🟡 Trung bình 90 phút
Bài 11. Hai đường thẳng song song
Tìm hiểu các vị trí tương đối đặc trưng của hai đường thẳng trong không gian, đặc biệt là quan hệ song song và phương pháp xác định giao tuyến song song.
Chương: Chương 4: Quan hệ song song trong không gian
Lý thuyết hai đường thẳng song song
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian:
- Cắt nhau: Có duy nhất 1 điểm chung (đồng phẳng).
- Song song: Không có điểm chung và đồng phẳng.
- Trùng nhau: Mọi điểm đều là điểm chung.
- Chéo nhau: Không có điểm chung và KHÔNG đồng phẳng.
2. Tính chất hai đường thẳng song song
- Định lý: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
- Tính chất bắc cầu: $a // b$ và $b // c \Rightarrow a // c$.
- Định lý về giao tuyến (Hình thang): Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
3. Một số định lý quan trọng khác
Định lý 3 giao tuyến: Nếu 3 mặt phẳng cắt nhau đôi một theo 3 giao tuyến thì 3 giao tuyến đó hoặc đồng quy, hoặc song song với nhau.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Xác định vị trí tương đối
Phương pháp giải:
Xét xem hai đường có cùng thuộc một mặt phẳng hay không, sau đó xét số điểm chung.
Ví dụ:
Trong hình chóp $S.ABCD$ (đáy là hình bình hành), $AB$ và $CD$ có quan hệ gì?
Chúng cùng thuộc mặt phẳng đáy và không có điểm chung, do đó $AB // CD$.
Cặp đường thẳng $SA$ và $BC$ trong hình chóp $S.ABCD$ có vị trí gì?
Chúng không cùng thuộc một mặt phẳng, vậy $SA$ và $BC$ chéo nhau.
Thế nào là hai đường thẳng chéo nhau?
Hai đường không cùng nằm trên bất kỳ mặt phẳng nào.
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp giải:
Dùng tính chất đường trung bình, Ta-lét, hoặc chứng minh cùng song song với đường thẳng thứ ba.
Ví dụ:
Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N$ là trung điểm $AB, AC$. Chứng minh $MN // BC$.
$MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN // BC$.
Chứng minh $AB // CD$ trong hình chóp $S.ABCD$ nếu mặt bên là các tam giác bằng nhau.
Sử dụng tính chất tỉ số đoạn thẳng hoặc các yếu tố hình học phẳng trên các mặt.
Dùng tính chất bắc cầu: $a // b$ và $b // c$.
Nếu $a // b$ và $b // c$ thì $a // c$.
Dạng 3: Tìm giao tuyến dạng song song
Phương pháp giải:
Dùng định lý: Nếu $(\alpha) \supset a, (\beta) \supset b$ mà $a // b$ thì giao tuyến $d // a // b$.
Ví dụ:
Tìm giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ nếu $AB // CD$.
Giao tuyến đi qua $S$ và song song với $AB$ (hoặc $CD$).
Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua trung điểm $M$ của $SA$ và song song $AB, AD$.
Mặt phẳng $(P)$ cắt các mặt bên theo các đường trung bình song song với cạnh đáy.
Giao tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng $a$ và mặt phẳng chứa đường thẳng $b$ (với $a//b$).
Luôn là một đường thẳng song song với $a$ và $b$ nếu hai mặt phẳng đó cắt nhau.