🟡 Trung bình 90 phút
Bài 15. Giới hạn của dãy số
Tiếp cận khái niệm vô cực và quy luật tiến tới một giá trị của dãy số, tạo nền tảng quan trọng cho giải tích hiện đại.
Chương: Chương 5: Giới hạn – Hàm số liên tục
Lý thuyết giới hạn dãy số
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
Dãy số $(u_n)$ có giới hạn là $L$ khi $n \to +\infty$ nếu sai số $|u_n - L|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.
- Ký hiệu: $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$ hoặc $\lim u_n = L$.
- Các giới hạn cơ bản: $\lim \dfrac{1}{n^k} = 0 (k>0)$; $\lim q^n = 0 (|q|<1)$.
2. Phép toán giới hạn và Tổng lùi vô hạn
Nếu $\lim u_n = a, \lim v_n = b$ thì $\lim (u_n \pm v_n) = a \pm b, \lim(u_n v_n) = ab, \lim(u_n/v_n) = a/b$.
Tổng CSN lùi vô hạn: Dãy $(u_n)$ là cấp số nhân có $|q| < 1$ thì:
$S = u_1 + u_2 + \dots = \dfrac{u_1}{1-q}$
$S = u_1 + u_2 + \dots = \dfrac{u_1}{1-q}$
3. Giới hạn vô cực
- $\lim u_n = +\infty$: Giá trị $u_n$ lớn tùy ý kể từ một số hạng nào đó.
- $\lim n^k = +\infty (k>0)$.
- $\lim q^n = +\infty (q > 1)$.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Tính giới hạn bằng phép chia bậc cao nhất
Phương pháp giải:
Khi tính giới hạn hàm phân thức $\lim \dfrac{P(n)}{Q(n)}$, ta chia cả tử và mẫu cho $n^k$ với $k$ là bậc cao nhất của mẫu.
Ví dụ:
Tính $\lim \dfrac{2n + 1}{n + 3}$.
Chia tử và mẫu cho $n$: $\lim \dfrac{2 + 1/n}{1 + 3/n} = \dfrac{2+0}{1+0} = 2$.
Tính $\lim \dfrac{n^2 - 1}{3n^2 + n + 5}$.
Chia cho $n^2$: $\lim \dfrac{1 - 1/n^2}{3 + 1/n + 5/n^2} = 1/3$.
Tính $\lim \dfrac{3^n - 1}{3^n + 2}$.
Chia cho $3^n$: $\lim \dfrac{1 - (1/3)^n}{1 + 2(1/3)^n} = 1$.
Dạng 2: Giới hạn chứa căn thức - Nhân liên hợp
Phương pháp giải:
Gặp dạng $\infty - \infty$ chứa căn, ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp để khử dạng vô định.
Ví dụ:
Tính $\lim (\sqrt{n^2 + n} - n)$.
Nhân liên hợp: $\lim \dfrac{(n^2+n) - n^2}{\sqrt{n^2+n} + n} = \lim \dfrac{n}{\sqrt{n^2+n} + n} = \lim \dfrac{1}{\sqrt{1+1/n} + 1} = 1/2$.
Tính $\lim (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$.
Nhân liên hợp được $1/(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}) \to 0$.
Tính $\lim (\sqrt{4n^2+1} - 2n)$.
Liên hợp: $1/(\sqrt{4n^2+1}+2n) \to 0$.
Dạng 3: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Phương pháp giải:
Xác định số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$, kiểm tra $|q|<1$ rồi dùng công thức $S = u_1/(1-q)$.
Ví dụ:
Tính tổng $S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + \dots$.
$u_1 = 1, q = 1/2$. $S = 1 / (1 - 1/2) = 2$.
Tính $S = 2 - 2/3 + 2/9 - \dots$.
$u_1 = 2, q = -1/3$. $S = 2 / (1 + 1/3) = 2 / (4/3) = 1,5$.
Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn $0,(3)$ dưới dạng phân số.
$0,333\dots = 3/10 + 3/100 + \dots$ là CSN lùi vô hạn với $u_1=0,3, q=0,1$. $S = 0,3/(1-0,1) = 0,3/0,9 = 1/3$.