SBT Toán 9 Bài 9: Độ dài đường tròn, cung tròn | Giải SBT Toán lớp 9

Giải SBT Toán 9 Bài 9: Độ dài đường tròn, cung tròn

Bài 52 trang 109 SBT Toán 9 tập 2: Cho hai đường tròn có bán kính lần lượt là $R=1km$ và $r=1m.$ Nếu độ dài của mỗi đường tròn ấy đều tăng thêm $1m$ thì bán kính của mỗi đường tròn tăng thêm bao nhiêu? Hãy giải thích.
Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Độ dài $C$ của một đường tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: 

Lời giải:

Gọi phần bán kính tăng thêm của đường tròn bán kính $R$ là $a,$ phần bán kính tăng thêm của đường tròn bán kính $r$ là $b.$ Khi bán kính mỗi đường tròn tăng thêm $1m,$ ta có:

$2\pi (R+a)=2\pi R+1\Rightarrow 2\pi a=1$$\Rightarrow a=\frac{1}{2\pi }(m)$

$2\pi (r+b)=2\pi r+1\Rightarrow 2\pi b=1$$\Rightarrow b=\frac{1}{2\pi }(m)$

Vậy bán kính mỗi đường tròn đều tăng thêm $\frac{1}{2\pi }(m)$.

Bài 53 trang 109 SBT Toán 9 tập 2: Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp:

$a)$ Một lục giác đều có cạnh là $4cm;$

$b)$ Một hình vuông có cạnh là $4cm;$

$c)$ Một tam giác đều có cạnh là $6cm.$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Độ dài $C$ của một đường tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $C=2\pi R.$

+) Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác.

+) Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác.

Lời giải:

$a)$ 

 

Cạnh lục giác đều nội tiếp trong đường tròn $(O;R)$ bằng bán kính $R.$ Vì cạnh lục giác đều là $4cm$ $\Rightarrow R=4cm.$

$C=2\pi R=2.\pi .4=8\pi (cm)$

$b)$

Đường tròn ngoại tiếp hình vuông có đường kính là đường chéo của hình vuông.

Độ dài đường chéo hình vuông có cạnh bằng $4(cm)$ là $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=4\sqrt{2}$$(cm)$ (định lý Pytago)

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông:

$R=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$

$C=2\pi R=2.\pi .2\sqrt{2}=4\pi \sqrt{2}(cm)$ 

$c)$

Vì tam giác đều nên giao điểm $3$ đường trung trực cũng là giao điểm $3$ đường cao, $3$ đường trung tuyến nên bán kính của đường tròn ngoại tiếp bằng $\frac{2}{3}$ đường cao của tam giác đều.

Xét tam giác vuông $AHB,$ ta có: 

$AH=AB.\sin \hat{B}=6.\sin 60^{\circ }$$=6.\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$

Bán kính $R=\frac{2}{3}AH=\frac{2}{3}.3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$$(cm)$

$C=2\pi R=2\pi .2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\pi (cm).$

Bài 54 trang 110 SBT Toán 9 tập 2: Xích đạo là một đường tròn lớn của Trái Đất có độ dài khoảng $40000km.$ Hãy tính bán kính của Trái Đất.
Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Độ dài $C$ của một đường tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $C=2\pi R$

Lời giải:

Gọi bán kính trái đất là $R$

Ta có: $2\pi R=40000(km)$

$\Rightarrow R=\frac{40000}{2\pi }\approx \frac{40000}{6,28}\approx 6369(km)$

Bài 55 trang 110 SBT Toán 9 tập 2: Mát – xcơ – va có vĩ độ là ${56}^{\circ }$ Bắc. Tìm độ dài cung kinh tuyến từ Mát – xcơ – va đến Xích Đạo, biết rằng mỗi kinh tuyến là một nửa đường tròn lớn của Trái Đất, có độ dài khoảng $20000km.$
Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của nửa đường tròn bằng ${180}^o.$

+) Trong đường tròn $R,$ độ dài $l$ của một cung $n^{\circ }$ được tính theo công thức: $l=\frac{\pi Rn}{180}.$

Lời giải:

