🟡 Trung bình 90 phút
Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Nắm vững khái niệm góc lượng giác, đơn vị radian, đường tròn lượng giác và các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.
Chương: Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
Lý thuyết góc và giá trị lượng giác
1. Góc lượng giác và đơn vị đo
Góc lượng giác được tạo ra khi một tia quay quanh gốc của nó. Chiều quay ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương, chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm.
Đơn vị độ và Radian:
$$180^\circ = \pi \text{ rad} \Rightarrow 1^\circ = \dfrac{\pi}{180} \text{ rad}, \quad 1 \text{ rad} = \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^\circ$$
Độ dài cung tròn:
Cung của đường tròn bán kính $R$ có số đo $\alpha$ (radian) thì có độ dài: $$l = R \cdot \alpha$$
2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Trên đường tròn lượng giác (tâm $O$, bán kính $R=1$), điểm $M(x;y)$ ứng với góc $\alpha$ có:
- $\cos \alpha = x$ (trục hoành là trục cos)
- $\sin \alpha = y$ (trục tung là trục sin)
- $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} (x \neq 0)$
- $\cot \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} (y \neq 0)$
Ghi nhớ dấu: Nhất cả (I: +,+,+,+), Nhì sin (II: sin+), Tam tan (III: tan, cot +), Tứ cos (IV: cos+).
3. Các hệ thức lượng giác cơ bản
Các công thức cần thuộc lòng:
- $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
- $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$
- $1 + \tan^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha}$
- $1 + \cot^2 \alpha = \dfrac{1}{\sin^2 \alpha}$
Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt:
Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, Khác pi tan.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Đổi đơn vị đo góc và độ dài cung
Phương pháp giải:
- Đổi Độ $\to$ Radian: Nhân với $\pi/180$.
- Đổi Radian $\to$ Độ: Nhân với $180/\pi$.
- Tính $l = R \cdot \alpha$ (Lưu ý $\alpha$ phải ở đơn vị Radian).
Ví dụ:
Tính cụ thể độ dài cung của đường tròn bán kính $10$cm có số đo $30^\circ$.
$\alpha = 30 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{6}$. Độ dài cung $l = 10 \cdot \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{3} \approx 5,24$ cm.
Đổi góc $\dfrac{3\pi}{4}$ sang độ.
$\dfrac{3\pi}{4} \text{ rad} = \dfrac{3 \cdot 180^\circ}{4} = 135^\circ$.
Một bánh xe quay $2$ vòng. Tính quãng đường xe đi được nếu bán kính bánh xe là $30$cm.
Một vòng là $2\pi$ rad. Hai vòng là $4\pi$ rad. Quãng đường $s = l = 30 \cdot 4\pi = 120\pi \approx 377$ cm.
Dạng 2: Tính giá trị lượng giác của một góc
Phương pháp giải:
- Sử dụng hệ thức $\sin^2 + \cos^2 = 1$ để tìm giá trị còn lại (lưu ý dấu của góc phần tư).
- Tính tan, cot dựa vào sin, cos.
Ví dụ:
Cho $\cos \alpha = -4/5$ với $\pi < \alpha < 3\pi/2$. Tính $\sin \alpha$.
Góc phần tư III nên $\sin \alpha < 0$. $\sin^2 \alpha = 1 - (-4/5)^2 = 9/25 \Rightarrow \sin \alpha = -3/5$.
Cho $\tan \alpha = 2$. Tính $A = \sin^2 \alpha - 3\cos^2 \alpha$.
Chia cả hai vế cho $\cos^2 \alpha$: $A = \cos^2 \alpha (\tan^2 \alpha - 3) = \dfrac{\tan^2 \alpha - 3}{1 + \tan^2 \alpha} = \dfrac{4-3}{1+4} = \dfrac{1}{5}$.
Tính giá trị của $\cos(150^\circ)$.
$\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\sqrt{3}/2$.
Dạng 3: Rút gọn biểu thức lượng giác
Phương pháp giải:
Sửa dụng các hệ thức cơ bản để đưa về cùng một giá trị lượng giác hoặc triệt tiêu.
Ví dụ:
Rút gọn $P = \sin(x + \pi) - \cos(\pi/2 - x) + \tan(x + \pi)$.
$P = -\sin x - \sin x + \tan x = \tan x - 2\sin x$.
Chứng minh $\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$.
VT = $(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x$ (đpcm).
Rút gọn $Q = \cos x \tan x + \sin x \cot x$.
$Q = \cos x \cdot \dfrac{\sin x}{\cos x} + \sin x \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x} = \sin x + \cos x$.