🟡 Trung bình 90 phút
Bài 3. Hàm số lượng giác
Nghiên cứu các thuộc tính quan trọng của hàm số sin, cos, tan, cot như tập xác định, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn và cách đọc đồ thị.
Chương: Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Lý thuyết hàm số lượng giác
1. Tập xác định và tập giá trị
| Hàm số | Tập xác định ($D$) | Tập giá trị ($T$) |
|---|---|---|
| $y = \sin x$ | $\mathbb{R}$ | $[-1; 1]$ |
| $y = \cos x$ | $\mathbb{R}$ | $[-1; 1]$ |
| $y = \tan x$ | $\mathbb{R} \setminus \{\dfrac{\pi}{2} + k\pi\}$ | $\mathbb{R}$ |
| $y = \cot x$ | $\mathbb{R} \setminus \{k\pi\}$ | $\mathbb{R}$ |
2. Tính chẵn lẻ và tuần hoàn
- Tính chẵn lẻ: Hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn (đối xứng qua $Oy$). Các hàm $y = \sin x, y = \tan x, y = \cot x$ là hàm số lẻ (đối xứng qua gốc $O$).
- Tính tuần hoàn:
- $\sin, \cos$ tuần hoàn với chu kỳ $T = 2\pi$.
- $\tan, \cot$ tuần hoàn với chu kỳ $T = \pi$.
- Tổng quát: $\sin(ax+b)$ có chu kỳ $T = \dfrac{2\pi}{|a|}$.
3. Đồ thị hàm số lượng giác
- Đồ thị Sin: Một đường lượn sóng đi qua gốc tọa độ $O$.
- Đồ thị Cos: Giống đồ thị Sin nhưng dịch chuyển sang trái $\pi/2$.
- Đồ thị Tan: Gồm các nhánh rời nhau bởi các tiệm cận đứng $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.
Mẹo biến thiên: Hàm $\sin x$ và $\tan x$ đồng biến trên các khoảng 'dương' tương ứng, $\cos x$ nghịch biến trên $(0, \pi)$.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Tìm tập xác định
Phương pháp giải:
Xác định mẫu số khác 0, biểu thức dưới căn bậc hai không âm, và điều kiện riêng của tan ($u \neq \pi/2 + k\pi$), cot ($u \neq k\pi$).
Ví dụ:
Tìm TXĐ của hàm số $y = \dfrac{1}{\sin x - \cos x}$.
Hàm số xác định khi $\sin x \neq \cos x \iff \tan x \neq 1 \iff x \neq \dfrac{\pi}{4} + k\pi$. Vậy $D = \mathbb{R} \setminus \{\dfrac{\pi}{4} + k\pi\}$.
Tìm TXĐ của hàm số $y = \tan(2x)$.
$2x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \iff x \neq \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2}$. Vậy $D = \mathbb{R} \setminus \{\dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2}\}$.
Tìm TXĐ của hàm số $y = \sqrt{1 - \cos x}$.
Vì $-1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow 1 - \cos x \ge 0$ với mọi $x$. Vậy $D = \mathbb{R}$.
Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ và tuần hoàn
Phương pháp giải:
Kiểm tra $f(-x)$, tìm số $T$ nhỏ nhất sao cho $f(x+T) = f(x)$.
Ví dụ:
Xét tính chẵn lẻ của $y = x^2 \cos x$.
$f(-x) = (-x)^2 \cos(-x) = x^2 \cos x = f(x) \Rightarrow$ Hàm số chẵn.
Tìm chu kỳ của hàm số $y = \sin(3x)$.
$T = \dfrac{2\pi}{|3|} = \dfrac{2\pi}{3}$.
Xét tính chẵn lẻ của $y = \sin x + x$.
$f(-x) = \sin(-x) + (-x) = -\sin x - x = -f(x) \Rightarrow$ Hàm số lẻ.
Dạng 3: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Phương pháp giải:
Sử dụng tính bị chặn $-1 \le \sin u, \cos u \le 1$ hoặc đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai.
Ví dụ:
Tìm GTLN, GTNN của $y = 3\sin x - 4$.
$-1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow -3 \le 3\sin x \le 3 \Rightarrow -7 \le y \le -1$. GTLN = -1, GTNN = -7.
Tìm GTLN của $y = \cos^2 x + 2\cos x + 1$.
$y = (\cos x + 1)^2$. Vì $-1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow 0 \le \cos x + 1 \le 2 \Rightarrow 0 \le y \le 4$. GTLN = 4.
Tìm GTNN của $y = |\sin x| + 2$.
Vì $0 \le |\sin x| \le 1 \Rightarrow 2 \le y \le 3$. GTNN = 2.