Ta có cung ${180}^{\circ }$ (một nửa đường tròn lớn) có độ dài bằng $20000km.$

Độ dài của cung ${56}^{\circ }$ là: $l=\frac{20000.56}{180}\approx 6222$ $(km)$

Vậy Mát – xcơ – va cách xích đạo khoảng $6222km.$

Bài 56 trang 110 SBT Toán 9 tập 2: Hãy so sánh độ dài ba đường cong $a,b,c$ trong hình $6.$ 

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

 +) Trong đường tròn $R,$ độ dài $l$ của một cung $n^{\circ }$ được tính theo công thức: $l=\frac{\pi Rn}{180}.$

Lời giải:

Đường cong $a$ là nửa đường tròn đường kính $12cm$

Đường cong $a$ có độ dài $l_1=\frac{1}{2}\pi .12=6\pi$ (cm)

Đường cong $b$ gồm 3 nửa đường tròn có đường kính là 4 cm

Đường cong $b$ có độ dài $l_2=3.\frac{1}{2}\pi .4=6\pi$ (cm)

Đường cong $c$ gồm hai nửa đường tròn đường kính $6cm.$

Đường cong $c$ có độ dài $l_3=2.\frac{1}{2}\pi .6=6\pi$ (cm)

Vậy $3$ đường cong có độ dài bằng nhau.

Bài 57 trang 110 SBT Toán 9 tập 2: Các tam giác trong hai hình quả tim dưới đây $(h.7$ và $h.8)$ đều là tam giác đều. Biết $AB=CD=8cm.$ Tính chu vi của mỗi hình quả tim. 

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Độ dài $C$ của một đường tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $C=2\pi R.$ Nếu gọi $d$ là đường kính đường tròn $(d=2R)$ thì $C=\pi d.$

Lời giải:

Hình $7$ có $2$ nửa đường tròn đường kính $4cm$ và có 4 cung có độ dài là $\frac{1}{6}$ đường tròn bán kính $4cm$ 

$\stackrel{⏜}{AmI}$ là nửa đường tròn đường kính $4cm$, gọi độ dài cung này là $l_1$, có 2 cung như thế. 

$l_1=\frac{1}{2}\pi .4=2\pi$ (cm)

$\stackrel{⏜}{AnJ}$ là cung $\frac{1}{6}$ đường tròn bán kính $4cm$ (trên hình 7 có $4$ cung bằng nhau (vì $4$ đường tròn đó có cùng bán kính)) 

Gọi $\stackrel{⏜}{AnJ}$ có độ dài $l_2$

$l_2=\frac{1}{6}.2\pi .4=\frac{4}{3}\pi$ $(cm)$

Chu vi hình $7$ là: $2.l_1+4.l_2$$=2\pi .2+\frac{4}{3}\pi .4=\frac{28}{3}\pi$ $(cm)$

Hình $8$ có hai nửa đường tròn đường kính $4cm$ và hai cung $\frac{1}{6}$ đường tròn bán kính $8cm$

Cung $\stackrel{⏜}{CpS}$ là nửa đường tròn đường kính $4cm$ có độ dài $l_1$

$l_1=\frac{1}{2}.\pi .4=2\pi$ (cm)

Cung $\stackrel{⏜}{CqT}$ là $\frac{1}{6}$ đường tròn bán kính $8cm$ có độ dài $l_2$

$l_2=\frac{1}{6}.2\pi .8=\frac{8}{3}\pi$ $(cm)$

Chu vi hình $8$ bằng: $2.l_1+2.l_2=2.2\pi +2.\frac{8}{3}\pi =\frac{28}{3}\pi$ $(cm)$

Bài 58 trang 110 SBT Toán 9 tập 2: Vẽ hình quả trứng $(h.9)$ với $AB=3cm.$ Nêu cách vẽ. Tính chu vi của hình quả trứng đó.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Độ dài $C$ của một đường tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $C=2\pi R$

Lời giải:

Cách vẽ:

– Vẽ đoạn thẳng $AB=3$ cm 

– Vẽ đường tròn tâm $A$ bán kính $3cm$

– Vẽ đường tròn tâm $B$ bán kính $3cm$

Đường tròn $(A)$ và đường tròn $(B)$ cắt nhau tại $C$ và $D.$

– Vẽ cung tròn tâm $C$ bán kính $6cm$ cắt đường tròn $(A)$ và $(B)$ tại $F$ và $H$

– Vẽ cũng tròn tâm $D$ bán kính $6cm$ cắt đường tròn $(A)$ và $(B)$ tại $E$ và $G.$

Tính chu vi:

Theo cách vẽ, ta có $∆ABD$ đều, $∆ACD$ đều.

