SBT Toán 9 Bài 6: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai | Giải SBT Toán lớp 9

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài 56 trang 14 SBT Toán 9 tập 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn;

a) $\sqrt{7 x^{2}}$ với $x > 0$ ;

b) $\sqrt{8 y^{2}}$ với $y < 0$ ;

c) $\sqrt{25 x^{3}}$ với $x > 0$ ;

d) $\sqrt{48 y^{4}}$

Phương pháp giải:

Áp dụng: Với $B \geq 0$ ta có:

$\sqrt{A^{2} B} = | A | . \sqrt{B}$

$= {\begin{cases} A \sqrt{B} k h i A \geq 0 \\ - A \sqrt{B} k h i A < 0 \end{cases}$

Lời giải:

$\sqrt{7 x^{2}} = | x | \sqrt{7} = x \sqrt{7}$ (với $x > 0$ )

$\sqrt{8 y^{2}} = \sqrt{4.2 y^{2}}$

$= 2 | y | \sqrt{2} = - 2 y \sqrt{2}$ (với $y < 0$ )

$\sqrt{25 x^{3}} = \sqrt{25 x^{2} x}$

$= 5 | x | \sqrt{x} = 5 x \sqrt{x}$ (với $x > 0$ )

$\sqrt{48 y^{4}} = \sqrt{16.3 y^{4}} = 4 y^{2} \sqrt{3}$ (vì $y^{2} \geq 0$ với mọi $y$ )

Bài 57 trang 14 SBT Toán 9 tập 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) $x \sqrt{5}$ với $x \geq 0$ ;

b) $x \sqrt{13}$ với $x < 0$ ;

c) $x \sqrt{\frac{11}{x}}$ với $x > 0$ ;

d) $x \sqrt{\frac{- 29}{x}}$ với $x < 0$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng: Với $B \geq 0$ ta có:

$A \sqrt{B} = {\begin{cases} \sqrt{A^{2} B} k h i A \geq 0 \\ - \sqrt{A^{2} B} k h i A < 0 \end{cases}$

Lời giải:

$x \sqrt{5} = \sqrt{x^{2} .5} = \sqrt{5 x^{2}}$ (với $x \geq 0$ )

$x \sqrt{13} = - \sqrt{x^{2} .13} = - \sqrt{13 x^{2}}$ (với $x < 0$ )

$x \sqrt{\frac{11}{x}} = \sqrt{x^{2} \frac{11}{x}} = \sqrt{11 x}$ (với $x > 0$ )

Do $x < 0$ thì $x = - \sqrt{x^{2}}$

$x \sqrt{\frac{- 29}{x}} = - \sqrt{x^{2} \frac{- 29}{x}} = - \sqrt{- 29 x}$ (với $x < 0$

Bài 58 trang 14 SBT Toán 9 tập 1: Rút gọn các biểu thức :

a) $\sqrt{75} + \sqrt{48} - \sqrt{300}$ ;

b) $\sqrt{98} - \sqrt{72} + 0, 5 \sqrt{8}$ ;

c) $\sqrt{9 a} - \sqrt{16 a} + \sqrt{49 a}$ với $a \geq 0$ ;

d) $\sqrt{16 b} + 2 \sqrt{40 b} - 3 \sqrt{90 b}$ với $b \geq 0$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng: Với $B \geq 0$ ta có

$\sqrt{A^{2} B} = {\begin{cases} A \sqrt{B} k h i A \geq 0 \\ - A \sqrt{B} k h i A < 0 \end{cases}$

Lời giải:

$\begin{aligned} \sqrt{75} + \sqrt{48} - \sqrt{300} \\ = \sqrt{25.3} + \sqrt{16.3} - \sqrt{100.3} \end{aligned}$

$= 5 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} - 10 \sqrt{3} = - \sqrt{3}$

$\begin{aligned} \sqrt{98} - \sqrt{72} + 0, 5 \sqrt{8} \\ = \sqrt{49.2} - \sqrt{36.2} + 0, 5 \sqrt{4.2} \end{aligned}$

