🟡 Trung bình 90 phút

Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Nắm bắt 'chìa khóa' để giải quyết các bài toán không gian phức tạp thông qua quan hệ giữa đường thẳng 'chọc' thẳng góc vào một mặt phẳng.

Chương: Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với Mặt phẳng

1. Định nghĩa và Điều kiện

Định nghĩa: $d \perp (P)$ nếu $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$.
Điều kiện: Nếu $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $a, b$ cùng nằm trong $(P)$ thì $d \perp (P)$.

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng $d$ cắt $(P)$ tại $O$ nhưng không vuông góc. Góc giữa $d$ và $(P)$ là góc giữa $d$ và hình chiếu $d'$ của nó lên $(P)$.

Nếu $d \perp (P)$ thì góc bằng $90^\circ$. Nếu $d // (P)$ hoặc $d \subset (P)$ thì góc bằng $0^\circ$.

3. Định lý ba đường vuông góc

Cho đường thẳng $a$ không vuông góc với $(P)$ và đường thẳng $b \subset (P)$. Khi đó, $b \perp a \Leftrightarrow b \perp a'$ (với $a'$ là hình chiếu của $a$ lên $(P)$).

Các dạng bài tập

Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Phương pháp giải:

Tìm hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng mà đường thẳng kia vuông góc với cả hai.
Ví dụ: Để chứng minh $SA \perp (ABC)$, ta chứng minh $SA \perp AB$ và $SA \perp AC$.

Ví dụ:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $B$ và $SA \perp (ABC)$. Chứng minh $BC \perp (SAB)$.

Ta có: $BC \perp AB$ (đáy vuông tại $B$).
$BC \perp SA$ (vì $SA \perp (ABC)$).
Mà $AB, SA$ cắt nhau trong $(SAB)$. Vậy $BC \perp (SAB)$.

Chứng minh $SC \perp (ABC)$ nếu $SA=SB=SC$ và đáy đều.

Sai, hình chiếu của $S$ là tâm đáy.

Chứng minh đường cao của hình chóp vuông góc với đáy.

Thường dựa vào giả thiết các cạnh bên bằng nhau hoặc mặt bên vuông góc đáy.

Dạng 2: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm giao điểm $O$ của $d$ và $(P)$.
Bước 2: Tìm hình chiếu $H$ của một điểm $A$ thuộc $d$ lên $(P)$.
Bước 3: Góc cần tìm là $\widehat{AOH}$.

Ví dụ:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \perp (ABCD)$, đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA = a\sqrt{3}$. Tính góc giữa $SC$ và đáy.

Giao điểm là $C$. Hình chiếu của $S$ lên đáy là $A$ (do $SA \perp đáy$).
Góc là $\widehat{SCA}$.
$AC = a\sqrt{2}$. $\tan \widehat{SCA} = SA/AC = a\sqrt{3}/a\sqrt{2} = \sqrt{6}/2$.

Tính góc giữa cạnh bên và đáy của tứ diện đều.

Gọi $O$ là tâm đáy, góc $\cos \alpha = AO/SA = (a\sqrt{3}/3)/a = \sqrt{3}/3$.

Tính góc giữa đường chéo hình lập phương và mặt đáy.

$\tan \alpha = a / a\sqrt{2} = 1/\sqrt{2}$.

Dạng 3: Ứng dụng Định lý ba đường vuông góc

Phương pháp giải:

Xác định rõ đường thẳng $a$ (đường xiên), $a'$ (hình chiếu) và $b$ (nằm trong đáy) để chứng minh vuông góc nhanh chóng.

Ví dụ:

Cho $S.ABC$ có $SA$ vuông góc đáy. $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Chứng minh $BC \perp SH$.

Vẽ $AD \perp BC$. Hình chiếu của $SD$ lên đáy là $AD$. Vì $BC \perp AD$ nên $BC \perp SD$ (3 đường vuông góc). Chỗ này dùng trực tâm sẽ suy ra $BC \perp SH$.

Chứng minh các cạnh đối diện của tứ diện đều vuông góc.

Dựa vào hình chiếu đỉnh lên tâm đáy.

Xác định hình chiếu của đỉnh chóp.

Dùng tính chất vuông góc.