🔴 Khó 90 phút
Bài 21. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
Nắm vững các kĩ thuật biến đổi để tìm nghiệm của các phương trình và bất phương trình chứa ẩn ở số mũ hoặc dưới dấu lôgarit.
Chương: Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Lý thuyết PT và BPT mũ, lôgarit
1. Phương trình cơ bản
- Phương trình mũ: $a^x = b$. Nếu $b \le 0$ thì VN; nếu $b > 0$ thì $x = \log_a b$.
- Phương trình lôgarit: $\log_a x = b \Leftrightarrow x = a^b$. (Lưu ý: Luôn có điều kiện biểu thức trong logarit dương).
2. Một số phương pháp giải
- Đưa về cùng cơ số: $a^{f(x)} = a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) = g(x)$.
- Đặt ẩn phụ: Đặt $t = a^x$ (điều kiện $t > 0$) hoặc $t = \log_a x$.
- Lôgarit hóa/Mũ hóa: Lấy logarit hoặc mũ 2 vế.
3. Bất phương trình
QUAN TRỌNG: Phải xét cơ số $a$:
- Nếu $a > 1$: Giữ nguyên chiều bất phương trình ($a^f > a^g \Leftrightarrow f > g$).
- Nếu $0 < a < 1$: Đảo chiều bất phương trình ($a^f > a^g \Leftrightarrow f < g$).
Các dạng bài tập
Dạng 1: Giải phương trình mũ và lôgarit
Phương pháp giải:
Sử dụng các quy tắc biến đổi cơ bản và đưa về cùng cơ số.
Ví dụ:
Giải $2^{x+1} = 8$.
$2^{x+1} = 2^3 \Rightarrow x+1 = 3 \Rightarrow x = 2$.
Giải $\log_3 (x-1) = 2$.
$x-1 = 3^2 = 9 \Rightarrow x = 10$. (Thỏa mãn $x > 1$).
Giải $2^{x^2-1} = 1$.
$x^2-1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$.
Dạng 2: Giải bất phương trình mũ và lôgarit
Phương pháp giải:
Xét cơ số để quyết định giữ hay đảo chiều BPT, đồng thời kết hợp điều kiện xác định.
Ví dụ:
Giải $(1/2)^x < 4$.
$(1/2)^x < (1/2)^{-2}$. Vì $1/2 < 1$ nên $x > -2$.
Giải $\log_2 (x-1) \ge 3$.
Điều kiện $x>1$. $x-1 \ge 2^3 = 8 \Rightarrow x \ge 9$.
Giải $\log_{0,5} x > 2$.
Điều kiện $x>0$. Do $0,5 < 1$ nên $x < (0,5)^2 = 0,25$. Kết quả $0 < x < 0,25$.
Dạng 3: Phương pháp đặt ẩn phụ
Phương pháp giải:
Gặp các dạng lặp lại như $a^{2x}, a^x$ hoặc $(\log_a x)^2, \log_a x$.
Ví dụ:
Giải $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0$.
Đặt $t = 2^x (t>0)$. Ta có $t^2 - 3t + 2 = 0$.
$t=1 \Rightarrow x=0$; $t=2 \Rightarrow x=1$.
$t=1 \Rightarrow x=0$; $t=2 \Rightarrow x=1$.
Giải $(\log_2 x)^2 - \log_2 x^2 - 3 = 0$.
Đặt $t = \log_2 x$. Có $t^2 - 2t - 3 = 0$.
$t=-1 \Rightarrow x=1/2$; $t=3 \Rightarrow x=8$.
$t=-1 \Rightarrow x=1/2$; $t=3 \Rightarrow x=8$.
Giải $9^x + 3^x - 2 = 0$.
$t^2 + t - 2 = 0 \Rightarrow t=1$ (nhận) hoặc $t=-2$ (loại). Vậy $x=0$.