Giải Toán 9 Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Giải bài tập Toán 9 Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1  trang 8 SGK Toán 9 Tập 1 :Hình chữ nhật ABCD có đường chéo AC = 5cm và cạnh BC = x (cm) thì cạnh $AB=\sqrt{\left(25-x^2\right)}$ (cm). Vì sao ? (h.2).

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC.

Định lý Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Lời giải :

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại B có:

$\begin{array}{rl}& A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2\iff A{B}^2+x^2=5^2\\ & \iff A{B}^2=25-x^2\\ & \Rightarrow AB=\sqrt{\left(25-x^2\right)}\left(doAB>0\right)\end{array}$

Trả lời câu hỏi 2 trang 8 SGK Toán 9 Tập 1 :Với giá trị nào của $x$ thì $\sqrt{5-2x}$ xác định?

Phương pháp giải:

Biểu thức $\sqrt{A}$ có nghĩa khi $A\ge 0$

Lời giải:

Biểu thức $\sqrt{5-2x}$ xác định khi $5-2x\ge 0\iff 5\ge 2x\iff x\le \frac{5}{2}$

Trả lời câu hỏi 3 trang 8 SGK Toán 9 Tập 1 :Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:

a	-2	-1	0	2	3
$a^2$
$\sqrt{a^2}$

Phương pháp giải:

Tính toán theo yêu cầu ở mỗi dòng

Lời giải:

a	-2	-1	0	2	3
$a^2$	4	1	0	4	9
$\sqrt{a^2}$	2	1	0	2	3

 
Bài tập ( trang 10, 11, 12 SGK Toán 9)
Bài 6 trang 10 SGK Toán 9 Tập 1:Với giá trị nào của $a$ thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) $\sqrt{\frac{a}{3}}$,         b) $\sqrt{-5a}$;       c) $\sqrt{4-a}$;     d) $\sqrt{3a+7}$

 Phương pháp giải: 

+) $\sqrt{A}$ xác định (hay có nghĩa) khi $A\ge 0$.

Lời giải:

a) Ta có:  $\sqrt{\frac{a}{3}}$ có nghĩa khi $\frac{a}{3}\ge 0\iff a\ge 0$

b) Ta có: $\sqrt{-5a}$ có nghĩa khi $-5a\ge 0\iff a\le \frac{0}{-5}\iff a\le 0$

c) Ta có: $\sqrt{4-a}$ có nghĩa khi $4-a\ge 0\iff -a\ge -4\iff a\le 4$

d) Ta có: $\sqrt{3a+7}$ có nghĩa khi $3a+7\ge 0\iff 3a\ge -7\iff a\ge \frac{-7}{3}$

 Bài 7 trang 10 SGK Toán 9 Tập 1 :Tính:

a) $\sqrt{{\left(0,1\right)}^2}$

b) $\sqrt{{\left(-0,3\right)}^2}$ 

c) $-\sqrt{{\left(-1,3\right)}^2}$ 

d) $-0,4\sqrt{{\left(-0,4\right)}^2}$

Phương pháp giải:

+) Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$.

+) Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối của số $a$: $\left|a\right|=a$ nếu $a\ge 0$ và $\left|a\right|=-a$ nếu $a<0$. 

Lời giải:

a)  Ta có: $\sqrt{{\left(0,1\right)}^2}=\left|0,1\right|=0,1$ 

b) Ta có: $\sqrt{{\left(-0,3\right)}^2}=\left|-0,3\right|=0,3$

c) Ta có: $-\sqrt{{\left(-1,3\right)}^2}=-\left|-1,3\right|=-1,3$ 

d) Ta có:

$-0,4\sqrt{{\left(-0,4\right)}^2}$$=-0,4.\left|-0,4\right|=-0,4.0,4$

$=-0,16$ 

Bài 8 trang 10 SGK Toán 9 Tập 1 :Rút gọn các biểu thức sau: 

a) $\sqrt{{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2}$

b) $\sqrt{{\left(3-\sqrt{11}\right)}^2}$ 

c)  $2\sqrt{a^2}$ với a ≥ 0 

d) $3\sqrt{{\left(a-2\right)}^2}$ với a < 2.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$.

+) Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối của số $a$: Nếu $a\ge 0$ thì $\left|a\right|=a$. Nếu $a<0$ thì $\left|a\right|=-a$. 

+) Sử dụng định lí so sánh các căn bậc hai số học: Với hai số $a,b$ không âm, ta có:

$$a<b\iff \sqrt{a}<\sqrt{b}$$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\sqrt{{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2}=\left|2-\sqrt{3}\right|=2-\sqrt{3}$

(Vì $4>3$ nên $\sqrt{4}>\sqrt{3}\iff 2>\sqrt{3}\iff 2-\sqrt{3}>0$.

$\iff \left|2-\sqrt{3}\right|=2-\sqrt{3}$)

b) Ta có: $\sqrt{{\left(3-\sqrt{11}\right)}^2}=\left|3-\sqrt{11}\right|=\sqrt{11}-3.$ 

(Vì $9<11$ nên $\sqrt{9}<\sqrt{11}\iff 3<\sqrt{11}\iff 3-\sqrt{11}<0$

$\iff \left|3-\sqrt{11}\right|=-(3-\sqrt{11})=\sqrt{11}-3)$

c) Ta có: $2\sqrt{a^2}=2\left|a\right|=2\mathrm{a}$  (vì $a\ge 0$ )

d) Vì $a<2$ nên $a-2<0$

$\iff \left|a-2\right|=-(a-2)=2-a$ 

Do đó: $3\sqrt{{\left(a-2\right)}^2}=3\left|a-2\right|=3\left(2-a\right)$$=6-3a$. 

Bài 9 trang 11 SGK Toán 9 Tập 1: Tìm x biết: 

a) $\sqrt{x^2}=7$

b) $\sqrt{x^2}=\left|-8\right|$

c) $\sqrt{4{\mathrm{x}}^2}=6$

d) $\sqrt{9{\mathrm{x}}^2}=\left|-12\right|$ 

Phương pháp giải:

+) Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$.

+) Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối của số $a$: Nếu $a\ge 0$ thì $\left|a\right|=a$. Nếu $a<0$ thì $\left|a\right|=-a$.

Lời giải:

a) Ta có: 

$\begin{array}{rl}& \sqrt{x^2}=7\\ & \iff \left|x\right|=7\\ & \iff x=\pm 7\end{array}$

Vậy $x=\pm 7$.

b) Ta có:

$\begin{array}{rl}& \sqrt{x^2}=\left|-8\right|\\ & \iff \left|x\right|=8\\ & \iff x=\pm 8\end{array}$

Vậy $x=\pm 8$. 

c) Ta có:

$\begin{array}{rl}& \sqrt{4x^2}=6\\ & \iff \sqrt{{\left(2x\right)}^2}=6\\ & \iff \left|2x\right|=6\\ & \iff 2x=\pm 6\\ & \iff x=\pm 3\end{array}$

Vậy $x=\pm 3$. 

d) Ta có:

$\begin{array}{rl}& \sqrt{9x^2}=\left|-12\right|\\ & \iff \sqrt{{\left(3x\right)}^2}=12\\ & \iff \left|3x\right|=12\\ & \iff 3x=\pm 12\\ & \iff x=\pm 4\end{array}$.

Vậy $x=\pm 4$. 

Bài 10 trang 11 SGK Toán 9 Tập 1 :Chứng minh 

a) $(\sqrt{3}-1{)}^2=4-2\sqrt{3}$

b) $\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{3}=-1$ 

 Phương pháp giải:

+) Tính vế trái được kết quả là vế phải

+) Sử dụng hằng đẳng thức: $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

+) Sử dụng công thức $(\sqrt{a}{)}^2=a$, với $a\ge 0$. 

+) Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối của số $a$: Nếu $a\ge 0$ thì $\left|a\right|=a$. Nếu $a<0$ thì $\left|a\right|=-a$.

