Giải Toán 9 Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Giải bài tập Toán 9 Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Trả lời câu hỏi giữa bài 

Trả lời câu hỏi 1 trang 16 SGK Toán 9 Tập 1:Tính và so sánh: $\sqrt{\frac{16}{25}}$ và $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}$

Phương pháp giải:

Tính từng biểu thức rồi so sánh.

Lời giải:

Ta có:

+) $\sqrt{\frac{16}{25}}=\sqrt{{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}$

+) $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}=\frac{4}{5}$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}$

Trả lời câu hỏi 2 trang 17 SGK Toán 9 Tập 1:Tính

a) $\sqrt{\frac{225}{256}}$

b) $\sqrt{0,0196}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức khai phương 1 thương:

Với $a\ge 0;b>0$ ta có $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Lời giải:
a)$\sqrt{\frac{225}{256}}=\frac{\sqrt{225}}{\sqrt{256}}=\frac{15}{16}$
b) $\sqrt{0,0196}=\sqrt{\frac{196}{10000}}$$=\frac{\sqrt{196}}{\sqrt{10000}}=\frac{14}{100}=0,14$
 

Trả lời câu hỏi 3 trang 18 SGK Toán 9 Tập 1:Tính:
a) $\frac{\sqrt{999}}{\sqrt{111}}$                     b$\frac{\sqrt{52}}{\sqrt{117}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức:

Với $a\ge 0;b>0$ ta có $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$

Lời giải:

a) $\frac{\sqrt{999}}{\sqrt{111}}=\sqrt{\frac{999}{111}}=\sqrt{9}=3$                          

b) $\frac{\sqrt{52}}{\sqrt{117}}$$=\sqrt{\frac{52}{117}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$

Trả lời câu hỏi 4 trang 18 SGK Toán 9 Tập 1:Rút gọn

a) $\sqrt{\frac{2a^2{b}^4}{50}}$         b) $\frac{\sqrt{2a{b}^2}}{\sqrt{162}}$  với $a\ge 0.$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}\left(A\ge 0;B>0\right)$; $\sqrt{AB}=\sqrt{A}.\sqrt{B};\sqrt{A^2}=\left|A\right|$; $\sqrt{A^2}=|A|.$

 Lời giải:

a) Ta có $\sqrt{\frac{2a^2{b}^4}{50}}=\sqrt{\frac{a^2{b}^4}{25}}=\frac{\sqrt{a^2{b}^4}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{a^2}.\sqrt{b^4}}{5}$$=\frac{\sqrt{a^2}.\sqrt{(b^2{)}^2}}{5}=\frac{|a|b^2}{5}$

b) Ta có $\frac{\sqrt{2a{b}^2}}{\sqrt{162}}=\sqrt{\frac{2a{b}^2}{162}}=\sqrt{\frac{a{b}^2}{81}}=\frac{\sqrt{a{b}^2}}{\sqrt{81}}$$=\frac{\sqrt{a}.\sqrt{b^2}}{9}=\frac{\left|b\right|\sqrt{a}}{9}$

Bài tập ( trang 18, 19, 20 SGK Toán 9 )

Bài 28 trang 18 SGK Toán 9 Tập 1 :Tính:

a) $\sqrt{\frac{289}{225}}$;                                 b) $\sqrt{2\frac{14}{25}}$;

c) $\sqrt{\frac{0,25}{9}}$ ;                               d) $\sqrt{\frac{8,1}{1,6}}$.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng định lí: Với số $a$ không âm và số $b$ dương, ta có:

          $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

+) Cách đổi hỗn số dương ra phân số: 

          $a\frac{b}{c}=\frac{a.b+c}{c}$,  với $c\ne 0$.