$= 7 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 0, 5.2 \sqrt{2}$

$= 7 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$

$\begin{aligned} \sqrt{9 a} - \sqrt{16 a} + \sqrt{49 a} \\ = 3 \sqrt{a} - 4 \sqrt{a} + 7 \sqrt{a} \\ = 6 \sqrt{a} (v ớ i a \geq 0) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \sqrt{16 b} + 2 \sqrt{40 b} - 3 \sqrt{90 b} \\ = \sqrt{16 b} + 2 \sqrt{4.10 b} - 3 \sqrt{9.10 b} \end{aligned}$

$\begin{aligned} = 4 \sqrt{b} + 4 \sqrt{10 b} - 9 \sqrt{10 b} \\ = 4 \sqrt{b} - 5 \sqrt{10 b} (v ớ i b \geq 0) \end{aligned}$

Bài 59 trang 14 SBT Toán 9 tập 1: Rút gọn các biểu thức:

a) $(2 \sqrt{3} + \sqrt{5}) \sqrt{3} - \sqrt{60}$ ;

b) $(5 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}) \sqrt{5} - \sqrt{250}$ ;

c) $(\sqrt{28} - \sqrt{12} - \sqrt{7}) \sqrt{7} + 2 \sqrt{21}$ ;

d) $(\sqrt{99} - \sqrt{18} - \sqrt{11}) \sqrt{11} + 3 \sqrt{22}$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng:

+) $\sqrt{A^{2}} = | A |$

Với $A \geq 0$ thì ta có $| A | = A$

Với $A < 0$ thì ta có $| A | = - A$

+) Với $B \geq 0$ ta có $\sqrt{A^{2} B} = {\begin{cases} A \sqrt{B} k h i A \geq 0 \\ - A \sqrt{B} k h i A < 0 \end{cases}$

+) $\sqrt{A . B} = \sqrt{A} . \sqrt{B} (A \geq 0; B \geq 0)$

Lời giải:

$\begin{aligned} (2 \sqrt{3} + \sqrt{5}) \sqrt{3} - \sqrt{60} \\ = 2 \sqrt{3} . \sqrt{3} + \sqrt{5} . \sqrt{3} - \sqrt{60} \\ = 2 \sqrt{3^{2}} + \sqrt{15} - \sqrt{4.15} \\ = 2.3 + \sqrt{15} - 2 \sqrt{15} = 6 - \sqrt{15} \end{aligned}$

$\begin{aligned} (5 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}) \sqrt{5} - \sqrt{250} \\ = 5 \sqrt{2} . \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} . \sqrt{5} - \sqrt{250} \\ = 5 \sqrt{10} + 2 \sqrt{5^{2}} - \sqrt{25.10} \\ = 5 \sqrt{10} + 2.5 - 5 \sqrt{10} = 10 \end{aligned}$

$(\sqrt{28} - \sqrt{12} - \sqrt{7}) \sqrt{7} + 2 \sqrt{21}$
$= (\sqrt{4.7} - \sqrt{4.3} - \sqrt{7}) \sqrt{7} + 2 \sqrt{21}$

$= (2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{7}) \sqrt{7} + 2 \sqrt{21}$

$= 2 \sqrt{7^{2}} - 2 \sqrt{21} - \sqrt{7^{2}} + 2 \sqrt{21}$

$= 2.7 - 7 = 14 - 7 = 7$

$\begin{aligned} (\sqrt{99} - \sqrt{18} - \sqrt{11}) \sqrt{11} + 3 \sqrt{22} \\ = (\sqrt{9.11} - \sqrt{9.2} - \sqrt{11}) \sqrt{11} + 3 \sqrt{22} \end{aligned}$

