🟡 Trung bình 90 phút
Bài 14. Phép chiếu song song
Tìm hiểu cách biểu diễn các vật thể ba chiều lên mặt phẳng bằng phép chiếu song song, từ đó nắm vững các quy tắc vẽ hình trong hình học không gian.
Chương: Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Lý thuyết phép chiếu song song
1. Khái niệm phép chiếu song song
Cho mặt phẳng $(\alpha)$ và một đường thẳng $\Delta$ cắt $(\alpha)$. Phép chiếu song song lên mặt phẳng chiếu $(\alpha)$ theo phương chiếu $\Delta$ biến điểm $M$ thành điểm $M'$ sao cho $MM' // \Delta$ và $M' \in (\alpha)$.
- $(\alpha)$: Mặt phẳng chiếu.
- $\Delta$: Phương chiếu.
- $M'$: Hình chiếu của $M$.
2. Các tính chất quan trọng
- Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự giữa chúng.
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
- Biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
- Bảo toàn tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc nằm trên cùng một đường thẳng.
3. Hình biểu diễn của một hình phẳng
- Hình tam giác: Hình biểu diễn là một tam giác bất kỳ.
- Hình bình hành: Phải là hình bình hành (hoặc hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông đều biểu diễn bằng hình bình hành).
- Hình thang: Phải là hình thang giữ nguyên tỉ số hai đáy.
- Đường tròn: Hình biểu diễn là một đường Elíp.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Tính chất của phép chiếu song song
Phương pháp giải:
Áp dụng các tính chất bảo toàn (song song, thẳng hàng, tỉ số) để trả lời các câu hỏi lý thuyết.
Ví dụ:
Phép chiếu song song biến hình vuông thành hình gì?
Biến hình vuông thành hình bình hành bất kỳ (do bảo toàn tính song song của các cặp cạnh đối).
Hình chiếu của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song không?
Không. Hình chiếu của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau hoặc trùng nhau.
Tại sao phép chiếu song song không bảo toàn độ dài đoạn thẳng?
Vì độ dài hình chiếu phụ thuộc vào góc nghiêng của đoạn thẳng đó so với mặt phẳng chiếu.
Dạng 2: Nhận biết hình biểu diễn của hình phẳng
Phương pháp giải:
Kiểm tra xem hình vẽ có thỏa mãn các quan hệ song song và tỉ lệ đoạn thẳng song song hay không.
Ví dụ:
Vẽ hình biểu diễn của một hình lục giác đều.
Cần đảm bảo các cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau trong hình biểu diễn.
Hình biểu diễn của một tam giác đều có cần là tam giác đều không?
Không, chỉ cần là một tam giác bất kỳ.
Xác định tâm của một đường Elíp là hình biểu diễn của đường tròn.
Tâm của Elíp chính là hình chiếu của tâm đường tròn ban đầu.
Dạng 3: Tính tỉ số đoạn thẳng qua hình chiếu
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất bảo toàn tỉ số đoạn thẳng nằm trên các đường song song.
Ví dụ:
Cho $M$ là trung điểm $AB$. Hình chiếu của $M$ lên mặt phẳng $(\alpha)$ là $M'$, hình chiếu của $AB$ là $A'B'$. Chứng minh $M'$ là trung điểm $A'B'$.
Do $AM/MB = 1$ nên theo tính chất bảo toàn tỉ số, $A'M'/M'B' = 1 \Rightarrow M'$ là trung điểm $A'B'$.
Đoạn thẳng $AB = 6cm$ song song mặt phẳng chiếu. Tính độ dài hình chiếu $A'B'$.
Khi đoạn thẳng song song với mặt phẳng chiếu, độ dài hình chiếu bằng chính nó ($A'B' = 6cm$).
Hình chiếu của trọng tâm tam giác.
Chính là trọng tâm của tam giác hình chiếu.