Lời giải:

a) Ta có:

$\sqrt{\frac{289}{225}}=\frac{\sqrt{289}}{\sqrt{225}}=\frac{\sqrt{{17}^2}}{\sqrt{{15}^2}}=\frac{17}{15}$.

b) Ta có:

$\sqrt{2\frac{14}{25}}=\sqrt{\frac{2.25+14}{25}}=\sqrt{\frac{50+14}{25}}$

$=\sqrt{\frac{64}{25}}=\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{8^2}}{\sqrt{5^2}}=\frac{8}{5}$.

c) Ta có:

$\sqrt{\frac{0,25}{9}}=\frac{\sqrt{0,25}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{0,5^2}}{\sqrt{3^2}}=\frac{0,5}{3}$

$=0,5.\frac{1}{3}=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$.

d) Ta có:

$\sqrt{\frac{8,1}{1,6}}=\sqrt{\frac{81.0,1}{16.0,1}}=\sqrt{\frac{81}{16}}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}}=\frac{\sqrt{9^2}}{\sqrt{4^2}}=\frac{9}{4}$.

Bài 29 trang 19 SGK Toán 9 Tập 1: Tính:

a)  $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}$

b) $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{735}}$

c) $\frac{\sqrt{12500}}{\sqrt{500}}$

d) $\frac{\sqrt{6^5}}{\sqrt{2^3{.3}^5}}$

 Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức sau:

      $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$,  với $a\ge 0,b>0$.

      $(a.b{)}^m=a^m.b^m$,  với $m\in \mathbb{N}$.

Lời giải:

a) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}=\sqrt{\frac{2}{18}}=\sqrt{\frac{2.1}{2.9}}$$=\sqrt{\frac{1}{9}}=\sqrt{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{1}{3}$.

b) $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{735}}=\sqrt{\frac{15}{735}}=\sqrt{\frac{15.1}{15.49}}$$=\sqrt{\frac{1}{49}}=\sqrt{{\left(\frac{1}{7}\right)}^2}$

$=\frac{1}{7}$.

c) $\frac{\sqrt{12500}}{\sqrt{500}}=\sqrt{\frac{12500}{500}}=\sqrt{\frac{500.25}{500}}$

$=\sqrt{25}=\sqrt{5^2}=5$.

d) $\frac{\sqrt{6^5}}{\sqrt{2^3{.3}^5}}=\sqrt{\frac{6^5}{2^3{.3}^5}}$$=\sqrt{\frac{(2.3{)}^5}{2^3{.3}^5}}=\sqrt{\frac{2^5{.3}^5}{2^3{.3}^5}}$

$=\sqrt{\frac{2^5}{2^3}}$$=\sqrt{\frac{2^3{.2}^2}{2^3}}=\sqrt{2^2}=2$ 

Bài 30 trang 19 SGK Toán 9 Tập 1:Rút gọn các biểu thức sau:

a)$\frac{y}{x}.\sqrt{\frac{x^2}{y^4}}$ với $x>0,y\ne 0$;

Phương pháp giải:

+) $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$,  với $a\ge 0,b>0$.

+) $\sqrt{a^2}=|a|$.  

+) $|a|=a$,  nếu $a\ge 0$.

     $|a|=-a$,  nếu $a<0$.

+) $a^{m.n}=a^m.a^n$,   với $m,n\in \mathbb{N}$.

Lời giải:

a) Ta có:

$\frac{y}{x}.\sqrt{\frac{x^2}{y^4}}=\frac{y}{x}.\frac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{y^4}}$

$=\frac{y}{x}.\frac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{(y^2{)}^2}}=\frac{y}{x}.\frac{|x|}{|y^2|}$ 

Vì $x>0$ nên $|x|=x$.

Vì $y\ne 0$  nên  $y^2>0\Rightarrow |y^2|=y^2$.

$\Rightarrow \frac{y}{x}.\frac{|x|}{|y^2|}=\frac{y}{x}.\frac{x}{y^2}=\frac{y}{x}.\frac{x}{y.y}=\frac{1}{y}$.