$= (3 \sqrt{11} - 3 \sqrt{2} - \sqrt{11}) \sqrt{11} + 3 \sqrt{22}$

$= 3 \sqrt{11^{2}} - 3 \sqrt{22} - \sqrt{11^{2}} + 3 \sqrt{22}$

$= 3.11 - 11 = 33 - 11 = 22$

Bài 60 trang 15 SBT Toán 9 tập 1: Rút gọn các biểu thức:

a) $2 \sqrt{40 \sqrt{12}} - 2 \sqrt{\sqrt{75}} - 3 \sqrt{5 \sqrt{48}}$ ;

b) $2 \sqrt{8 \sqrt{3}} - 2 \sqrt{5 \sqrt{3}} - 3 \sqrt{20 \sqrt{3}}$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng:

+) $\sqrt{A^{2}} = | A | = A$ với $A \geq 0$

+) Với $B \geq 0$ ta có $\sqrt{A^{2} B} = {\begin{cases} A \sqrt{B} k h i A \geq 0 \\ - A \sqrt{B} k h i A < 0 \end{cases}$

Lời giải:

$2 \sqrt{40 \sqrt{12}} - 2 \sqrt{\sqrt{75}} - 3 \sqrt{5 \sqrt{48}}$

$= 2 \sqrt{40 \sqrt{4.3}} - 2 \sqrt{\sqrt{25.3}} - 3 \sqrt{5 \sqrt{16.3}}$

$= 2 \sqrt{80 \sqrt{3}} - 2 \sqrt{5 \sqrt{3}} - 3 \sqrt{5.4 \sqrt{3}}$

$= 2 \sqrt{16.5 \sqrt{3}} - 2 \sqrt{5 \sqrt{3}} - 3 \sqrt{5.4 \sqrt{3}}$

$= 2.4 \sqrt{5 \sqrt{3}} - 2 \sqrt{5 \sqrt{3}} - 3.2 \sqrt{5 \sqrt{3}}$

$= 8 \sqrt{5 \sqrt{3}} - 2 \sqrt{5 \sqrt{3}} - 6 \sqrt{5 \sqrt{3}} = 0$

$\begin{aligned} 2 \sqrt{8 \sqrt{3}} - 2 \sqrt{5 \sqrt{3}} - 3 \sqrt{20 \sqrt{3}} \\ = 2 \sqrt{4.2 \sqrt{3}} - 2 \sqrt{5 \sqrt{3}} - 3 \sqrt{4.5 \sqrt{3}} \end{aligned}$

$\begin{aligned} = 2.2 \sqrt{2 \sqrt{3}} - 2 \sqrt{5 \sqrt{3}} - 3.2 \sqrt{5 \sqrt{3}} \\ = 4 \sqrt{2 \sqrt{3}} - 2 \sqrt{5 \sqrt{3}} - 6 \sqrt{5 \sqrt{3}} \\ = 4 \sqrt{2 \sqrt{3}} - 8 \sqrt{5 \sqrt{3}} \end{aligned}$

Bài 61 trang 15 SBT Toán 9 tập 1: Khai triển và rút gọn các biểu thức ( với $x$ và $y$ không âm):

a) $(1 - \sqrt{x}) (1 + \sqrt{x} + x)$ ;

b) $(\sqrt{x} + 2) (x - 2 \sqrt{x} + 4)$ ;

c) $(\sqrt{x} - \sqrt{y}) (x + y + \sqrt{x y})$ ;

d) $(x + \sqrt{y}) (x^{2} + y - x \sqrt{y})$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng:

Với $A \geq 0$ thì $\sqrt{A^{2}} = A$

Áp dụng hằng đẳng thức:

$\begin{array}{l} a^{3} - b^{3} = (a - b) . (a^{2} + a b + b^{2}) \\ a^{3} + b^{3} = (a + b) . (a^{2} - a b + b^{2}) \end{array}$

Lời giải:

$(1 - \sqrt{x}) (1 + \sqrt{x} + x)$
$= (1 - \sqrt{x}) [1 + 1 \sqrt{x} + {(\sqrt{x})}^{2}]$

$= 1 - {(\sqrt{x})}^{3} = 1 - x \sqrt{x}$ (với $x \geq 0$ )

