🟡 Trung bình 90 phút

Bài 24. Phép chiếu vuông góc – Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Tìm hiểu cách 'áp' các hình khối lên mặt phẳng để đo đạc góc độ, sự nghiêng lệch, từ đó làm chủ các bài toán định lượng trong không gian.

Chương: Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Lý thuyết Phép chiếu và Góc

1. Phép chiếu vuông góc

Phép chiếu song song lên mặt phẳng $(P)$ theo phương chiếu vuông góc với $(P)$ được gọi là phép chiếu vuông góc.

  • Hình chiếu của một điểm là chân đường vuông góc kẻ từ điểm đó đến mặt phẳng.
  • Hình chiếu của một đường thẳng không vuông góc với $(P)$ là một đường thẳng.

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (Chi tiết)

Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$:

  • Nếu $d \perp (P)$, $\alpha = 90^\circ$.
  • Nếu $d // (P)$ hoặc $d \subset (P)$, $\alpha = 0^\circ$.
  • Trường hợp còn lại, $\alpha$ là góc giữa $d$ và hình chiếu $d'$ của nó trên $(P)$.

Công thức: $\sin \alpha = \dfrac{h}{l}$ (với $h$ là khoảng cách từ điểm trên $d$ đến $(P)$, $l$ là độ dài đoạn xiên).

3. Định lý ba đường vuông góc (Nhắc lại quan trọng)

Cho đường thẳng $a$ không vuông góc $(P)$, $a'$ là hình chiếu của $a$ trên $(P)$, $b$ là đường thẳng nằm trong $(P)$.

$b \perp a \Leftrightarrow b \perp a'$

Các dạng bài tập

Dạng 1: Xác định hình chiếu của một hình

Phương pháp giải:

Tìm hình chiếu của từng đỉnh/điểm đặc biệt của hình đó lên mặt phẳng chiếu rồi nối lại.

Ví dụ:

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$. Tìm hình chiếu của tam giác $SBC$ lên mặt phẳng $(ABC)$.
Hình chiếu của $S$ là $A$. Hình chiếu của $B$ là $B$. Hình chiếu của $C$ là $C$.
Vậy hình chiếu của $\triangle SBC$ là $\triangle ABC$.
Tìm hình chiếu của đường chéo $AC'$ của hình lập phương lên mặt đáy $(ABCD)$.
Hình chiếu của $A$ là $A$, của $C'$ là $C$. Vậy hình chiếu là đường chéo $AC$.
Xác định hình chiếu của một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Là một điểm (chính là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng).

Dạng 2: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp giải:

Tìm giao điểm $\rightarrow$ tìm hình chiếu $\rightarrow$ tính góc trong tam giác vuông.

Ví dụ:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy tam giác đều cạnh $a$, $SA = a$ và $SA \perp (ABC)$. Tính góc giữa $SB$ và $(ABC)$.
Góc là $\widehat{SBA}$. $\tan \widehat{SBA} = SA/AB = a/a = 1 \Rightarrow 45^\circ$.
Tính góc giữa cạnh bên $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$ trong hình chóp $S.ABCD$ có các cạnh bằng nhau và đáy là hình vuông.
Cần tìm hình chiếu của $C$ lên $(SAB)$. Đây là bài toán khó hơn, hình chiếu là trung điểm $AB$ (nếu có tính chất đối xứng).
Tính $\sin$ của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Dùng tỉ số đối/huyền trong tam giác vuông tạo bởi đường xiên, hình chiếu và đường cao.

Dạng 3: Vận dụng định lý ba đường vuông góc

Phương pháp giải:

Sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc hoặc tính góc mà không cần vẽ trực tiếp hình chiếu phức tạp.

Ví dụ:

Cho $SA \perp (ABC)$, $BC \perp AB$. Chứng minh $BC \perp SB$.
$AB$ là hình chiếu của $SB$ lên $(ABC)$. Vì $BC \perp AB$ nên theo định lý 3 đường vuông góc, $BC \perp SB$.
Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian.
Kẻ đường vuông góc và dùng định lý 3 đường vuông góc để xác định chân đường cao.
Chứng minh $BD \perp SC$ trong hình chóp có $SA \perp đáy$, đáy là hình vuông.
$BD \perp AC$ (hình chiếu của $SC$ là $AC$). Suy ra $BD \perp SC$.

Bài tập (25)

Làm bài tập ngay

Các bài học trong chương: Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

22

Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc

🟡 90p
23

Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

🟡 90p
24

Bài 24. Phép chiếu vuông góc – Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

🟡 90p
25

Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc

🟡 90p
26

Bài 26. Khoảng cách

🔴 90p
27

Bài 27. Thể tích

🟡 90p
27.5

Bài tập cuối chương VII

🔴 120p