Vậy $\frac{y}{x}.\sqrt{\frac{x^2}{y^4}}=\frac{1}{y}$.

b)

$2y^2.\sqrt{\frac{x^4}{4y^2}}=2y^2.\frac{\sqrt{x^4}}{\sqrt{4y^2}}=2y^2.\frac{\sqrt{(x^2{)}^2}}{\sqrt{2^2.y^2}}$

$=2y^2.\frac{\sqrt{(x^2{)}^2}}{\sqrt{(2y{)}^2}}=2y^2.\frac{|x^2|}{|2y|}$

Vì $x^2\ge 0\Rightarrow |x^2|=x^2$.

Vì $y<0$  nên  $2y<0\Rightarrow |2y|=-2y$

$\Rightarrow 2y^2.\frac{|x^2|}{|2y|}=2y^2.\frac{x^2}{-2y}=\frac{2y^2.x^2}{-2y}$

$=\frac{x^2.y.2y}{-2y}=-x^{2}y$.

Vậy $2y^2.\sqrt{\frac{x^4}{4y^2}}=-x^{2}y$.

c) Ta có:

$5xy.\sqrt{\frac{25x^2}{y^6}}=5xy.\frac{\sqrt{25x^2}}{\sqrt{y^6}}=5xy.\frac{\sqrt{5^2.x^2}}{\sqrt{(y^3{)}^2}}$

$=5xy.\frac{\sqrt{(5x{)}^2}}{\sqrt{(y^3{)}^2}}=5xy.\frac{|5x|}{|y^3|}$

Vì $x<0$ nên $|5x|=-5x$ 

Vì $y>0\Rightarrow y^3>0\Rightarrow |y^3|=y^3$.

$\Rightarrow 5xy.\frac{|5x|}{|y^3|}=5xy.\frac{-5x}{y^3}=\frac{5xy.(-5x)}{y^3}$

$=\frac{[5.(-5)].(x.x).y}{y^2.y}=\frac{-25x^2}{y^2}$

Vậy $5xy.\sqrt{\frac{25x^2}{y^6}}=\frac{-25x^2}{y^2}$.

d) Ta có:

$0,2x^3{y}^3.\sqrt{\frac{16}{x^4{y}^8}}=0,2x^3{y}^3.\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{x^4{y}^8}}$

$=0,2x^3{y}^3\frac{\sqrt{4^2}}{\sqrt{(x^2{)}^2.(y^4{)}^2}}$

$=0,2x^3{y}^3.\frac{\sqrt{4^2}}{\sqrt{(x^2{)}^2}.\sqrt{(y^4{)}^2}}=0,2x^3{y}^3.\frac{4}{|x^2|.|y^4|}$.

Vì $x\ne 0,y\ne 0$  nên  $x^2>0$  và $y^4>0$

$\Rightarrow |x^2|=x^2$  và $|y^4|=y^4$.

$\Rightarrow 0,2x^3{y}^3.\frac{4}{|x^2|.|y^4|}=0,2x^3{y}^3.\frac{4}{x^2{y}^4}$

$=\frac{0,2x^3{y}^3.4}{x^2{y}^4}$

$=\frac{0,8x}{y}.$ 

Vậy $0,2x^3{y}^3.\sqrt{\frac{16}{x^4{y}^8}}=\frac{0,8x}{y}$. 

Bài 31 trang 19 SGK Toán 9 Tập 1: 
a) So sánh $\sqrt{25-16}$ và $\sqrt{25}-\sqrt{16}$
Phương pháp giải: 

Tính cụ thể từng kết quả rồi so sánh

Lời giải:

a) Ta có:

+) $\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3.$  
+) $\sqrt{25}-\sqrt{16}$$=\sqrt{5^2}-\sqrt{4^2}$$=5-4=1$.

Vì $3>1\iff \sqrt{25-16}>\sqrt{25}-\sqrt{16}$.

Vậy $\sqrt{25-16}>\sqrt{25}-\sqrt{16}$

b) Chứng minh rằng: với $a>b>0$ thì $\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b}$

Phương pháp giải:

+) Định lí so sánh hai căn bậc hai số học của hai số không âm:

$a<b\iff \sqrt{a}<\sqrt{b}$.