$\Rightarrow \widehat{CAD}=\widehat{CBD}={120}^0$

$\stackrel{⏜}{FmE}$ = $\stackrel{⏜}{HG}$; $\stackrel{⏜}{FnH}$ = $\stackrel{⏜}{EG}$

Cung $\stackrel{⏜}{FmE}$ bằng $\frac{1}{3}$ đường tròn đường kính $3cm$ nên có độ dài là:

$l_1=\frac{1}{3}.2\pi .3=2\pi$ $(cm)$

Cung $\stackrel{⏜}{FnH}$ bằng $\frac{1}{6}$ đường tròn bán kính $6cm$ nên có độ dài là: 

$l_2=\frac{1}{6}.2\pi .6=2\pi$ $(cm)$

Chu vi quả trứng bằng:

$2l_1+2l_2=2.2\pi +2.2\pi =8\pi$$(cm)$

Bài 59 trang 110 SBT Toán 9 tập 2: Tính độ dài cung ${36}^{\circ }{45}^{\prime }$ của một đường tròn có bán kính là $R.$
Phương pháp giải:
 

Ta sử dụng kiến thức: Trong đường tròn $R,$ độ dài $l$ của một cung $n^{\circ }$ được tính theo công thức: $l=\frac{\pi Rn}{180}.$ 

Lời giải:

Đổi ${36}^{\circ }{45}^{\prime }=\frac{{147}^{\circ }}{4}$

$l=\frac{\pi R.n}{180}$ $\Rightarrow l=\frac{\pi R.\frac{147}{4}}{180}=\frac{49}{240}\pi R$

Bài 60 trang 110 SBT Toán 9 tập 2: Cho tam giác cân $ABC$ có $\hat{B}={120}^{\circ },$ $AC=6cm.$ Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

+) Trong giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy cũng là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.

+) Trong một đường tròn, góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng ${90}^{\circ }$) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

+) Độ dài $C$ của một đường tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $C=2\pi R$

Lời giải:

Vẽ đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ 

$∆ABC$ cân có $\hat{B}={120}^{\circ }$ nên $∆ABC$ cân tại $B$ 

$\Rightarrow \hat{A}=\hat{C}=\frac{{180}^{\circ }-{120}^{\circ }}{2}={30}^0$

Kẻ $BH\mathrm{\perp }AC$$\Rightarrow AH=HC=\frac{1}{2}AC=3$ $(cm)$

Trong tam giác vuông $BHA$ ta có $\widehat{BHA}={90}^0$ có:

$AB=\frac{AH}{\cos A}$$=\frac{3}{\cos {30}^0}$$=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$=2\sqrt{3}(cm)$

Xét đường tròn $(O)$ có: $\hat{C}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}$ (hệ quả góc nội tiếp)

$\Rightarrow \widehat{AOB}=2\hat{C}={2.30}^0={60}^0$

$OA=OB$ (bán kính)

Suy ra $∆AOB$ đều nên $OA=OB=2\sqrt{3}(cm)$

Độ dài đường tròn ngoại tiếp $∆ABC$

$C=2\pi R$$=2\pi .2\sqrt{3}=4\pi \sqrt{3}$ $(cm)$

Bài 61 trang 110 SBT Toán 9 tập 2: Trong dân gian Việt Nam có lưu truyền quy tắc sau đây để tìm đường kính sau đây để tìm đường kính khi biết độ dài đường tròn: “Quân bát, phát tam, tồn ngũ, quân nhị”, tức là chia đường tròn thánh tám phần, bỏ đi ba phần, còn lại năm phần, lại chia đôi.

