🟡 Trung bình 90 phút

Bài 31. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Bước vào thế giới của toán học biến thiên: Tìm hiểu cách đo lường tốc độ thay đổi tức thời của mọi sự vật, từ chuyển động của xe cộ đến độ dốc của các đường cong đồ thị.

Chương: Chương 9: Đạo hàm

Lý thuyết Đạo hàm

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a, b)$ và $x_0 \in (a, b)$.

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

Đạo hàm của hàm số trên một khoảng: Nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

2. Ý nghĩa hình học (Hệ số góc của tiếp tuyến)

Đạo hàm $f'(x_0)$ là hệ số góc $k$ của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm $M(x_0; f(x_0))$.

Phương trình tiếp tuyến:

$y - y_0 = f'(x_0) \cdot (x - x_0)$

3. Ý nghĩa vật lý

Vận tốc tức thời: $v(t) = s'(t)$ (Đạo hàm của quãng đường theo thời gian).
Cường độ dòng điện tức thời: $i(t) = q'(t)$ (Đạo hàm của điện lượng theo thời gian).

Các dạng bài tập

Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.
Bước 2: Thiết lập tỉ số $\Delta y / \Delta x$.
Bước 3: Tìm giới hạn của tỉ số khi $\Delta x \to 0$.

Ví dụ:

Tính đạo hàm của $f(x) = x^2$ tại $x_0 = 1$ bằng định nghĩa.

$\Delta y = (1+\Delta x)^2 - 1^2 = 2\Delta x + (\Delta x)^2$.
$\Delta y / \Delta x = 2 + \Delta x$.
Khi $\Delta x \to 0$, giới hạn bằng 2. Vậy $f'(1) = 2$.

Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm hằng.

$\Delta y = C - C = 0 \Rightarrow f'(x) = 0$.

Đạo hàm của $\sin x$ tại $x=0$.

$\lim_{x \to 0} (\sin x / x) = 1$.