+) $\sqrt{a^2}=a$,  với $a\ge 0$. 

+) Sử dụng kết quả bài 26 trang 16 SGK toán 9 tập 1: Với hai số dương $a,b$ ta có: $\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$

Lời giải:

Bài ra cho $a>b>0$ nên $\sqrt{a},\sqrt{b}$ và $\sqrt{a-b}$ đều xác định và dương.

Ta sẽ so sánh $\sqrt{a}$ với $\sqrt{a-b}+\sqrt{b}$ 

Theo kết quả bài 26 trang 16 SGK toán 9 tập 1, với hai số dương $a-b$ và $b,$ ta sẽ có:

$\sqrt{a-b}+\sqrt{b}>\sqrt{a-b+b}$ 

Suy ra: 

$\sqrt{a-b}+\sqrt{b}>\sqrt{a}\iff \sqrt{a-b}>\sqrt{a}-\sqrt{b}$

Vậy $\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b}$ với $a>b>0.$ 

 

Cách khác 1: 

Với $a>b>0$ ta có $\{\begin{array}{l}\sqrt{a}>\sqrt{b}\\ a-b>0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\sqrt{a}-\sqrt{b}>0\\ \sqrt{a-b}>0\end{array}$ 

Xét $\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b}$ , bình phương hai vế ta được ${\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2<{\left(\sqrt{a-b}\right)}^2$$\iff {\left(\sqrt{a}\right)}^2-2.\sqrt{a}.\sqrt{b}+{\left(\sqrt{b}\right)}^2<a-b$

$\iff a-2\sqrt{ab}+b<a-b$$\iff 2b-2\sqrt{ab}<0$

$\iff 2\sqrt{b}\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)<0$  luôn đúng vì  $\{\begin{array}{l}\sqrt{b}>0\\ \sqrt{b}-\sqrt{a}<0\left(do0<b<a\right)\end{array}$

Vậy $\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b}$ với $a>b>0.$

 

Cách khác 2:

Bài ra cho $a>b>0$ nên $\sqrt{a},\sqrt{b}$ và $\sqrt{a-b}$ đều xác định và dương.

Ta sẽ so sánh $\sqrt{a}$ với $\sqrt{a-b}+\sqrt{b}$

Ta có $\sqrt{a-b}+\sqrt{b}$ là số dương và

${\left(\sqrt{a-b}+\sqrt{b}\right)}^2$$=a-b+2\sqrt{b\left(a-b\right)}+b$$=a+2\sqrt{b\left(a-b\right)}$ 

Rõ ràng  $2\sqrt{b(a-b)}>0$ nên ${\left(\sqrt{a-b}+\sqrt{b}\right)}^2>a$   (1)

Ta có $\sqrt{a}$ là số không âm và ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra

${\left(\sqrt{a-b}+\sqrt{b}\right)}^2>{\left(\sqrt{a}\right)}^2$      (3)

Từ (3) theo định lí so sánh các căn bậc hai số học, ta suy ra

$\sqrt{{\left(\sqrt{a-b}+\sqrt{b}\right)}^2}>\sqrt{{\left(\sqrt{a}\right)}^2}$

Hay $\left|\sqrt{a-b}+\sqrt{b}\right|>\left|\sqrt{a}\right|$

Hay $\sqrt{a-b}+\sqrt{b}>\sqrt{a}$

Từ kết quả $\sqrt{a}<\sqrt{a-b}+\sqrt{b}$, ta có $\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b}$

Bài 32 trang 19 SGK Toán 9 Tập 1 :Tính

a) $\sqrt{1\frac{9}{16}.5\frac{4}{9}.0,01}$

b) $\sqrt{1,44.1,21-1,44.0,4}$

c) $\sqrt{\frac{{165}^2-{124}^2}{164}}$

d) $\sqrt{\frac{{149}^2-{76}^2}{{457}^2-{384}^2}}$

Phương pháp giải:

+ Sử dụng công thức đổi hỗn số ra phân số:

                 $a\frac{b}{c}=\frac{a.c+b}{c}$.