Lời giải:

a) Ta có: VT=${\left(\sqrt{3}-1\right)}^2={\left(\sqrt{3}\right)}^2-2.\sqrt{3}.1+1^2$

$=3-2\sqrt{3}+1$

$=(3+1)-2\sqrt{3}$

$=4-2\sqrt{3}$ = VP

Vậy  $(\sqrt{3}-1{)}^2=4-2\sqrt{3}$  (đpcm)

b)Ta có: 

$VT=\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{3}$$=\sqrt{\left(3+1\right)-2\sqrt{3}}-\sqrt{3}$

 $=\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}-\sqrt{3}$

$=\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-2.\sqrt{3}.1+1^2}-\sqrt{3}$

$=\sqrt{{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2}-\sqrt{3}$ 

$=\left|\sqrt{3}-1\right|-\sqrt{3}$

$=\sqrt{3}-1-\sqrt{3}$ 

$=(\sqrt{3}-\sqrt{3})-1=-1$ = VP. 

(do $3>1\iff \sqrt{3}>\sqrt{1}\iff \sqrt{3}>1$$\iff \sqrt{3}-1>0$

$\Rightarrow \left|\sqrt{3}-1\right|=\sqrt{3}-1$) 

Bài 11 trang 11 SGK Toán 9 Tập 1: Tính:

a) $\sqrt{16}.\sqrt{25}+\sqrt{196}:\sqrt{49}$;

b) $36:\sqrt{{2.3}^2.18}-\sqrt{169}$;

c) $\sqrt{\sqrt{81}}$;

d) $\sqrt{3^2+4^2}$.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$.

+) Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối của số $a$: Nếu $a\ge 0$ thì $\left|a\right|=a$. Nếu $a<0$ thì $\left|a\right|=-a$. 

Lời giải:

a) Ta có: $\sqrt{16}.\sqrt{25}+\sqrt{196}:\sqrt{49}$

$=\sqrt{4^2}.\sqrt{5^2}+\sqrt{{14}^2}:\sqrt{7^2}$

$=\left|4\right|.\left|5\right|+\left|14\right|:\left|7\right|$

$=4.5+14:7$

$=20+2=22$. 

b) Ta có:

 $36:\sqrt{{2.3}^2.18}-\sqrt{169}$

$=36:\sqrt{({2.3}^2).18}-\sqrt{{13}^2}$

$=36:\sqrt{(2.9).18}-\left|13\right|$

$=36:\sqrt{18.18}-13$  

$=36:\sqrt{{18}^2}-13$

$=36:\left|18\right|-13$

$=36:18-13$ 

$=2-13=-11$.

c) Ta có: $\sqrt{81}=\sqrt{9^2}=\left|9\right|=9$.

 $\Rightarrow \sqrt{\sqrt{81}}$$=\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=\left|3\right|=3$.

d) Ta có: $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}$$=\sqrt{5^2}=\left|5\right|=5$.

Bài 12 trang 11 SGK Toán 9 Tập 1 :Tìm x để mỗi căn thức sau có nghĩa:

a)$\sqrt{2x+7}$;                         c) $\sqrt{\frac{1}{-1+x}}$

b) $\sqrt{-3x+4}$                      d) $\sqrt{1+x^2}$

Phương pháp giải:

+) $\sqrt{A}$ xác định (hay có nghĩa) khi $A\ge 0$.

+) Các tính chất của bất đẳng thức: 

     1) $a<b\iff a.c<b.c$, nếu $c>0$.

     2) $a<b\iff a.c>b.c$, nếu $c<0$.

     3) $a<b\iff a+c<b+c$, với mọi $c$.

Lời giải:

a) Ta có:

$\sqrt{2x+7}$ có nghĩa khi và chỉ khi: 

$\iff 2x\ge -7$

$\iff x\ge \frac{-7}{2}$.$2x+7\ge 0$

b) Ta có

$\sqrt{-3x+4}$ có nghĩa khi và chỉ khi:  $-3x+4\ge 0$

 $\iff -3x\ge -4$

$\iff x\le \frac{-4}{-3}$

$\iff x\le \frac{4}{3}$

 c) Ta có:

$\sqrt{\frac{1}{-1+x}}$ có nghĩa khi và chỉ khi: 

$\frac{1}{-1+x}\ge 0\iff -1+x>0$

$\iff x>1$

d) $\sqrt{1+x^2}$

Ta có:    $x^2\ge 0$,  với mọi số thực $x$

$\iff x^2+1\ge 0+1$, (Cộng cả 2 vế của bất đẳng thức trên với $1$)

$\iff x^2+1\ge 1$, mà $1>0$

$\iff x^2+1>0$

Vậy căn thức trên luôn có nghĩa với mọi số thực $x$.

