🟡 Trung bình 90 phút
Bài 5. Dãy số
Làm quen với khái niệm dãy số, các phương pháp cho dãy số và cách đánh giá tính chất của một dãy số thông qua tính đơn điệu và bị chặn.
Chương: Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Lý thuyết dãy số
1. Định nghĩa và Cách cho dãy số
Dãy số $(u_n)$ là một hàm số $u: \mathbb{N}^* \to \mathbb{R}$.
Các cách cho dãy số phổ biến:
- Công thức tổng quát: $u_n = f(n)$. Ví dụ: $u_n = 2^{n-1}$.
- Truy hồi: Cho số hạng đầu và công thức tính số hạng sau qua số hạng trước. Ví dụ: $u_1 = 1, u_{n} = u_{n-1} + 2$.
- Mô tả: Các số nguyên tố sắp xếp tăng dần.
2. Dãy số tăng, dãy số giảm
- Dãy số tăng: $u_{n+1} > u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
- Dãy số giảm: $u_{n+1} < u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
Phương pháp xét:
1. Xét hiệu $H = u_{n+1} - u_n$. Nếu $H > 0$ thì tăng, $H < 0$ thì giảm.
2. Đối với dãy số dương, xét tỉ số $T = u_{n+1}/u_n$. Nếu $T > 1$ thì tăng, $T < 1$ thì giảm.
1. Xét hiệu $H = u_{n+1} - u_n$. Nếu $H > 0$ thì tăng, $H < 0$ thì giảm.
2. Đối với dãy số dương, xét tỉ số $T = u_{n+1}/u_n$. Nếu $T > 1$ thì tăng, $T < 1$ thì giảm.
3. Dãy số bị chặn
- Bị chặn trên: Tồn tại $M$ sao cho $u_n \le M, \forall n$.
- Bị chặn dưới: Tồn tại $m$ sao cho $u_n \ge m, \forall n$.
- Bị chặn: Vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.
Ví dụ: Dãy $u_n = \sin n$ bị chặn vì $-1 \le \sin n \le 1$.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Xác định các số hạng của dãy số
Phương pháp giải:
Thay $n$ cụ thể vào công thức tổng quát hoặc tính dần từ số hạng đầu theo truy hồi.
Ví dụ:
Cho $u_n = (n-1)/(n+1)$. Tìm $u_{10}$.
$u_{10} = (10-1)/(10+1) = 9/11$.
Cho $u_1 = 2, u_n = 3u_{n-1} + 1$. Tìm $u_3$.
$u_2 = 3(2) + 1 = 7$. $u_3 = 3(7) + 1 = 22$.
Tìm 5 số hạng đầu của dãy số các số lẻ chia hết cho 3.
$3, 9, 15, 21, 27$.
Dạng 2: Xét tính đơn điệu của dãy số
Phương pháp giải:
Xét hiệu $u_{n+1} - u_n$ hoặc dùng đạo hàm của hàm số $f(x)$ liên tục tương ứng.
Ví dụ:
Xét tính tăng giảm của $u_n = 2n + 5$.
$u_{n+1} - u_n = (2n+7) - (2n+5) = 2 > 0 \Rightarrow$ Dãy số tăng.
Dãy $u_n = 1/n$ là dãy tăng hay giảm?
$u_{n+1} - u_n = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n(n+1)) < 0 \Rightarrow$ Dãy số giảm.
Dãy $u_n = (-1)^n$ có đơn điệu không?
$u_1 = -1, u_2 = 1, u_3 = -1 \dots$ Dãy số không tăng, không giảm.
Dạng 3: Xét tính bị chặn của dãy số
Phương pháp giải:
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hoặc sử dụng các bất đẳng thức.
Ví dụ:
Chứng minh $u_n = n/(n+1)$ bị chặn.
$0 < u_n < 1$. Dãy bị chặn.
Dãy $u_n = n^2$ có bị chặn không?
$u_n \ge 1$ (bị chặn dưới) nhưng không bị chặn trên vì $n^2$ tiến tới vô cùng khi $n$ tăng.
Xét tính bị chặn của $u_n = \sin n + \cos n$.
Ta có $-\sqrt{2} \le \sin n + \cos n \le \sqrt{2}$. Dãy bị chặn.