+ $\sqrt{a^2}=a$ ,  với $a\ge 0$.

+ $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},$   với  $a\ge 0,b>0$.

+ $\sqrt{ab}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$,   với $a,b\ge 0$.

Lời giải:

Ta có:

$\sqrt{1\frac{9}{16}.5\frac{4}{9}.0,01}=\sqrt{\frac{1.16+9}{16}.\frac{5.9+4}{9}.\frac{1}{100}}$

$=\sqrt{\frac{16+9}{16}.\frac{45+4}{9}.\frac{1}{100}}$

$=\sqrt{\frac{25}{16}.\frac{49}{9}.\frac{1}{100}}$

$=\sqrt{\frac{25}{16}}.\sqrt{\frac{49}{9}}.\sqrt{\frac{1}{100}}$

$=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}.\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}}.\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{100}}$

$=\frac{\sqrt{5^2}}{\sqrt{4^2}}.\frac{\sqrt{7^2}}{\sqrt{3^2}}.\frac{1}{\sqrt{{10}^2}}$

$=\frac{5}{4}.\frac{7}{3}.\frac{1}{10}=\frac{\mathrm{5.7.1}}{\mathrm{4.3.10}}=\frac{35}{120}=\frac{7}{24}.$

b) Ta có

$\sqrt{1,44.1,21-1,44.0,4}$$=\sqrt{1,44(1,21-0,4)}$

$=\sqrt{1,44.0,81}$

$=\sqrt{1,44}.\sqrt{0,81}$

$=\sqrt{1,2^2}.\sqrt{0,9^2}$

$=1,2.0,9=1,08$.

c) Ta có: 

$\sqrt{\frac{{165}^2-{124}^2}{164}}$$=\sqrt{\frac{(165-124)(165+124)}{164}}$

$=\sqrt{\frac{41.289}{41.4}}$ $=\sqrt{\frac{289}{4}}$

$=\frac{\sqrt{289}}{\sqrt{4}}$ $=\frac{\sqrt{{17}^2}}{\sqrt{2^2}}$ $=\frac{17}{2}$.

d) Ta có:

$\sqrt{\frac{{149}^2-{76}^2}{{457}^2-{384}^2}}$ $=\sqrt{\frac{(149-76)(149+76)}{(457-384)(457+384)}}$

$=\sqrt{\frac{73.225}{73.841}}$ $=\sqrt{\frac{225}{841}}$

$=\sqrt{\frac{{15}^2}{{29}^2}}=\sqrt{{\left(\frac{15}{29}\right)}^2}=\frac{15}{29}$.

 Bài 33 trang 19 SGK Toán 9 Tập 1 :Giải phương trình

a) $\sqrt{2}.x-\sqrt{50}=0$

b) $\sqrt{3}.x+\sqrt{3}=\sqrt{12}+\sqrt{27}$

c) $\sqrt{3}.x^2-\sqrt{12}=0$

d)$\frac{x^2}{\sqrt{5}}-\sqrt{20}=0$

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức 

+ $\sqrt{AB}=\sqrt{A}.\sqrt{B}\left(A;B\ge 0\right)$

+ $\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A}{B}}$ (với $A\ge 0;B>0$)

+ $\sqrt{A^2}=\left|A\right|=\{\begin{array}{l}A\mathrm{k}\mathrm{h}\mathrm{i}A\ge 0\\ -A\mathrm{k}\mathrm{h}\mathrm{i}A<0\end{array}$

Lời giải:

a) $\sqrt{2}.x-\sqrt{50}=0$

$\iff \sqrt{2}x=\sqrt{50}$

$\iff x=\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$

$\iff x=\sqrt{\frac{50}{2}}$

$\iff x=\sqrt{25}$

$\iff x=\sqrt{5^2}$

$\iff x=5$.