$a)$ Theo quy tắc đó thì số $\pi$ được lấy gần đúng là bao nhiêu$?$

$b)$ Hãy áp dụng quy tắc trên để tính đường kính của một thân cây gần tròn bằng cách dùng dây quấn quanh thân cây.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Độ dài $C$ của một đường tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $C=2\pi R.$ Nếu gọi $d$ là đường kính đường tròn $(d=2R)$ thì $C=\pi d.$

Lời giải:

$a)$ Gọi $C$ là độ dài đường tròn, $d$ là đường kính $\Rightarrow \pi =\frac{C}{d}$

Theo quy tắc trên ta tìm được đường kính $d$ như sau:

Lấy $C$ chia làm $8$ phần, bỏ đi $3$ và phần còn lại chia $2.$

Ta có: $d=\left(\frac{C}{8}-\frac{3}{8}C\right):2$

            $=\frac{5}{8}C:2=\frac{5C}{16}$

$\pi =\frac{C}{d}=\frac{C}{\frac{5C}{16}}=\frac{16}{5}=3,2$

$b)$ Lấy dây quấn quanh thân cây được độ dài đường tròn là $C.$

Suy ra đường kính thân cây là $\frac{5}{16}C$

Bài 62 trang 110 SBT Toán 9 tập 2: Trái Đất quay xung quanh Mặt Trời theo một quỹ đạo gần tròn. Giả thiết quỹ đạo này tròn và có bán kính khoảng $150$ triệu kilomet. Cứ hết một năm thì Trái Đất quay được một vòng quanh Mặt Trời. Biết $1$ năm có $365$ ngày, hãy tính quãng đường đi được của Trái Đất sau $1$ ngày (làm tròn đến $10000km$).
Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Độ dài $C$ của một đường tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $C=2\pi R$

Lời giải:

Quãng đường đi của Trái Đất trong một năm là:

$2\pi R=2.3,14.150000000$ $km$

Quãng đường đi của Trái Đất trong $1$ ngày là:

$\frac{2.3,14.150000000}{365}\approx 2580822$

$\approx 2580000km$

Bài tập bổ sung (trang 111 SBT Toán 9)

 

Bài 9.1 trang 111 SBT Toán 9 tập 2: Tính chu vi của hình bên biết $OA=OB=R>0$ $(h.bs.5).$ 

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Độ dài $C$ của một đường tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $C=2\pi R$

Lời giải:

Hình đó gồm một nửa đường tròn bán kính $3R$ và $3$ nửa đường tròn bán kính $R$

Chu vi của hình đó là:

$l=\frac{1}{2}.2\pi .3R+3.\frac{1}{2}.2\pi .R=6\pi R$

Bài 9.1 trang 111 SBT Toán 9 tập 2: Tính chu vi của hình cánh hoa, biết $OA=R$ $(h.bs.6).$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

+) Trong đường tròn $R,$ độ dài $l$ của một cung $n^{\circ }$ được tính theo công thức: $l=\frac{\pi Rn}{180}.$

Lời giải:

Hình vẽ có $6$ cung tròn bằng nhau có bán kính bằng $R$

$\stackrel{⏜}{BOF}$ của đường tròn $(A;R)$

$\stackrel{⏜}{AOC}$ của đường tròn $(B;R)$

$\stackrel{⏜}{BOD}$ của đường tròn $(C;R)$

$\stackrel{⏜}{COE}$ của đường tròn $(D;R)$

$\stackrel{⏜}{DOF}$ của đường tròn $(E;R)$

$\stackrel{⏜}{EOA}$ của đường tròn $(F;R)$

Vì ABCDEF là lục giác đều nội tiếp đường tròn tâm O (theo cách vẽ hình cánh hoa) nên $AB=BC=CD=DE=EF$

Từ đó suy ra các tam giác OAB, OBC, OCD, ODE, OEF, OFA bằng nhau (c-c-c)

Nên: $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COD}$$=\widehat{DOE}=\widehat{EOF}=\widehat{FOA}=\frac{{360}^0}{6}={60}^0$

Vì OA=OB và $\widehat{AOB}={60}^0$ nên $∆AOB$ đều, tương tự ta có $∆AOF$ đều nên $\widehat{BAF}={120}^{\circ }$ 

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{BOF}={120}^{\circ }$

$l=\frac{\pi R.120}{180}=\frac{2\pi R}{3}$

Chu vi cánh hoa: $\frac{2\pi R}{3}.6=4\pi R$