🟡 Trung bình 90 phút

Bài 4. Phương trình lượng giác cơ bản

Học cách giải các phương trình sin, cos, tan, cot cơ bản, nắm vững các công thức nghiệm và cách xử lý các trường hợp đặc biệt.

Chương: Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Lý thuyết phương trình lượng giác

1. Phương trình $\sin x = a$ và $\cos x = a$

Nếu $|a| > 1$: Phương trình vô nghiệm.
Nếu $|a| \le 1$: Gọi $\alpha$ là góc sao cho $\sin \alpha = a$, $\cos \beta = a$.

Công thức nghiệm:

$\sin x = \sin \alpha \iff \left[\begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array}\right.$

$\cos x = \cos \alpha \iff x = \pm \alpha + k2\pi$

2. Phương trình $\tan x = a$ và $\cot x = a$

Hai phương trình này luôn có nghiệm với mọi $a$.

Công thức nghiệm:

$\tan x = \tan \alpha \iff x = \alpha + k\pi$

$\cot x = \cot \alpha \iff x = \alpha + k\pi$

Lưu ý: Chu kỳ của Tan và Cot là $k\pi$, của Sin và Cos là $k2\pi$.

3. Các trường hợp đặc biệt

Giá trị	$\sin x$	$\cos x$
$0$	$x = k\pi$	$x = \pi/2 + k\pi$
$1$	$x = \pi/2 + k2\pi$	$x = k2\pi$
$-1$	$x = -\pi/2 + k2\pi$	$x = \pi + k2\pi$

Các dạng bài tập

Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng $\sin u = \sin v$, $\cos u = \cos v$ và áp dụng công thức nghiệm tương ứng.

Ví dụ:

Giải phương trình $\sin 2x = \sqrt{2}/2$.

$\sin 2x = \sin(\pi/4) \iff \left[\begin{array}{l} 2x = \pi/4 + k2\pi \ 2x = 3\pi/4 + k2\pi \end{array}\right. \iff \left[\begin{array}{l} x = \pi/8 + k\pi \ x = 3\pi/8 + k\pi \end{array}\right.$.

Giải phương trình $\cos(x - \pi/3) = 1/2$.

$x - \pi/3 = \pm \pi/3 + k2\pi \iff \left[\begin{array}{l} x = 2\pi/3 + k2\pi \ x = k2\pi \end{array}\right.$.

Giải phương trình $\tan x = \sqrt{3}$.

$x = \pi/3 + k\pi$.

Dạng 2: Tìm nghiệm trong khoảng cho trước

Phương pháp giải:

Giải tìm nghiệm tổng quát, sau đó cho nghiệm nằm trong khoảng $(a, b)$ để tìm các giá trị nguyên $k$.

Ví dụ:

Tìm các nghiệm của $\cos x = 0$ trên đoạn $[0; 2\pi]$.

$x = \pi/2 + k\pi$. Xét $0 \le \pi/2 + k\pi \le 2\pi \iff -1/2 \le k \le 3/2 \Rightarrow k \in \{0, 1\}$. Nghiệm: $\pi/2, 3\pi/2$.

Số nghiệm của $\sin 3x = 1/2$ trên khoảng $(0; \pi)$ là bao nhiêu?

$3x = \pi/6 + k2\pi$ hoặc $3x = 5\pi/6 + k2\pi$.
$x = \pi/18 + k2\pi/3$ hoặc $x = 5\pi/18 + k2\pi/3$.
Đối chiếu điều kiện $(0, \pi)$ được các nghiệm ứng với $k=0, 1 \dots$ Tổng cộng có $3$ nghiệm.

Nghiệm dương nhỏ nhất của $\tan x = 1$ là:

$x = \pi/4 + k\pi$. Với $k=0$ ta có $x = \pi/4$.