$(\sqrt{x} + 2) (x - 2 \sqrt{x} + 4)$
$= (\sqrt{x} + 2) [{(\sqrt{x})}^{2} - \sqrt{x} .2 + 2^{2}]$

$= {(\sqrt{x})}^{3} + 2^{3} = x \sqrt{x} + 8$ (với $x \geq 0$ )

$(\sqrt{x} - \sqrt{y}) (x + y + \sqrt{x y})$

$= (\sqrt{x} - \sqrt{y}) [{(\sqrt{x})}^{2} + \sqrt{x} . \sqrt{y} + {(\sqrt{y})}^{2}]$

$= {(\sqrt{x})}^{3} - {(\sqrt{y})}^{3} = x \sqrt{x} - y \sqrt{y}$ (với $x \geq 0$ , $y \geq 0$ )

$(x + \sqrt{y}) (x^{2} + y - x \sqrt{y})$
$= (x + \sqrt{y}) [x^{2} - x \sqrt{y} + {(\sqrt{y})}^{2}]$

$= x^{3} + {(\sqrt{y})}^{3} = x^{3} + y \sqrt{y}$ (với $y \geq 0$

Bài 62 trang 15 SBT Toán 9 tập 1: Khai triển và rút gọn các biểu thức (với $x$ , $y$ không âm):

a) $(4 \sqrt{x} - \sqrt{2 x}) (\sqrt{x} - \sqrt{2 x})$ ;

b) $(2 \sqrt{x} + \sqrt{y}) (3 \sqrt{x} - 2 \sqrt{y})$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng:

$\sqrt{A^{2}} = | A | = A$ (với $A \geq 0$ )

Lời giải:

$(4 \sqrt{x} - \sqrt{2 x}) (\sqrt{x} - \sqrt{2 x})$

$= 4 \sqrt{x^{2}} - 4 \sqrt{2 x^{2}} - \sqrt{2 x^{2}} + \sqrt{4 x^{2}}$

$= 4 x - 4 x \sqrt{2} - x \sqrt{2} + 2 x$
$= 6 x - 5 x \sqrt{2}$ (với $x \geq 0$ )

$(2 \sqrt{x} + \sqrt{y}) (3 \sqrt{x} - 2 \sqrt{y})$

$= 6 \sqrt{x^{2}} - 4 \sqrt{x y} + 3 \sqrt{x y} - 2 \sqrt{y^{2}}$

$= 6 x - \sqrt{x y} - 2 y$ (với $x \geq 0$ , $y \geq 0$ )

Bài 63 trang 15 SBT Toán 9 tập 1: Chứng minh:

a) $\frac{(x \sqrt{y} + y \sqrt{x}) (\sqrt{x} - \sqrt{y})}{\sqrt{x y}} = x - y$ với $x > 0$ và $y > 0$ ;

b) $\frac{\sqrt{x^{3}} - 1}{\sqrt{x} - 1} = x + \sqrt{x} + 1$ với $x \geq 0$ và $x \neq 1$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức:

$(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$

Lời giải:

Ta có:

$\frac{(x \sqrt{y} + y \sqrt{x}) (\sqrt{x} - \sqrt{y})}{\sqrt{x y}}$ $= \frac{(\sqrt{x^{2} y} + \sqrt{x y^{2}}) (\sqrt{x} - \sqrt{y})}{\sqrt{x y}}$

$= \frac{\sqrt{x y} (\sqrt{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} - \sqrt{y})}{\sqrt{x y}}$ $= (\sqrt{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} - \sqrt{y})$

$= {(\sqrt{x})}^{2} - {(\sqrt{y})}^{2} = x - y$

(với $x > 0$ và $y > 0$ )

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Vì $x \geq 0$ nên $\sqrt{x^{3}} = {(\sqrt{x})}^{3}$

Ta có:

$\frac{\sqrt{x^{3}} - 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{{(\sqrt{x})}^{3} - 1^{3}}{\sqrt{x} - 1}$ $= \frac{(\sqrt{x} - 1) (x + \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} - 1}$

$= x + \sqrt{x} + 1$ với $x \geq 0$ và $x \neq 1$ .

