🟡 Trung bình 90 phút
Bài 7. Cấp số nhân
Tìm hiểu về dãy số có quy luật nhân dồn, công thức xác định số hạng tổng quát và tổng của một cấp số nhân.
Chương: Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Lý thuyết cấp số nhân
1. Định nghĩa cấp số nhân
Cấp số nhân là một dãy số mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi $q$.
$u_{n} = u_{n-1} \cdot q$ (với $n \ge 2$)
Số $q$ được gọi là công bội.
2. Số hạng tổng quát và Tính chất
Số hạng thứ $n$ của cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ là:
$$u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$$
Tính chất: $u_k^2 = u_{k-1} \cdot u_{k+1}$ (Bình phương mỗi số bằng tích hai số hạng kề bên).
3. Tổng $n$ số hạng đầu
Cho cấp số nhân có công bội $q \neq 1$. Tổng $S_n$ được tính bởi:
$$S_n = \dfrac{u_1(1 - q^n)}{1 - q}$$
Nếu $q = 1$, cấp số nhân là dãy hằng: $S_n = n \cdot u_1$.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Xác định các yếu tố của CSN
Phương pháp giải:
Kiểm tra tỉ số $u_{n+1}/u_n = q$ (hằng số) để xác định CSN và tìm công bội.
Ví dụ:
Dãy $u_n = 5^n$ có phải CSN không?
$u_{n+1}/u_n = 5^{n+1}/5^n = 5$. Vậy là CSN với $q = 5$.
Cho $u_1 = 3, q = -2$. Tìm $u_4$.
$u_4 = 3 \cdot (-2)^3 = -24$.
Tìm công bội $q$ của CSN: $2, 6, 18, \dots$
$q = 6/2 = 3$.
Dạng 2: Tìm số hạng và công bội
Phương pháp giải:
Lập hệ phương trình hoặc tỉ lệ thức từ $u_n = u_1 q^{n-1}$.
Ví dụ:
Cho CSN có $u_2 = 4$ và $u_4 = 16$. Tìm $u_1$ và $q$.
$u_4/u_2 = q^2 = 16/4 = 4 \Rightarrow q = \pm 2$.
Với $q=2, u_1=2$.
Với $q=-2, u_1=-2$.
Với $q=2, u_1=2$.
Với $q=-2, u_1=-2$.
Trong một CSN, tìm $u_1$ biết $q = 1/2, u_6 = 1$.
$1 = u_1(1/2)^5 \Rightarrow u_1 = 32$.
Tìm số số hạng của CSN $3, 6, \dots, 1536$.
$1536 = 3 \cdot 2^{n-1} \Rightarrow 512 = 2^{n-1} \Rightarrow n-1 = 9 \Rightarrow n = 10$.
Dạng 3: Tính tổng n số hạng đầu
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức $S_n$. Cần xác định đủ $u_1, q, n$.
Ví dụ:
Tính tổng 10 số hạng đầu của CSN có $u_1 = 1, q = 2$.
$S_{10} = 1(1-2^{10})/(1-2) = 1023$.
Tính tổng $1 + 1/2 + 1/4 + \dots + 1/256$.
$u_1=1, q=1/2, u_n=1/2^8 \Rightarrow n=9$.
$S_9 = 1(1-(1/2)^9)/(1-1/2) = 2(1 - 1/512) = 511/256$.
$S_9 = 1(1-(1/2)^9)/(1-1/2) = 2(1 - 1/512) = 511/256$.
Cho CSN $u_n$, biết $u_1=2, q=3$. Tìm $n$ biết $S_n = 242$.
$242 = 2(3^n-1)/(3-1) = 3^n - 1 \Rightarrow 3^n = 243 \Rightarrow n = 5$.