🟡 Trung bình 90 phút

Bài 27. Thể tích

Học cách cân đo đong đếm không gian bên trong các khối đa diện, từ lăng trụ đứng đến các khối chóp phức tạp, ứng dụng trong kiến trúc và đời sống.

Chương: Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Lý thuyết Thể tích

1. Khối lăng trụ

Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đáy $B$ nhân với chiều cao $h$:

$V = B \cdot h$

  • Hình hộp chữ nhật: $V = a \cdot b \cdot c$.
  • Hình lập phương: $V = a^3$.

2. Khối chóp và Chóp cụt

Thể tích khối chóp bằng một phần ba tích diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$:

$V = \frac{1}{3} B \cdot h$

Thể tích chóp cụt có hai đáy diện tích $B_1, B_2$:

$V = \frac{1}{3} h (B_1 + B_2 + \sqrt{B_1 B_2})$

3. Tỉ số thể tích (Định lý Simson)

Chỉ dùng cho chóp tam giác $S.ABC$. Nếu $A', B', C'$ lần lượt nằm trên $SA, SB, SC$:

$\dfrac{V_{S.A'B'C'}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{SA'}{SA} \cdot \dfrac{SB'}{SB} \cdot \dfrac{SC'}{SC}$

Các dạng bài tập

Dạng 1: Thể tích khối lăng trụ

Phương pháp giải:

Xác định diện tích đa giác đáy và chiều cao (đoạn vuông góc nối hai đáy). Lưu ý đơn vị đo.

Ví dụ:

Tính thể tích lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng $a$.
Đáy là tam giác đều cạnh $a \Rightarrow S = a^2\sqrt{3}/4$.
Chiều cao $h = a$ (cạnh bên).
$V = a \cdot (a^2\sqrt{3}/4) = a^3\sqrt{3}/4$.
Tính thể tích hình hộp chữ nhật có ba kích thước $3, 4, 5$.
$V = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$.
Tính V biết diện tích xung quanh.
$h = S_{xq} / P_{đáy}$. Sau đó tính V.

Dạng 2: Thể tích khối chóp

Phương pháp giải:

Cần tìm chân đường cao $H$. Nếu các cạnh bên bằng nhau thì $H$ là tâm ngoại tiếp đáy. Nếu mặt bên vuông góc đáy thì đường cao nằm trong mặt bên đó.

Ví dụ:

Cho chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc đáy, đáy vuông tại $B$. $SA=a, AB=a, BC=2a$.
$S_{ABC} = 1/2 \cdot a \cdot 2a = a^2$.
$V = 1/3 \cdot a^2 \cdot a = a^3/3$.
Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh $a$.
$h = a\sqrt{6}/3$. $S = a^2\sqrt{3}/4 \Rightarrow V = a^3\sqrt{2}/12$.
Tính thể tích chóp có cạnh bên tạo với đáy góc $60^\circ$.
$h = R \cdot \tan 60$.

Dạng 3: Tỉ số thể tích và các bài toán tổng hợp

Phương pháp giải:

Chia nhỏ khối đa diện thành các khối chóp tam giác để áp dụng định lý Simson hoặc dùng tính chất tỉ lệ chiều cao và diện tích đáy.

Ví dụ:

Cho khối chóp $S.ABC$. Gọi $M, N$ là trung điểm $SA, SB$. Tính tỉ số $V_{S.MNC} / V_{S.ABC}$.
$1/2 \cdot 1/2 \cdot 1 = 1/4$.
Tính thể tích khối đa diện tạo bởi các trung điểm của các cạnh hình lập phương.
Dùng phương pháp bù trừ thể tích.
Tỉ số thể tích khối chóp tứ giác cắt bởi mặt phẳng.
Phải chia thành hai khối chóp tam giác.

Bài tập (25)

Làm bài tập ngay

Các bài học trong chương: Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

22

Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc

🟡 90p
23

Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

🟡 90p
24

Bài 24. Phép chiếu vuông góc – Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

🟡 90p
25

Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc

🟡 90p
26

Bài 26. Khoảng cách

🔴 90p
27

Bài 27. Thể tích

🟡 90p
27.5

Bài tập cuối chương VII

🔴 120p