🟡 Trung bình 90 phút
Bài 32. Các quy tắc tính đạo hàm
Thành thạo 'bảng cửu chương' của đạo hàm để xử lý mọi loại biểu thức từ đơn giản đến phức tạp thông qua các quy tắc cộng, nhân, chia và hàm hợp.
Chương: Chương 9: Đạo hàm
Lý thuyết Quy tắc tính Đạo hàm
1. Đạo hàm các hàm số sơ cấp
- $(x^n)' = n x^{n-1}$; $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
- $(\sin x)' = \cos x$; $(\cos x)' = -\sin x$.
- $(e^x)' = e^x$; $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$.
- $(a^x)' = a^x \ln a$; $(\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a}$.
2. Các phép toán đạo hàm
Cho $u, v$ là các hàm số của $x$:
- $(u \pm v)' = u' \pm v'$.
- $(ku)' = k \cdot u'$ (với $k$ là hằng số).
- $(uv)' = u'v + uv'$.
- $(\dfrac{u}{v})' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ (với $v \neq 0$).
3. Đạo hàm hàm hợp
Nếu $y = f(u)$ và $u = u(x)$ thì:
$y'_x = y'_u \cdot u'_x$
Ví dụ: $(\sin u)' = u' \cos u$; $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Phương pháp giải:
Áp dụng tách thành các đạo hàm lẻ theo quy tắc tương ứng. Chú ý dấu của các số hạng khi thực hiện quy tắc chia.
Ví dụ:
Tính đạo hàm của $y = 3x^4 - 2x + 1$.
$y' = 3(4x^3) - 2(1) + 0 = 12x^3 - 2$.
Tính đạo hàm của $y = \dfrac{x+1}{x-2}$.
$y' = \dfrac{(1)(x-2) - (x+1)(1)}{(x-2)^2} = \dfrac{x-2-x-1}{(x-2)^2} = \dfrac{-3}{(x-2)^2}$.
Tính đạo hàm của tích $y = x \cdot \sin x$.
$y' = (x)' \sin x + x (\sin x)' = \sin x + x \cos x$.
Dạng 2: Đạo hàm của hàm hợp
Phương pháp giải:
Nhìn nhận biểu thức dưới dạng $f(u)$. Tìm $u$ là gì, tính $u'$, sau đó nhân kết quả đạo hàm ngoài với $u'$.
Ví dụ:
Tính đạo hàm của $y = (x^2+1)^{10}$.
$u = x^2+1 \Rightarrow u' = 2x$.
$y' = 10(x^2+1)^9 \cdot (2x) = 20x(x^2+1)^9$.
$y' = 10(x^2+1)^9 \cdot (2x) = 20x(x^2+1)^9$.
Tính đạo hàm của $y = \sqrt{2x+3}$.
$y' = \dfrac{(2x+3)'}{2\sqrt{2x+3}} = \dfrac{2}{2\sqrt{2x+3}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x+3}}$.
Tính đạo hàm của $y = \sin(x^2)$.
$y' = (x^2)' \cos(x^2) = 2x \cos(x^2)$.
Dạng 3: Đạo hàm lượng giác, mũ, logarit
Phương pháp giải:
Sử dụng trực tiếp bảng công thức. Kết hợp với hàm hợp khi đối số không phải là $x$.
Ví dụ:
Tính đạo hàm của $y = e^{3x}$.
$y' = (3x)' e^{3x} = 3e^{3x}$.
Tính đạo hàm của $y = \ln(x^2+1)$.
$y' = \dfrac{(x^2+1)'}{x^2+1} = \dfrac{2x}{x^2+1}$.
Tính đạo hàm của $y = \tan 2x$.
$y' = \dfrac{(2x)'}{\cos^2 2x} = \dfrac{2}{\cos^2 2x}$.