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Bài 64 trang 15 SBT Toán 9 tập 1:

a) Chứng minh:

$x + 2 \sqrt{2 x - 4} = {(\sqrt{2} + \sqrt{x - 2})}^{2}$ với $x \geq 2$ ;

b) Rút gọn biểu thức:

$\sqrt{x + 2 \sqrt{2 x - 4}} + \sqrt{x - 2 \sqrt{2 x - 4}}$ với $x \geq 2$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức:

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

Ta có: $\sqrt{A^{2}} = | A |$

Với $A \geq 0$ thì ta có $| A | = A$

Với $A < 0$ thì ta có $| A | = - A$

Lời giải:

Cách 1:

$V P = {(\sqrt{2} + \sqrt{x - 2})}^{2}$ (với $x \geq 2$ )

$= {(\sqrt{2})}^{2} + 2. \sqrt{2} . \sqrt{x - 2}$ $+ {(\sqrt{x - 2})}^{2}$

$= 2 + 2 \sqrt{2} . \sqrt{x - 2} + x - 2$

$x + 2 \sqrt{2 x - 4} = x + 2 \sqrt{2 (x - 2)} = V T$

$=> V P = V T (đ p c m)$

Cách 2:

Ta có:

$V T = x + 2 \sqrt{2 x - 4} = x + 2 \sqrt{2 (x - 2)}$
$= 2 + 2 \sqrt{2} . \sqrt{x - 2} + x - 2$

$= {(\sqrt{2})}^{2} + 2. \sqrt{2} . \sqrt{x - 2}$ $+ {(\sqrt{x - 2})}^{2}$

$= {(\sqrt{2} + \sqrt{x - 2})}^{2}$ (với $x \geq 2$ )=VP

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Ta có:

$\sqrt{x + 2 \sqrt{2 x - 4}} + \sqrt{x - 2 \sqrt{2 x - 4}}$

$= \sqrt{2 + 2 \sqrt{2} . \sqrt{x - 2} + x - 2}$ $+ \sqrt{2 - 2 \sqrt{2} . \sqrt{x - 2} + x - 2}$

$= \sqrt{{(\sqrt{2} + \sqrt{x - 2})}^{2}}$ $+ \sqrt{{(\sqrt{2} - \sqrt{x - 2})}^{2}}$

$= | \sqrt{2} + \sqrt{x - 2} | + | \sqrt{2} - \sqrt{x - 2} |$

$= \sqrt{2} + \sqrt{x - 2} + | \sqrt{2} - \sqrt{x - 2} |$

+) Nếu $\sqrt{2} - \sqrt{x - 2} \geq 0$ thì

$\begin{aligned} \sqrt{x - 2} \leq \sqrt{2} \Leftrightarrow x - 2 \leq 2 \\ \Leftrightarrow x - 2 \leq 2 \Leftrightarrow x \leq 4 \end{aligned}$

Với $2 \leq x \leq 4$ thì $| \sqrt{2} - \sqrt{x - 2} | = \sqrt{2} - \sqrt{x - 2}$

Ta có: $\sqrt{2} + \sqrt{x - 2} + | \sqrt{2} - \sqrt{x - 2} |$

$= \sqrt{2} + \sqrt{x - 2} + \sqrt{2} - \sqrt{x - 2} = 2 \sqrt{2}$

+) Nếu $\sqrt{2} - \sqrt{x - 2} < 0$ thì

$\sqrt{x - 2} > \sqrt{2} \Leftrightarrow x - 2 > 2 \Leftrightarrow x > 4$

Với $x > 4$ thì $| \sqrt{2} - \sqrt{x - 2} | = \sqrt{x - 2} - \sqrt{2}$

Ta có: $\sqrt{2} + \sqrt{x - 2} + | \sqrt{2} - \sqrt{x - 2} |$

$= \sqrt{2} + \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 2} - \sqrt{2}$