Vậy $x=5$.

b)

 $\sqrt{3}.x+\sqrt{3}=\sqrt{12}+\sqrt{27}$

$\iff \sqrt{3}.x=\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{3}$

$\iff \sqrt{3}.x=\sqrt{4.3}+\sqrt{9.3}-\sqrt{3}$

$\iff \sqrt{3}.x=\sqrt{4}.\sqrt{3}+\sqrt{9}.\sqrt{3}-\sqrt{3}$

$\iff \sqrt{3}.x=\sqrt{2^2}.\sqrt{3}+\sqrt{3^2}.\sqrt{3}-\sqrt{3}$

$\iff \sqrt{3}.x=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}-\sqrt{3}$

$\iff \sqrt{3}.x=(2+3-1).\sqrt{3}$

$\iff \sqrt{3}.x=4\sqrt{3}$

$\iff x=4$.

Vậy $x=4$.

c) 

$\sqrt{3}{x}^2-\sqrt{12}=0$

 $\iff \sqrt{3}{x}^2=\sqrt{12}$

$\iff \sqrt{3}{x}^2=\sqrt{4.3}$

$\iff \sqrt{3}{x}^2=\sqrt{4}.\sqrt{3}$

$\iff x^2=\sqrt{4}$

$\iff x^2=\sqrt{2^2}$

$\iff x^2=2$

$\iff \sqrt{x^2}=\sqrt{2}$

$\iff |x|=\sqrt{2}$

$\iff x=\pm \sqrt{2}$.

Vậy $x=\pm \sqrt{2}$.

d)

$\frac{x^2}{\sqrt{5}}-\sqrt{20}=0$

$\iff \frac{x^2}{\sqrt{5}}=\sqrt{20}$

$\iff x^2=\sqrt{20}.\sqrt{5}$

$\iff x^2=\sqrt{20.5}$

$\iff x^2=\sqrt{100}$

$\iff x^2=\sqrt{{10}^2}$

$\iff x^2=10$

$\iff \sqrt{x^2}=\sqrt{10}$

$\iff |x|=\sqrt{10}$

$\iff x=\pm \sqrt{10}$.

Vậy $x=\pm \sqrt{10}$.

Bài 34 trang 19 SGK Toán 9 Tập 1:Rút gọn các biểu thức sau:

a) $a{b}^2.\sqrt{\frac{3}{a^2{b}^4}}$ với $a<0,b\ne 0$

b) $\sqrt{\frac{27(a-3{)}^2}{48}}$ với $a>3$

c) $\sqrt{\frac{9+12a+4a^2}{b^2}}$ với $a\ge -1,5$ và $b<0.$

d) $(a-b).\sqrt{\frac{ab}{(a-b{)}^2}}$ với $a<b<0$

 Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức: 

+ $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ với $a\ge 0;b>0$

+ $\sqrt{A^2}=\left|A\right|=\{\begin{array}{l}A\mathrm{k}\mathrm{h}\mathrm{i}A\ge 0\\ -A\mathrm{k}\mathrm{h}\mathrm{i}A<0\end{array}$

Lời giải:

a) Ta có:

$a{b}^2.\sqrt{\frac{3}{a^2{b}^4}}=a{b}^2.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^2{b}^4}}$ $=a{b}^2.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^2}.\sqrt{b^4}}$

$=a{b}^2.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^2}.\sqrt{(b^2{)}^2}}$ $=a{b}^2.\frac{\sqrt{3}}{|a|.|b^2|}$

 $=a{b}^2.\frac{\sqrt{3}}{-a{b}^2}=-\sqrt{3}$.