Bài 13 trang 11 SGK Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $2\sqrt{a^2}-5a$ với $a<0$.              

b) $\sqrt{25a^2}+3a$ với $a\ge 0$.

c) $\sqrt{9a^4}+3a^2$,                          

d) $5\sqrt{4a^6}$ – $3a^3$ với $a<0$

Phương pháp giải:

+) Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$.

+) Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối của số $a$: Nếu $a\ge 0$ thì $\left|a\right|=a$. Nếu $a<0$ thì $\left|a\right|=-a$. 

Lời giải:

a) Ta có: $2\sqrt{a^2}-5a=2|a|-5a$

$=2.(-a)-5a$ (vì $a<0$ nên $\left|a\right|=-a$)

$=-2a-5a$

$=(-2-5)a$

$=-7a$

Vậy $2\sqrt{a^2}-5a=-7a$.

b) Ta có:  $\sqrt{25a^2}+3a=\sqrt{5^2.a^2}+3a$

$=\sqrt{(5a{)}^2}+3a$

$=\left|5a\right|+3a$ 

$=5a+3a$

$=(5+3)a$

$=8a$.

(vì $a\ge 0\Rightarrow |5a|=5a$ ) 

c) Ta có: $\sqrt{9a^4}+3a^2=\sqrt{3^2.(a^2{)}^2}+3a^2$

$=\sqrt{(3a^2{)}^2}+3a^2$

$=\left|3a^2\right|+3a^2$

$=3a^2+3a^2$

$=(3+3)a^2$

$=6a^2$.

(Vì $a^2\ge 0$ với mọi $a\in \mathbb{R}\Rightarrow |3a^2|=3a^2$).

d) Ta có: 

$5\sqrt{4a^6}-3a^3=5\sqrt{2^2.(a^3{)}^2}-3a^3$

$=5.\sqrt{(2a^3{)}^2}-3a^3$

$=5.\left|2a^3\right|-3a^3$

$=\mathrm{5.2.}(-a^3)-3a^3$  (vì $a<0$ nên $|2a^3|=-2a^3$ )

$=10.(-a^3)-3a^3$

$=-10a^3-3a^3$

$=(-10-3)a^3$

$=-13a^3$.

Bài 14 trang 11 SGK Toán 9 Tập 1: Phân tích thành nhân tử:

a) $x^2-3$.                         b) $x^2-6$;

c) $x^2$ + $2\sqrt{3}x+3$;            d) $x^2$ – $2\sqrt{5}x+5$.

Phương pháp giải:

+) Với $a\ge 0$ ta luôn có: $a={\left(\sqrt{a}\right)}^2$

+) Sử dụng các hằng đẳng thức:

     1) ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$

     2) ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$

     3) $a^2-b^2=\left(a-b\right).\left(a+b\right)$

Lời giải:

a) Ta có:

$x^2-3=x^2-(\sqrt{3}{)}^2$

            $=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$  (Áp dụng hằng đẳng thức số 3)

b) Ta có: 

$x^2-6=x^2-(\sqrt{6}{)}^2$

             $=(x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6})$  (Áp dụng hằng đẳng thức số 3)

c) Ta có: 

$x^2+2\sqrt{3}x+3=x^2+2.x.\sqrt{3}+(\sqrt{3}{)}^2$

                           $=(x+\sqrt{3}{)}^2$ (Áp dụng hằng đẳng thức số 1)

d) Ta có:

$x^2-2\sqrt{5}x+5=x^2-2.x.\sqrt{5}+(\sqrt{5}{)}^2$

                            $=(x-\sqrt{5}{)}^2$  (Áp dụng hằng đẳng thức số 2).

Bài 15 trang 11 SGK Toán 9 Tập 1 :Giải các phương trình sau:

a) $x^2-5=0$;  b)$x^2-2\sqrt{11}x+11=0$

Phương pháp giải:

+) Với $a\ge 0$ ta luôn có: $a={\left(\sqrt{a}\right)}^2$.

+) Nếu $a.b=0$ thì $a=0$ hoặc $b=0$.

