🟡 Trung bình 90 phút
Bài 28. Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập
Nền tảng của lý thuyết xác suất hiện đại: Học cách kết hợp các sự kiện đơn lẻ thành các cấu trúc logic phức tạp như 'hoặc', 'và' để dự đoán rủi ro và cơ hội.
Chương: Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Lý thuyết Các quy tắc tính xác suất
1. Biến cố hợp và Biến cố giao
- Biến cố hợp: Cho hai biến cố $A$ và $B$. Biến cố '$A$ xảy ra hoặc $B$ xảy ra' được gọi là hợp của $A$ và $B$, ký hiệu $A \cup B$.
- Biến cố giao: Biến cố 'cả $A$ và $B$ đồng thời xảy ra' được gọi là giao của $A$ và $B$, ký hiệu $A \cap B$ hoặc $AB$.
2. Biến cố xung khắc
Hai biến cố $A$ và $B$ được gọi là xung khắc nếu chúng không bao giờ đồng thời xảy ra. Khi đó $A \cap B = \emptyset$.
Ví dụ: Khi gieo xúc xắc, biến cố 'mặt xuất hiện lẻ' và 'mặt xuất hiện chẵn' là xung khắc.
3. Biến cố độc lập
Hai biến cố $A$ và $B$ là độc lập nếu việc xảy ra (hay không xảy ra) của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.
Thử nghiệm lặp lại hoặc hai hành động thực hiện bởi hai người khác nhau (không liên lạc) thường tạo ra các biến cố độc lập.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Xác định và mô tả các loại biến cố
Phương pháp giải:
Liệt kê các kết quả thuận lợi cho từng biến cố rồi dùng phép toán tập hợp để tìm hợp, giao.
Ví dụ:
Gieo con xúc xắc. $A$: 'Số chấm chia hết cho 2', $B$: 'Số chấm chia hết cho 3'. Mô tả $A \cap B$.
$A = \{2, 4, 6\}$, $B = \{3, 6\} \Rightarrow A \cap B = \{6\}$. Ý nghĩa lời văn: 'Số chấm chia hết cho cả 2 và 3' (hay chia hết cho 6).
Mô tả biến cố đối của $A \cup B$.
Theo luật De Morgan, đó là $\bar{A} \cap \bar{B}$ (Cả A và B đều không xảy ra).
Tính số phần tử của tập hợp biến cố hợp.
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
Dạng 2: Nhận biết biến cố xung khắc và độc lập
Phương pháp giải:
Kiểm tra xem hai sự kiện có thể xảy ra cùng lúc hay không (xung khắc) và kết quả sự kiện này có làm thay đổi khả năng của sự kiện kia hay không (độc lập).
Ví dụ:
Tùng và Cúc cùng bắn vào bia một cách độc lập. Biến cố $A$: 'Tùng bắn trúng' và $B$: 'Cúc bắn trúng' có quan hệ gì?
Đây là hai biến cố độc lập vì kết quả của Tùng không làm thay đổi xác suất trúng của Cúc.
Rút 1 lá bài từ bộ 52 lá. $A$: 'Lá cơ', $B$: 'Lá rô'. $A, B$ có xung khắc không?
Có, vì 1 lá bài không thể vừa là cơ vừa là rô.
Hai sự kiện ngẫu nhiên bất kỳ có độc lập không?
Không nhất thiết. Phải kiểm tra tính chất tác động.
Dạng 3: Giải mã logic 'Và' / 'Hoặc' trong thực tế
Phương pháp giải:
Sử dụng sơ đồ Venn hoặc bảng xác suất để mô hình hóa bài toán.
Ví dụ:
Một người đi thi 2 môn. $A$: 'Đỗ môn 1', $B$: 'Đỗ môn 2'. Viết biến cố: 'Người đó trượt cả 2 môn'.
$\bar{A} \cap \bar{B}$.
Viết biến cố: 'Có ít nhất 1 môn đỗ'.
$A \cup B$.
Viết biến cố: 'Chỉ đỗ đúng 1 môn'.
$(A \cap \bar{B}) \cup (\bar{A} \cap B)$.