🟡 Trung bình 90 phút
Bài 30. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập
Tìm hiểu cách tính khả năng xảy ra đồng thời của các sự kiện không liên quan, chìa khóa để phân tích các hệ thống phức tạp và rủi ro chuỗi.
Chương: Chương 8: Các quy tắc tính xác suất
Lý thuyết Công thức nhân xác suất
1. Công thức nhân xác suất
Nếu hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với nhau thì xác suất để cả hai cùng xảy ra là tích các xác suất thành phần:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
Mở rộng: Nếu $A_1, A_2, \dots, A_n$ độc lập thì $P(A_1 \cap \dots \cap A_n) = P(A_1) \cdot \dots \cdot P(A_n)$.
2. Lưu ý về tính độc lập
- Khi $A, B$ độc lập thì các cặp $(\bar{A}, B), (A, \bar{B}), (\bar{A}, \bar{B})$ cũng độc lập.
- Khác với xung khắc: Biến cố xung khắc không thể cùng xảy ra ($P(AB)=0$), còn biến cố độc lập vẫn có thể cùng xảy ra ($P(AB) > 0$ nếu các xác suất đơn lẻ dương).
3. Ứng dụng trong hệ thống
- Hệ thống nối tiếp: Hoạt động khi MỌI linh kiện hoạt động $\Rightarrow P = P_1 \cdot P_2$.
- Hệ thống song song: Hoạt động khi CÓ ÍT NHẤT 1 linh kiện hoạt động $\Rightarrow P = 1 - (1-P_1)(1-P_2)$.
Các dạng bài tập
Dạng 1: Tính xác suất đồng thời xảy ra
Phương pháp giải:
Xác định rõ các biến cố thành phần có độc lập hay không (thường là do những người khác nhau thực hiện hoặc các lần thử lặp lại). Nhân các xác suất tương ứng.
Ví dụ:
Hai xạ thủ bắn độc lập. Xác suất trúng của người 1 là 0,8 và người 2 là 0,7. Tính xác suất cả hai cùng trúng.
$P = 0,8 \cdot 0,7 = 0,56$.
An giải bài tập xác suất 0,6; Bình giải 0,7. Tính xác suất chỉ có Bình giải được.
Bình giải được VÀ An trượt. $P = 0,7 \cdot (1 - 0,6) = 0,28$.
Tính xác suất gieo đồng xu 5 lần đều mặt ngửa.
$(1/2)^5 = 1/32$.
Dạng 2: Bài toán hệ thống linh kiện
Phương pháp giải:
Phân tích sơ đồ mạch điện/hệ thống. Dùng quy tắc nhân cho các phần nối tiếp và quy tắc biến cố đối (hoặc cộng) cho các phần song song.
Ví dụ:
Một hệ thống gồm 2 linh kiện lắp nối tiếp, độ tin cậy lần lượt là 0,9 và 0,95. Tính độ tin cậy hệ thống.
$P = 0,9 \cdot 0,95 = 0,855$.
Nếu lắp song song 2 linh kiện trên. Tính xác suất hệ thống hoạt động.
$P = 1 - (1-0,9)(1-0,95) = 1 - 0,1 \cdot 0,05 = 0,995$.
Hệ thống có 3 bóng đèn lắp song song.
Xác suất cháy cả 3 là tích, xác suất sáng là 1 trừ tích.
Dạng 3: Xác suất độc lập trong trò chơi và thực tế
Phương pháp giải:
Mô hình hóa chuỗi sự kiện. Dùng lũy thừa khi các xác suất giống nhau qua các lần thử.
Ví dụ:
Một câu hỏi trắc nghiệm có 4 phương án. Một học sinh chọn lụi 5 câu. Tính xác suất đúng cả 5 câu.
$(1/4)^5 = 1/1024$.
Xác suất sinh con trai là 0,51. Tính xác suất một gia đình sinh 3 con đều là gái.
$(1 - 0,51)^3 = 0,49^3 \approx 0,1176$.
Bốc thăm trúng thưởng có hoàn lại.
Xác suất không đổi qua các lần bốc.