(Vì $a<0$ nên $|a|=-a$ và $b\ne 0$ nên $b^2>0\Rightarrow |b^2|=b^2)$.

b) Ta có:

$\sqrt{\frac{27(a-3{)}^2}{48}}=\sqrt{\frac{27}{48}.(a-3{)}^2}$ $=\sqrt{\frac{27}{48}}.\sqrt{(a-3{)}^2}$

$=\sqrt{\frac{9.3}{16.3}}.\sqrt{(a-3{)}^2}$ $=\sqrt{\frac{9}{16}}.\sqrt{(a-3{)}^2}$

$=\sqrt{\frac{3^2}{4^2}}.\sqrt{(a-3{)}^2}$ $=\frac{\sqrt{3^2}}{\sqrt{4^2}}.\sqrt{(a-3{)}^2}$

$=\frac{3}{4}|a-3|=\frac{3}{4}(a-3)$.

( Vì $a>3$ nên $a-3>0\Rightarrow |a-3|=a-3)$

c) Ta có:

$\sqrt{\frac{9+12a+4a^2}{b^2}}=\sqrt{\frac{3^2+\mathrm{2.3.2}a+2^2.a^2}{b^2}}$

$=\sqrt{\frac{3^2+\mathrm{2.3.2}a+(2a{)}^2}{b^2}}=\sqrt{\frac{(3+2a{)}^2}{b^2}}$

$=\frac{\sqrt{(3+2a{)}^2}}{\sqrt{b^2}}=\frac{|3+2a|}{|b|}$

Vì $a\ge -1,5\Rightarrow a+1,5>0$

                      $\iff 2(a+1,5)>0$ 

                      $\iff 2a+3>0$

                      $\iff 3+2a>0$

                      $\Rightarrow |3+2a|=3+2a$

Vì  $b<0\Rightarrow |b|=-b$ 

Do đó: $\frac{|3+2a|}{|b|}=\frac{3+2a}{-b}=-\frac{3+2a}{b}$.

Vậy $\sqrt{\frac{9+12a+4a^2}{b^2}}=-\frac{3+2a}{b}$.

d) Ta có:

$(a-b).\sqrt{\frac{ab}{(a-b{)}^2}}=(a-b).\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{(a-b{)}^2}}$

$=(a-b).\frac{\sqrt{ab}}{|a-b|}$

$=(a-b).\frac{\sqrt{ab}}{-(a-b)}=-\sqrt{ab}$.

(Vì $a<b<0$ nên $a-b<0\Rightarrow |a-b|=-(a-b)$ và $ab>0).$

Bài 35 trang 20 SGK Toán 9 Tập 1 :Tìm $x$, biết: 

a) $\sqrt{{\left(x-3\right)}^2}=9$

b) $\sqrt{4{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+1}=6$

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$ đưa phương trình về dạng $\left|A\right|=m\left(m\ge 0\right)\iff [\begin{array}{l}A=m\\ A=-m\end{array}$

Lời giải:

Ta có: 

$\sqrt{{\left(x-3\right)}^2}=9\iff \left|x-3\right|=9$

$\iff [\begin{array}{c}x-3=9\hfill \\ x-3=-9\hfill \end{array}\iff [\begin{array}{c}x=9+3\hfill \\ x=-9+3\hfill \end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=12\hfill \\ x=-6\hfill \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: $x=12$ và $x=-6$.

b) Ta có:

$\sqrt{4x^2+4x+1}=6\iff \sqrt{2^2{x}^2+4x+1}=6$

$\iff \sqrt{(2x{)}^2+2.2x+1^2}=6$

$\iff \sqrt{(2x+1{)}^2}=6$

$\iff |2x+1|=6$

$\begin{array}{rl}& \iff [\begin{array}{c}2x+1=6\hfill \\ 2x+1=-6\hfill \end{array}\\ & \iff [\begin{array}{c}2x=6-1\hfill \\ 2x=-6-1\hfill \end{array}\iff [\begin{array}{c}2x=5\hfill \\ 2x=-7\hfill \end{array}\\ & \iff [\begin{array}{c}x=\frac{5}{2}\hfill \\ x=\frac{-7}{2}\hfill \end{array}\end{array}$

Vậy phương trình có $2$ nghiệm $x=\frac{5}{2}$ và $x=\frac{-7}{2}$.

