🔴 Khó 90 phút
Bài 26. Khoảng cách
Nắm vững phương pháp đo đạc độ dài ngắn nhất giữa các đối tượng hình học, kỹ năng cốt lõi để tính toán thể tích và tối ưu hóa không gian thực tế.
Chương: Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Lý thuyết Khoảng cách
1. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và mặt phẳng
- Điểm $M$ đến đường $d$: Là độ dài đoạn $MH$ với $H$ là hình chiếu của $M$ trên $d$.
- Điểm $M$ đến mặt $(P)$: Là độ dài đoạn $MO$ với $O$ là hình chiếu của $M$ trên $(P)$. Ký hiệu: $d(M, (P))$.
2. Khoảng cách giữa các yếu tố song song
- Đường $a // (P)$: $d(a, (P)) = d(M, (P))$ với $M$ bất kỳ thuộc $a$.
- Mặt $(P) // (Q)$: $d((P), (Q)) = d(M, (Q))$ với $M$ bất kỳ thuộc $(P)$.
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Là độ dài đoạn vuông góc chung $IJ$ của hai đường thẳng $a$ và $b$ ($I \in a, J \in b, IJ \perp a, IJ \perp b$).
Cách tính khác: $d(a, b) = d(a, (P))$ với $(P)$ là mặt phẳng chứa $b$ và song song với $a$.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất vuông góc để dựng chân đường cao, hoặc dùng công thức tỉ số khoảng cách: $d(A, (P)) / d(B, (P)) = AM / BM$ (với $M$ là giao của $AB$ và $(P)$).
Ví dụ:
Cho chóp $S.ABC$ có $SA \perp đáy$, $SA=a$. Tính $d(S, (ABC))$.
Chính là độ dài $SA = a$.
Cho $SA$ vuông góc đáy hình vuông cạnh $a$. Tính $d(A, (SBC))$.
Kẻ $AH \perp SB$. Vì $BC \perp (SAB) \Rightarrow BC \perp AH$. Vậy $AH \perp (SBC)$.
$d = AH = (SA \cdot AB) / \sqrt{SA^2+AB^2}$.
$d = AH = (SA \cdot AB) / \sqrt{SA^2+AB^2}$.
Tính khoảng cách từ tâm đáy đến mặt bên của chóp đều.
Kẻ đường vuông góc đến trung đoạn của mặt bên.
Dạng 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Phương pháp giải:
Cách 1: Tìm đoạn vuông góc chung.
Cách 2: Chuyển về khoảng cách từ đường đến mặt song song (thường dùng hơn).
Cách 2: Chuyển về khoảng cách từ đường đến mặt song song (thường dùng hơn).
Ví dụ:
Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện $AB$ và $CD$ của tứ diện đều cạnh $a$.
Đoạn nối trung điểm hai cạnh đối chính là đoạn vuông góc chung. $d = a\sqrt{2}/2$.
Trong hình lập phương, tính $d(AB, CC')$.
$BC$ là đoạn vuông góc chung vì $BC \perp AB$ và $BC \perp CC'$. $d = a$.
Tính $d(SB, AC)$ trong chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc đáy.
Dựng mặt phẳng chứa $SB$ và song song $AC$ hoặc ngược lại.
Dạng 3: Khoảng cách giữa các đối tượng song song
Phương pháp giải:
Chọn một điểm 'đẹp' (thường là chân đường cao) trên đối tượng này để tính đến đối tượng kia.
Ví dụ:
Tính khoảng cách giữa hai đáy của lăng trụ đứng.
Chính là chiều cao $h$ (độ dài cạnh bên).
Tính $d(AB, (CDD'C'))$ trong hình hộp chữ nhật.
Chọn điểm $A$, $d = AD$.
Hai mặt phẳng song song cách nhau bao nhiêu?
Bằng độ dài đoạn thẳng vuông góc chung nối hai mặt.
Bài tập (25)
Làm bài tập ngayCác bài học trong chương: Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
22
Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc
🟡 90p
23
Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
🟡 90p
24
Bài 24. Phép chiếu vuông góc – Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
🟡 90p
25
Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc
🟡 90p
26
Bài 26. Khoảng cách
🔴 90p
27
Bài 27. Thể tích
🟡 90p
27.5
Bài tập cuối chương VII
🔴 120p