🟡 Trung bình 90 phút
Bài 16. Giới hạn của hàm số
Nghiên cứu sự thay đổi của hàm số khi biến số tiến tới một giá trị cụ thể hoặc ra vô cực, cùng kỹ thuật xử lý các dạng toán vô định đặc trưng.
Chương: Chương 5: Giới hạn – Hàm số liên tục
Lý thuyết giới hạn hàm số
1. Giới hạn tại một điểm
Hàm số $f(x)$ có giới hạn $L$ khi $x \to x_0$ nếu với mọi dãy $(x_n)$ tiến về $x_0$, ta đều có $f(x_n)$ tiến về $L$.
Điều kiện tồn tại: $\lim_{x \to x_0} f(x)$ tồn tại khi và chỉ khi $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x)$.
2. Giới hạn tại vô cực
Tính tương tự giới hạn dãy số:
- $\lim_{x \to \pm \infty} \dfrac{1}{x^k} = 0$.
- $\lim_{x \to +\infty} x^k = +\infty$ ($k$ nguyên dương).
3. Một số giới hạn đặc biệt và dạng vô định
- Dạng $0/0$: Phân tích thành nhân tử hoặc nhân liên hợp để triệt tiêu nhân tử $(x - x_0)$.
- Dạng $L/0$: Kết quả tiến tới vô cực (xét dấu để biết $+\infty$ hay $-\infty$).
- Giới hạn lượng giác cơ bản: $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Giới hạn tại một điểm - Dạng 0/0
Phương pháp giải:
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử chứa $(x - x_0)$ rồi rút gọn, hoặc sử dụng biểu thức liên hợp nếu có căn.
Ví dụ:
Tính $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$.
$= \lim_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2$.
Tính $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x+1} - 1}{x}$.
Nhân liên hợp: $= \lim_{x \to 0} \dfrac{(x+1) - 1}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1} = 1/2$.
Tính $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 8}{x - 2}$.
$= \lim_{x \to 2} (x^2 + 2x + 4) = 4 + 4 + 4 = 12$.
Dạng 2: Giới hạn tại vô cực
Phương pháp giải:
Rút lũy thừa bậc cao nhất của $x$ ra ngoài làm nhân tử chung.
Ví dụ:
Tính $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 + 1}{x^2 - 5x}$.
$= \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3 + 1/x^2}{1 - 5/x} = 3/1 = 3$.
Tính $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 1}}$.
Khi $x < 0$, $\sqrt{x^2} = |x| = -x$. $= \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x(1 + 2/x)}{-x\sqrt{1 + 1/x^2}} = -1$.
Tính $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+x} - x)$.
Nhân liên hợp được $1/2$.
Dạng 3: Giới hạn một bên và sự tồn tại giới hạn
Phương pháp giải:
Tính giới hạn bên trái ($x \to x_0^-$) và bên phải ($x \to x_0^+$). Nếu hai kết quả bằng nhau thì giới hạn tại $x_0$ tồn tại.
Ví dụ:
Cho $f(x) = x+1$ nếu $x \ge 0$ và $f(x) = 1-x$ nếu $x < 0$. Tìm $\lim_{x \to 0} f(x)$.
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1; \lim_{x \to 0^-} f(x) = 1$. Vậy giới hạn bằng 1.
Tìm giới hạn $\lim_{x \to 1^+} \dfrac{2}{x - 1}$.
Khi $x > 1$, $x-1 > 0$. Kết quả là $+\infty$.
Hàm số có giới hạn tại vô cực không?
Phụ thuộc vào tiệm cận của đồ thị hàm số.