Bài 65 trang 15 SBT Toán 9 tập 1: Tìm $x$ , biết:

a) $\sqrt{25 x} = 35$ ;

b) $\sqrt{4 x} \leq 162$ ;

c) $3 \sqrt{x} = \sqrt{12}$ ;

d) $2 \sqrt{x} \geq 10$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng:

Với $A \geq 0; B \geq 0$ , ta có:

$\sqrt{A} = B \Leftrightarrow A = B^{2} .$

Lời giải:

Với $x \geq 0$ , ta có:

$\begin{aligned} \sqrt{25 x} = 35 \Leftrightarrow 5 \sqrt{x} = 35 \\ \Leftrightarrow \sqrt{x} = 7 \Leftrightarrow x = 49 (thỏa mãn) \end{aligned}$

Vậy $x = 49.$

Với $x \geq 0$ , ta có:

$\begin{aligned} \sqrt{4 x} \leq 162 \Leftrightarrow 2 \sqrt{x} \leq 162 \\ \Leftrightarrow \sqrt{x} \leq 81 \Leftrightarrow x \leq 6561 \end{aligned}$

Từ điều kiện $x \geq 0$

Suy ra : $0 \leq x \leq 6561$

Với $x \geq 0$ , ta có:

$\begin{aligned} 3 \sqrt{x} = \sqrt{12} \Leftrightarrow 3 \sqrt{x} = 2 \sqrt{3} \\ \Leftrightarrow \sqrt{x} = \frac{2}{3} \sqrt{3} \Leftrightarrow x = {(\frac{2}{3} \sqrt{3})}^{2} \\ \Leftrightarrow x = \frac{4}{3} (thỏa mãn) \end{aligned}$

Vậy $x = \frac{4}{3}$ .

Với $x \geq 0$ , ta có:

$2 \sqrt{x} \geq \sqrt{10} \Leftrightarrow \sqrt{x} \geq \frac{\sqrt{10}}{2} \Leftrightarrow x \geq \frac{5}{2}$

Vậy $x \geq \frac{5}{2} .$

Bài 66 trang 15 SBT Toán 9 tập 1: Tìm $x$ , biết:

a) $\sqrt{x^{2} - 9} - 3 \sqrt{x - 3} = 0$ ;

b) $\sqrt{x^{2} - 4} - 2 \sqrt{x + 2} = 0$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng:

Để $\sqrt{A}$ có nghĩa $A \geq 0$

Với $A \geq 0; B \geq 0$

$\sqrt{A} = B \Leftrightarrow A = B^{2} .$

$\sqrt{A . B} = \sqrt{A} . \sqrt{B} .$

Lời giải:

Điều kiện: $x - 3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 3$

Ta có:

$\begin{aligned} \sqrt{x^{2} - 9} - 3 \sqrt{x - 3} = 0 \\ \Leftrightarrow \sqrt{(x + 3) (x - 3)} - 3 \sqrt{x - 3} = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Leftrightarrow \sqrt{x - 3} (\sqrt{x + 3} - 3) = 0 \end{aligned}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sqrt{x - 3} = 0 \\ \sqrt{x + 3} - 3 = 0 \end{array}$

+) Trường hợp 1:

$\sqrt{x - 3} = 0 \Leftrightarrow x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3$ (thỏa mãn)

+) Trường hợp 2:

$\begin{aligned} \sqrt{x + 3} - 3 = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x + 3} = 3 \\ \Leftrightarrow x + 3 = 9 \Leftrightarrow x = 6 (thỏa mãn) \end{aligned}$

Vậy $x = 3$ và $x = 6$ .