+) Sử dụng các hằng đẳng thức:

     ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$

     $a^2-b^2=\left(a-b\right).\left(a+b\right)$

Lời giải:

a) Ta có:

$x^2-5=0\iff x^2=5\iff x=\pm \sqrt{5}$

Vậy $S=\left\{-\sqrt{5};\sqrt{5}\right\}$.

Cách khác: 

Ta có: $x^2-5=0$

         $\iff x^2-{\left(\sqrt{5}\right)}^2=0$ 

         $\iff \left(x+\sqrt{5}\right).\left(x-\sqrt{5}\right)=0$

        $\iff [\begin{array}{c}x+\sqrt{5}=0\hfill \\ x-\sqrt{5}=0\hfill \end{array}$

        $\iff [\begin{array}{c}x=-\sqrt{5}\hfill \\ x=\sqrt{5}\hfill \end{array}$ 

b) Ta có:

$x^2-2\sqrt{11}x+11=0$
$\iff x^2-2.x.\sqrt{11}+{\left(\sqrt{11}\right)}^2=0$
$\iff {\left(x-\sqrt{11}\right)}^2=0$
$\iff x-\sqrt{11}=0$

$\iff x=\sqrt{11}$

Vậy $S=\left\{\sqrt{11}\right\}$

Bài 16 trang 12 SGK Toán 9 Tập 1 :Đố. Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh “Con muỗi nặng bằng con voi” dưới đây. 

Giả sử con muỗi nặng $m$ (gam), còn con voi nặng $V$ (gam). Ta có

                      $m^2+V^2=V^2+m^2$

Cộng hai về với $-2mV$, ta có

                      $m^2-2mV+V^2=V^2-2mV+m^2,$

hay                 ${\left(m-V\right)}^2={\left(V-m\right)}^2$

Lấy căn bậc hai mỗi vế của bất đẳng thức trên, ta được:

                       $\sqrt{{\left(m-V\right)}^2}=\sqrt{{\left(V-m\right)}^2}$          (1)

Do đó                $m-V=V-m$                          (2)

Từ đó ta có $2m=2V$, suy ra $m=V$. Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).

Phương pháp giải: 

+) Sử dụng hằng đẳng thức: $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$.

Lời giải: 

Áp dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$ thì ta phải có: 

$\{\begin{array}{c}\sqrt{{\left(m-V\right)}^2}=\left|m-V\right|\hfill \\ \sqrt{{\left(V-m\right)}^2}=\left|V-m\right|\hfill \end{array}$

Do đó:  $\sqrt{{\left(m-V\right)}^2}=\sqrt{{\left(V-m\right)}^2}$

        $\iff \left|m-V\right|=\left|V-m\right|.$

Vậy bài toán trên sai từ dòng (1) xuống dòng (2) vì khai căn không có dấu giá trị tuyệt đối.

Do đó, con muỗi không thể nặng bằng con voi.

Lý thuyết Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

1. Căn thức bậc hai

Với $A$ là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt{A}$ là căn thức bậc hai của $A$. Khi đó, $A$ được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.

$\sqrt{A}$ xác định hay có nghĩa khi $A$ lấy giá trị không âm.

2. Hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$

Với mọi số $a$, ta có $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$.

* Một cách tổng quát, với $A$ là một biểu thức ta có 

$\sqrt{A^2}=\left|A\right|$ nghĩa là 

$\sqrt{A^2}=A$ nếu $A\ge 0$ và $\sqrt{A^2}=-A$ nếu $A<0$.

3. Các dạng toán cơ bản

Dạng 1: Tìm điều kiện để căn thức xác định

Ta có $\sqrt{A}$ xác định hay có nghĩa khi $A\ge 0$ 

Ví dụ: $\sqrt{x-1}$ xác định khi $x-1\ge 0\iff x\ge 1$

Dạng 2: Rút gọn biểu thức 

Sử dụng:  Với $A$ là một biểu thức ta có $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$

Vì dụ: Với $x>2$ ta có: $A=\frac{\sqrt{x^2-4x+4}}{x-2}$$=\frac{\sqrt{{\left(x-2\right)}^2}}{x-2}=\frac{\left|x-2\right|}{x-2}$$=\frac{x-2}{x-2}=1$