) // (\beta)$.
3. Tính chất và Định lý Thales
- Định lý 2: Nếu $(\alpha) // (\beta)$ thì mọi đường thẳng trong $(\alpha)$ đều song song với $(\beta)$.
- Định lý 3 (Giao tuyến song song): Nếu một mặt phẳng $(\gamma)$ cắt hai mặt phẳng song song $(\alpha)$ và $(\beta)$ thì các giao tuyến cũng song song với nhau.
- Định lý Thales: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp giải:
Chứng minh trong mặt thứ nhất có hai đường thẳng cắt nhau $a, b$ sao cho $a // (\beta)$ và $b // (\beta)$.
Ví dụ:
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh $(BA'C') // (ACD')$.
Ta có $BA' // CD'$ và $BC' // AD'$. Do $(BA'C')$ chứa hai đường cắt nhau $BA', BC'$ cùng song song mặt $(ACD')$ nên $(BA'C') // (ACD')$.
Chứng minh hai mặt đáy của hình lăng trụ song song với nhau.
Theo định nghĩa lăng trụ, các cạnh bên song song và bằng nhau, các mặt bên là hình bình hành, suy ra các cạnh tương ứng của hai đáy song song.
Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng song song.
Chúng không có điểm chung, hoặc một mặt chứa hai đường cắt nhau song song mặt kia.
Dạng 2: Tìm thiết diện song song với mặt phẳng
Phương pháp giải:
Xác định các giao tuyến dựa trên nguyên tắc: Mặt phẳng $(\alpha)$ song song mặt phẳng $(\beta)$ cắt các mặt của khối đa diện theo các đường thẳng song song.
Ví dụ:
Cho hình chóp $S.ABCD$. Mặt phẳng $(\alpha)$ qua điểm $M$ trên $SA$ và song song mặt đáy $(ABCD)$. Thiết diện là hình gì?
Các giao tuyến lần lượt song song với các cạnh đáy $AB, BC, CD, DA$. Thiết diện là hình đồng dạng với đáy.
Cho tứ diện $ABCD$. Tìm thiết diện cắt bởi mặt phẳng $(P)$ qua trọng tâm $G$ của tứ diện và song song $(BCD)$.
Thiết diện là tam giác $M N P$ với $M, N, P$ trên các cạnh $AB, AC, AD$ sao cho song song với các cạnh đáy.
Dựng thiết diện qua một đường thẳng và song song một đường thẳng khác.
Sử dụng kết hợp bài 12 và bài 13 để dựng các đường song song.
Dạng 3: Ứng dụng định lý Thales không gian
Phương pháp giải:
Áp dụng tỉ số đoạn thẳng khi có các mặt phẳng song song cắt các đường thẳng.
Ví dụ:
Ba mặt phẳng song song cắt hai đường thẳng $d, d'$ lần lượt tại $A, B, C$ và $A', B', C'$. Biết $AB=2, BC=4, A'B'=3$. Tính $B'C'$.
$AB/BC = A'B'/B'C' \Rightarrow 2/4 = 3/B'C' \Rightarrow B'C' = 6$.
Sử dụng Thales để chứng minh tỉ số thể tích (kiến thức mở rộng).
Tỉ số đoạn thẳng dẫn đến tỉ số diện tích và thể tích của các khối đa diện đồng dạng.
Trong hình hộp, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Hệ quả của các mặt đối diện song song và bằng nhau.