Giải SGK Toán 9 Bài 9: Độ dài đường tròn, cung tròn

Giải bài tập Toán lớp 9 Bài 9: Độ dài đường tròn, cung tròn

Trả lời câu hỏi giữa bài

Câu hỏi 1 trang 92 SGK Toán lớp 9 Tập 2:Em hãy tìm số $\mathrm{\pi }$ bằng cách sau:

Vật liệu: Tấm bìa, kéo, compa, thước có chia khoảng, sợi chỉ.

a) Vẽ trên bìa năm đường tròn tâm O₁, O₂, O₃, O₄, O₅ có bán kính khác nhau.

b) Cắt ra thành năm hình tròn.

c) Đo chu vi năm hình tròn đó bằng sợi chỉ (càng chính xác càng tốt).

Lời giải:

Ta thực hiện theo các bước của yêu cầu trên. Ta đo được như sau:

Ta có:

$\pi =\frac{C}{d}\approx \frac{3,2+3,167+3,15+3,1+3,15}{5}\approx 3,1534$

Ta chỉ ước lượng được giá trị gần đúng của số $\mathrm{\pi }$.

Câu hỏi 2 trang 93 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Hãy điền biểu thức thích hợp vào các chỗ trống (…) trong dãy lập luận sau:

Đường tròn bán kính R (ứng với cung ${360}^0$) có độ dài là…

Vậy cung $1^0$, bán kính R có độ dài là: $\frac{2\pi R}{360}=$…

Suy ra cung $n^0$, bán kính R có độ dài là:…

Lời giải:

Đường tròn bán kính R (ứng với cung ${360}^0$) có độ dài là $2\mathrm{\pi R}$.

Vậy cung $1^0$, bán kính R có độ dài là: $\frac{2\pi R}{360}=\frac{\pi R}{180}$.

Suy ra cung $n^0$, bán kính R có độ dài là $\frac{\pi Rn}{180}$.

Bài tập (trang 94; 95)

Bài 65 trang 94 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Lấy giá trị gần đúng của  là 3,14, hãy điền vào ô trống trong bảng sau (đơn vị độ dài: cm, làm tròn kết quả đến chữ thập phân thứ hai).

Lời giải:

Áp dụng các công thức: $C=2\pi R\Rightarrow R=\frac{C}{2\pi };$$C=\pi d\Rightarrow d=\frac{C}{\pi }$

Ta điền được bảng sau:

Bài 66 trang 95 SGK Toán lớp 9 Tập 2: a) Tính độ dài cung  của một đường tròn có bán kính 2 dm.

b) Tính chu vi vành xe đạp có đường kính 650 mm.

Lời giải:

Bài 67 trang 95 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Lấy giá trị gần đúng của $\mathrm{\pi }$ là 3,14, hãy điền vào ô trống trong bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất và đến độ):

Lời giải

Bài 68 trang 95 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Cho ba điểm A,B,C thẳng hàng sao cho B nằm  giữa A và C. Chứng minh rằng độ dài của nửa đường tròn đường kính AC bằng tổng các độ dài của hai nửa đường tròn đường kính AB và BC.

Lời giải:

Gọi $C_1,C_2,C_3$ lần lượt là độ dài của các nửa đường tròn đường kính AC, AB, BC, ta có:

Bài 69 trang 95 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Máy kéo nông nghiệp có hai bánh sau to hơn hai bánh trước. Khi bơm căng, bánh xe sau có đường kính là 1,672m và bánh xe trước có đường kính là 88cm. Hỏi khi bánh xe sau lăn được 10 vòng thì bánh xe trước lăn được mấy vòng ?

Lời giải:

Khi bánh xe sau lăn được 10 vòng thì quãng đường đi được là:

$S_1=\pi .1,672.10=\pi .16,72$ (m)

Do quãng đường bánh trước và bánh sau đi được là như nhau

Khi đó số vòng lăn của bánh xe trước là: $\frac{\pi .16,72}{0,88\pi }=19$(vòng)

Luyện tập trang 95, 96

Bài 70 trang 95 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Vẽ lại ba hình (tạo bởi các cung tròn) dưới đây và tính chu vi của mỗi hình (có gạch chéo)

Lời giải:

Hình 52:

Phần gạch chéo là đường tròn đường kính d = 4cm

 Chu vi của hình là: $C=\pi d=4\pi \approx 12,57$ (cm)

Hình 53: Chu vi gồm nửa đường tròn C; cung tròn $C_1$ và cung tròn $C_2$

C là nửa đường tròn đường kính d = 4cm nên R = 2cm

$\Rightarrow C=\pi R=2\pi \left(cm\right)$

Chu vi cần tính là 4 cung tròn $C_1,C_2,C_3,C_4$

$C_1,C_2,C_3,C_4$ đều là $\frac{1}{4}$ đường tròn bán kính R = 2cm

Bài 71 trang 96 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Vẽ lại hình tạo bởi các cung tròn dưới đây với tâm lần lượt là B, C, D, A theo đúng kích thước đã cho (cạnh hình vuông ABCD dài 1cm). Nêu cách vẽ đường xoắn AEFGH. Tính độ dài đường xoắn đó.

Lời giải

Cách vẽ:

– Vẽ hình vuông ABCD độ dài cạnh bằng 1cm.

– Vẽ $\frac{1}{4}$ đường tròn tâm B bán kính 1cm. Ta được cung AE.

– Vẽ $\frac{1}{4}$ đường tròn tâm C, bán kính 2cm. Ta được cung EF.

– Vẽ $\frac{1}{4}$ đường tròn tâm D, bán kính 3cm. Ta được cung FG.

– Vẽ $\frac{1}{4}$ đường tròn tâm A, bán kính 4cm. Ta được cung GH.

Tính:

Bài 72 trang 96 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Bánh xe của một ròng rọc có chu vi là 540mm. Dây cua – roa bao bánh xe theo cung AB có độ dài 200mm. Tính góc AOB (h.56).

Lời giải:

Bánh xe của một ròng rọc có chu vi là 540mm

Ta có: $C=2\pi R$$\Rightarrow R=\frac{C}{2\pi }=\frac{540}{2\pi }\approx 86$ (mm)

Dây cua – roa bao bánh xe theo cung AB có độ dài 200mm

Ta có:

Bài 73 trang 96 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Đường tròn lớn của Trái Đất dài khoảng 40000 km. Tính bán kính của Trái Đất.

Lời giải:

Đường tròn lớn của Trái Đất dài khoảng 40000 km.

Ta có:

$C=2\pi R=40000\Rightarrow R=\frac{40000}{2\pi }\approx 6369 \left(km\right)$

Vậy bán kính của Trái Đất dài khoảng 6369 km.

Bài 74 trang 96 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Vĩ độ của Hà Nội là ${20}^{o}01‘$. Mỗi vòng kinh tuyến của Trái Đất dài khoảng 40000km. Tính độ dài cung kinh tuyến từ Hà Nội đến xích đạo.

Lời giải:

Ta có: ${20}^{o}01‘={\left(\frac{1201}{60}\right)}^o$

Mỗi vòng kinh tuyến của trái đất dài 40000km

Ta có: $C=2\pi R=40000$$\Rightarrow \pi R=20000$ (với R là bán kính trái đất)

Hà Nội có vĩ độ ${\left(\frac{1201}{60}\right)}^o$ là hay cung kinh tuyến từ Hà Nội đến xích đạo là $n={\left(\frac{1201}{60}\right)}^o$

Vậy độ dài cung kinh tuyến từ Hà Nội đến xích đạo là:

$l=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{40000.\left(\frac{1201}{60}\right)}{180}\approx 2224,07 \left(km\right)$

Bài 75 trang 96 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Cho đường tròn (O), bán kính OM. Vẽ đường tròn tâm O’, đường kính OM. Một bán kính OA của đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) ở B.

Chứng minh $\stackrel{⏜}{MA}$ và $\stackrel{⏜}{MB}$ có độ dài bằng nhau.

Lời giải:

Ta có:

Góc BOM là góc nội tiếp chắn cung BM của (O’)

Góc BO’M là góc ở tâm chắn cung BM của (O’)

Giả sử $\widehat{BOM}=\alpha \Rightarrow \widehat{BO‘M}=2\alpha$

Độ dài cung MB là: $l_{MB}=\frac{\pi .MO‘.2\alpha }{180}=\frac{\alpha .\pi .MO‘}{90}$ (1)

OM là đường kính của đường tròn (O’) $\Rightarrow MO=2MO‘$

Độ dài cung MA là:

$l_{MA}=\frac{\pi .MO.\alpha }{180}$$=\frac{\alpha .\pi .2MO‘}{180}=\frac{\alpha .\pi .MO‘}{90}$  (2)

Từ (1) và (2) ta có: $l_{MB}=l_{MA}$ (đcpcm).

Bài 76 trang 96 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Xem hình 57 và so sánh độ dài của cung AmB với độ dài đường gấp khúc AOB.

Lời giải

Vậy độ dài cung AmB lớn hơn độ dài đường gấp khúc AOB.