Điều kiện: $x \geq 2$ hoặc $x = - 2$

Ta có:

$\begin{aligned} \sqrt{x^{2} - 4} - 2 \sqrt{x + 2} = 0 \\ \Leftrightarrow \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 2 \sqrt{x + 2} = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Leftrightarrow \sqrt{x + 2} (\sqrt{x - 2} - 2) = 0 \end{aligned}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sqrt{x + 2} = 0 \\ \sqrt{x - 2} - 2 = 0 \end{array}$

+) Trường hợp 1:

$\begin{aligned} \sqrt{x + 2} = 0 \Leftrightarrow x + 2 = 0 \\ \Leftrightarrow x = - 2 (thỏa mãn) \end{aligned}$

+) Trường hợp 2:

$\begin{aligned} \sqrt{x - 2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x - 2} = 2 \\ \Leftrightarrow x - 2 = 4 \Leftrightarrow x = 6 (thỏa mãn) \end{aligned}$

Vậy $x = - 2$ và $x = 6$ .

Bài 67 trang 15 SBT Toán 9 tập 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, chứng minh:

a) Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.

b) Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất.

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số không âm $a$ , $b$ :

$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}$

Dấu “=” xảy ra khi $a = b$ .

Lời giải:

Gọi hình chữ nhật có chiều dài $a$ và chiều rộng $b$ (với $a > b > 0$ )

Các hình chữ nhật có cùng chu vi thì $C = 2. (a + b)$ không đổi hay $(a + b)$ không đổi.

Suy ra: $\frac{a + b}{2}$ không đổi.

Diện tích của hình chữ nhật $S = a . b$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow a b \leq {(\frac{a + b}{2})}^{2} \\ \Leftrightarrow S \leq {(\frac{a + b}{2})}^{2} \end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi $a = b .$ Hay hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau nên nó là hình vuông.

Vậy để $S_{max} = {(\frac{a + b}{2})}^{2}$ thì hình chữ nhật là hình vuông.

Điều này cho thấy trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.

(Chú ý: max là lớn nhất)

Gọi hình chữ nhật có chiều dài $a$ và chiều rộng $b$ (với $a > b > 0$ )

Các hình chữ nhật có cùng diện tích $S = a . b$ thì $a . b$ không đổi.

Từ bất đẳng thức:

$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}$

$\Leftrightarrow a + b \leq 2 \sqrt{a b}$

$\Leftrightarrow 2. (a + b) \leq 4 \sqrt{a b}$

$\Leftrightarrow C \leq 4 \sqrt{a b}$

Dấu “=” xảy ra khi $a = b$

Vậy để $C_{min} = 4 \sqrt{a b}$ thì hình chữ nhật là hình vuông.

Điều này cho thấy trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất.

(Chú ý: min là nhỏ nhất)

Bài tập bổ sung (trang 16 SBT Toán 9):

Bài 6.1 trang 16 SBT Toán 9 tập 1: Rút gọn biểu thức $3 \sqrt{x^{2} y} + x \sqrt{y}$ với $x < 0, y \geq 0$ ta được:

(A) $4 x \sqrt{y}$

(B) $- 4 x \sqrt{y}$

(D) $4 \sqrt{x^{2} y}$

Phương pháp giải:

Áp dụng:

Với $A \geq 0; B \geq 0$

$\sqrt{A . B} = \sqrt{A} . \sqrt{B}$

Ta có: $\sqrt{A^{2}} = | A |$

Với $A \geq 0$ thì $| A | = A$

Với $A < 0$ thì $| A | = - A$

Lời giải:

Do $x < 0, y \geq 0$ nên

$\begin{array}{l} 3 \sqrt{x^{2} y} + x \sqrt{y} \\ = 3 \sqrt{x^{2}} . \sqrt{y} + x \sqrt{y} \\ = 3 | x | . \sqrt{y} + x \sqrt{y} \end{array}$

Mà $x < 0$ nên $| x | = - x$

$\begin{array}{l} 3 | x | . \sqrt{y} + x \sqrt{y} \\ = - 3 x \sqrt{y} + x \sqrt{y} \\ = - 2 x \sqrt{y} \end{array}$

Vậy đáp án là (C).

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy