Giải Toán 9 Bài 1: Căn bậc hai

Giải bài tập Toán 9 Bài 1: Căn bậc hai

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 4 SGK Toán 9 Tập 1:Tìm các căn bậc hai của mỗi số sau:

a) 9;        b) $\frac{4}{9}$;        c) 0,25;        d) 2.  

Phương pháp giải:

+ Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho $x^2=a.$

+ Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau  là $\sqrt{a}$  và $-\sqrt{a}$.

Lời giải:

+ Căn bậc hai của số $9$ là $3$ và $-3$ (vì $3^2=9$ và $(-3{)}^2=9$) 

+ Căn bậc hai của số $\frac{4}{9}$ là $\frac{2}{3}$ và $-\frac{2}{3}$ (vì ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$ và ${\left(-\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$)

+ Căn bậc hai của số $0,25$ là $0,5$ và $-0,5$ ( vì $0,5^2=0,25$ và $(-0,5{)}^2=0,25$)

+ Căn bậc hai của số $2$ là $\sqrt{2}$ và $-\sqrt{2}$ (vì $(\sqrt{2}{)}^2=2$ và $(-\sqrt{2}{)}^2=2$)

Trả lời câu hỏi 2 trang 5 SGK Toán 9 Tập 1: Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau:

a) 49

b) 64

c) 81

d) 1.21

Phương pháp giải:

Ta sử dụng: Nếu $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x^2=a\end{array}$  thì $x=\sqrt{a}.$ 

Lời giải:

a) $\sqrt{49}=7$ vì $7\ge 0$ và 72 = 49

b) $\sqrt{64}=8$ vì $8\ge 0$ và 82 = 64 

c) $\sqrt{81}=9$ vì $9\ge 0$ và 92 = 81 

d) $\sqrt{1,21}=1,1$ vì $1,1\ge 0$ và 1,12 = 1,21  

Trả lời câu hỏi 3 trang 5 SGK Toán 9 Tập 1: Tìm các căn bậc hai của mỗi số sau:

a) $64$

b) 81

c) 1.21

Phương pháp giải:

Căn bậc hai của số $a$ không âm là $\sqrt{a}$ và $-\sqrt{a}$ 

Lời giải:

a) Căn bậc hai của số $64$ là $8$ và $-8$ 

b) Căn bậc hai của số $81$ là $9$ và $-9$ 

c) Căn bậc hai của số $1,21$ là $1,1$ và $-1,1$ 

Trả lời câu hỏi 4 trang 6 SGK Toán 9 Tập 1: So sánh:

a) 4 và $\sqrt{15}$

b) $\sqrt{11}$ và 3. 

Phương pháp giải:

Sử dụng với hai số $a;b$ không âm ta có $\sqrt{a}<\sqrt{b}\iff a<b$ 

Lời giải:

a) Vì 16 > 15 nên $\sqrt{16}>\sqrt{15}$. Vậy 4 > $\sqrt{15}$

b) Vì 11 > 9 nên $\sqrt{11}>\sqrt{9}$. Vậy $\sqrt{11}$ > 3 

Trả lời câu hỏi 5 trang 6 SGK Toán 9 Tập 1:Tìm số $x$ không âm, biết: 

a) $\sqrt{x}>1$ 

b) $\sqrt{x}<3$ 

a) Phương pháp giải:

Sử dụng với hai số $a;b$ không âm ta có $\sqrt{a}>\sqrt{b}\iff a>b$ rồi kết hợp với $x$ không âm để  kết luận.

Lời giải: 

$\sqrt{x}>1\iff \sqrt{x}>\sqrt{1}\iff x>1$

Kết hợp với  $x\ge 0$ ta có $x>1$ thỏa mãn đề bài.

b) Phương pháp giải:

Sử dụng với hai số $a;b$ không âm ta có $\sqrt{a}<\sqrt{b}\iff a<b$ rồi kết hợp với $x$ không âm để  kết luận.

Lời giải:

$\sqrt{x}<3\iff \sqrt{x}<\sqrt{9}\iff x<9$

Kết hợp điều kiện $x\ge 0$ ta có $0\le x<9$

Bài tập ( trang 6-7 ) SGK Toán 9

Bài 1 trang 6 SGK Toán 9 Tập 1 :Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng

121;   144;   169;   225;  256;  324;   361;   400.

Phương pháp giải:

+) Căn bậc hai số học của $a$ là $\sqrt{a}$ với $a>0$.

+) Số dương $a$ có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là $\sqrt{a}$ và số âm kí hiệu là $-\sqrt{a}$.

Lời giải: 

Ta có:

+ $\sqrt{121}$ có căn bậc hai số học là $11$ (vì $11>0$ và ${11}^2=121$ )

             $\Rightarrow 121$ có hai căn bậc hai là $11$ và $-11$.

+ $\sqrt{144}$ có căn bậc hai số học là $12$ (vì $12>0$ và ${12}^2=144$ )

             $\Rightarrow 144$ có hai căn bậc hai là $12$ và $-12$.

+ $\sqrt{169}$ có căn bậc hai số học là $13$ (vì $13>0$ và ${13}^2=169$ )

             $\Rightarrow 169$ có hai căn bậc hai là $13$ và $-13$.

+ $\sqrt{225}$ có căn bậc hai số học là $15$ (vì $15>0$ và ${15}^2=225$ )

            $\Rightarrow 225$ có hai căn bậc hai là $15$ và $-15$.

+ $\sqrt{256}$ có căn bậc hai số học là $16$ (vì $16>0$ và ${16}^2=256$ )

           $\Rightarrow 256$ có hai căn bậc hai là $16$ và $-16$.

+ $\sqrt{324}$ có căn bậc hai số học là $18$ (vì $18>0$ và ${18}^2=324$ )

            $\Rightarrow 324$ có hai căn bậc hai là $18$ và $-18$.

+ $\sqrt{361}$ có căn bậc hai số học là $19$ (vì $19>0$ và ${19}^2=361$ )

            $\Rightarrow 361$ có hai căn bậc hai là $19$ và $-19$.

+ $\sqrt{400}$ có căn bậc hai số học là $20$ (vì $20>0$ và ${20}^2=400$ )

             $\Rightarrow 400$ có hai căn bậc hai là $20$ và $-20$.

Bài 2 trang 6 SGK Toán 9 Tập 1: So sánh

a) $2$ và $\sqrt{3}$

b) $6$ và $\sqrt{41}$ 

c) $7$ và $\sqrt{47}$ 

 Phương pháp giải:

+) Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai số học: Với hai số $a$ và $b$ không âm ta có:

$$a<b\iff \sqrt{a}<\sqrt{b}$$

Lời giải :

a) Ta có:  $2=\sqrt{4}$

Vì $4>3\iff \sqrt{4}>\sqrt{3}\iff 2>\sqrt{3}$.

Vậy $2>\sqrt{3}$.

b) Ta có:  $6=\sqrt{36}$

Vì $36<41\iff \sqrt{36}<\sqrt{41}\iff 6<\sqrt{41}$

Vậy $6<\sqrt{41}$. 

c) Ta có:  $7=\sqrt{49}$

Vì $49>47\iff \sqrt{49}>\sqrt{47}\iff 7>\sqrt{47}$.

Vậy $7>\sqrt{47}$. 

Bài 3 trang 6 SGK Toán 9 Tập 1 :Dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của nghiệm mỗi phương trình sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ $3$): 

a) $x^2=2$

b) $x^2=3$ 
c) $x^2=3,5$
d) x= 4.12

Phương pháp giải:

+) $x^2=a\iff x=\pm \sqrt{a}$, ($a\ge 0$ ).

+) Sử dụng quy tắc làm tròn số:

Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi nhỏ hơn $5$ thì ta giữ nguyên các chữ số còn lại.

Nếu chữ số đầu tiên bỏ đi lớn hơn hoặc bằng $5$ thì ta cộng thêm $1$ vào chữ số cuối cùng của bộ phận còn lại. 

Lời giải: 

a) Ta có: $x^2=2\iff x=\pm \sqrt{2}$

Bấm máy tính ta được:

$x\approx \pm 1,414$

b) Ta có: $x^2=3\iff x=\pm \sqrt{3}$

Tính bằng máy tính ta được:

$x\approx \pm 1,732$

c) Ta có: $x^2=3,5\iff x=\pm \sqrt{3,5}$

Tính bằng máy tính ta được:

$x\approx \pm 1,871$ 

d) Ta có: $x^2=4,12\iff x=\pm \sqrt{4,12}$

Tính bằng máy tính ta được:

$x\approx \pm 2,030$  

Bài 4 trang 7 SGK Toán 9 Tập 1: Tìm số x không âm, biết: 

a) $\sqrt{x}=15$

b) $2\sqrt{x}=14$

c) $\sqrt{x}<\sqrt{2}$

d) $\sqrt{2x}<4$.
Phương pháp giải:
– Sử dụng công thức  $a=(\sqrt{a}{)}^2$ với $a\ge 0$.
– Sử dụng phương pháp bình phương hai vế:
    $\sqrt{A}=B\iff A=B^2$, với $A$, $B\ge 0$.
 
Lời giải:
a) Vì $x\ge 0$ nên 
$\sqrt{x}=15\Rightarrow {\left(\sqrt{x}\right)}^2={\left(15\right)}^2$ $\iff x=225$
Vậy $x=225.$

b) Vì $x\ge 0$ nên 

$2\sqrt{x}=14\iff \sqrt{x}=7$

$\iff {\left(\sqrt{x}\right)}^2=7^2$ $\iff x=49$

Vậy $x=49$

c) $\sqrt{x}<\sqrt{2}\iff x<2$ 

Kết hợp với $x\ge 0$ ta có $0\le x<2$

Vậy $0\le x<2$ 

d) Với $x\ge 0$ ta có $\sqrt{2x}<4$ $\iff \sqrt{2x}<\sqrt{16}$

$\iff 2x<16$ $\iff x<8$ 

Kết hợp điều kiện $x\ge 0$ ta có: $0\le x<8$

Bài 5 trang 7 SGK Toán 9 Tập 1:Đố. Tính cạnh một hình vuông, biết diện tích của nó bằng diện tích của một hình chữ nhật có chiều rộng 3,5m và chiều dài 14m.

 

Phương pháp giải:

– Công thức tính diện tích hình vuông cạnh $a$ là $S=a^2$.

– Công thức tính diện tích hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là $a;b$ là $S=a.b$

Lời giải: 

Gọi $x$ (m) là độ dài hình vuông, $x>0$ .

Diện tích của hình vuông là: $x^2(m^2)$

Diện tích của hình chữ nhật là: $3,5.14=49$ $m^2$.

Theo đề bài, diện tích của hình vuông bằng diện tích của hình chữ nhật, nên ta có:

 $x^2=49\iff x=\pm \sqrt{49}\iff x=\pm 7$.

Vì $x>0$ nên $x=7$.

Vậy độ dài cạnh hình vuông là $7m$. 

Lý thuyết Bài 1: Căn bậc hai

1. Căn thức bậc hai

Căn bậc hai số học

Số dương a có đúng hai căn bậc hai là: $\sqrt{a}$ và $-\sqrt{a}$

Với số dương $a$, số $\sqrt{a}$ được gọi là căn bậc hai số học của $a$.

Số $0$ cũng được gọi là căn bậc hai số học của $0$.

+) $\sqrt{a}=x\iff \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x^2=a\end{array}$

+) So sánh hai căn bậc hai số học:

Với hai số $a,b$ không âm ta có $a<b\iff \sqrt{a}<\sqrt{b}$.

Căn thức bậc hai

Với $A$ là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt{A}$ là căn thức bậc hai của $A$. Khi đó, $A$ được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.

$\sqrt{A}$ xác định hay có nghĩa khi $A$ lấy giá trị không âm.

Chú ý.:

Với $a\ge 0,$ ta có:

+ Nếu $x=\sqrt{a}$ thì $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x^2=a\end{array}$

+ Nếu $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x^2=a\end{array}$  thì $x=\sqrt{a}.$

Ta viết $x=\sqrt{a}\iff \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x^2=a\end{array}$

2. So sánh các căn bậc hai số học 

ĐỊNH LÍ:

Với hai số $a;b$ không âm ta có $a<b\iff \sqrt{a}<\sqrt{b}$ 

Ví dụ: So sánh 3 và $\sqrt{7}$ 

Ta có: $3=\sqrt{9}$ mà $9>7$ suy ra $\sqrt{9}>\sqrt{7}$ hay $3>\sqrt{7}$

Hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$  

Với mọi số $a$, ta có $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$.

Một cách tổng quát, với $A$ là một biểu thức ta có

$\sqrt{A^2}=\left|A\right|$ nghĩa là

$\sqrt{A^2}=A$ nếu $A\ge 0$ và $\sqrt{A^2}=-A$ nếu $A<0$.

3. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm căn bậc hai số học và so sánh hai căn bậc hai.

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức với hai số $a,b$ không âm ta có $a<b\iff \sqrt{a}<\sqrt{b}$.

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức chứa căn bậc hai

Phương pháp:

Sử dụng hằng đẳng thức  $\sqrt{A^2}=\left|A\right|=\{\begin{array}{l}A\mathrm{k}\mathrm{h}\mathrm{i}A\ge 0\\ -A\mathrm{k}\mathrm{h}\mathrm{i}A<0\end{array}$

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Phương pháp:

– Đưa các biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức  (thông thường là ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$, ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$)

– Sử dụng hằng đẳng thức  $\sqrt{A^2}=\left|A\right|=\{\begin{array}{l}A\mathrm{k}\mathrm{h}\mathrm{i}A\ge 0\\ -A\mathrm{k}\mathrm{h}\mathrm{i}A<0\end{array}$

Dạng 4: Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn bậc hai có nghĩa

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức biểu thức $\sqrt{A}$ có nghĩa khi và chỉ khi $A\ge 0.$

Dạng 5: Giải phương trình chứa căn bậc hai

Phương pháp:

Ta chú ý một số phép biến đổi tương đương liên quan đến căn thức bậc hai sau đây:

$\sqrt{A}=B\iff \{\begin{array}{l}B\ge 0\\ A=B^2\end{array}$ ;                                         $\sqrt{A^2}=B\iff \left|A\right|=B$

$\sqrt{A}=\sqrt{B}\iff \{\begin{array}{l}A\ge 0\left(B\ge 0\right)\\ A=B\end{array}$ ;                      $\sqrt{A^2}=\sqrt{B^2}\iff \left|A\right|=\left|B\right|\iff A=\pm B$