Bài 36 trang 20 SGK Toán 9 Tập 1: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai ? Vì sao ?

a) $0,01=\sqrt{0,0001}$;

b) $-0,5=\sqrt{-0,25}$;

c) $\sqrt{39}<7$ và $\sqrt{39}>6$;

d) $\left(4-13\right).2\mathrm{x}<\sqrt{3}\left(4-\sqrt{13}\right)\iff 2\mathrm{x}<\sqrt{3}$.

Phương pháp giải:

+ $\sqrt{A}$ xác định (hay có nghĩa) khi $A\ge 0$.

+) Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai:

              $a<b\iff \sqrt{a}<\sqrt{b}$,   với $a,b\ge 0$.

+ $a.c>b.c\iff a>b$ , với $c>0$.

Lời giải:

a) Đúng. Vì $\sqrt{0,0001}=\sqrt{0,{01}^2}=0,01$

Vì  $VP=\sqrt{0,0001}=\sqrt{0,{01}^2}=0,01=VT$. 

b) Sai. 

Vì vế phải không có nghĩa do số âm không có căn bậc hai.

c) Đúng.$\sqrt{0,0001}=\sqrt{0,{01}^2}=0,01$

Vì: $36<39<49$  $\iff \sqrt{36}<\sqrt{39}<\sqrt{49}$

                                 $\iff \sqrt{6^2}<\sqrt{39}<\sqrt{7^2}$

                                 $\iff 6<\sqrt{39}<7$

Hay $\sqrt{39}>6$ và $\sqrt{39}<7$.

d) Đúng. 

Xét bất phương trình đề cho:

                  $(4-\sqrt{13}).2x<\sqrt{3}.(4-\sqrt{13})$     $(1)$

Ta có: 

$16>13\iff \sqrt{16}>\sqrt{13}$

                       $\iff \sqrt{4^2}>\sqrt{13}$

                       $\iff 4>\sqrt{13}$

                       $\iff 4-\sqrt{13}>0$

Chia cả hai vế của bất đẳng thức $(1)$ cho số dương $(4-\sqrt{13})$, ta được:

                         $\frac{(4-\sqrt{13}).2x}{(4-\sqrt{13})}<\frac{\sqrt{3}.(4-\sqrt{13})}{(4-\sqrt{13})}$

                        $\iff 2x<\sqrt{3}.$

 Vậy phép biến đổi tương đương trong câu d là đúng. 

Bài 37 trang 20 SGK Toán 9 Tập 1 :Đố: Trên lưới ô vuông, mỗi ô vuông cạnh $1cm$, cho bốn điểm $M,N,P,Q$ (h.3).

Hãy xác định số đo cạnh, đường chéo và diện tích của tứ giác $MNPQ$.

Phương pháp giải:

+ Sử dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông.

+ Công thức tính diện tích hình vuông cạnh $a$ là: $S=a^2$.

+ Dấu hiệu nhận biết hình vuông: hình thoi có hai đường chéo bằng nhau (hay tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và có hai đường chéo bằng nhau) thì là hình vuông.

Lời giải:

Nối các điểm ta có tứ giác $MNPQ$

                                                    

Tứ giác $MNPQ$ có:

– Các cạnh bằng nhau và cùng bằng đường chéo của hình chữ nhật có chiều dài $2cm$, chiều rộng $1cm$. Do đó theo định lí Py-ta-go, ta có:

$MN=NP=PQ=QM=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}(cm)$.

Hay $MNPQ$ là hình thoi.

– Các đường chéo bằng nhau và cùng bằng đường chéo của hình chữ nhật có chiều dài $3cm$, chiều rộng $1cm$ nên theo định lý Py-ta-go ta có độ dài đường chéo là:

$MP=NQ=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}(cm).$ 

Như vậy hình thoi $MNPQ$ có hai đường chéo bằng nhau nên $MNPQ$ là hình vuông.

Vậy diện tích hình vuông $MNPQ$ bằng $M{N}^2=(\sqrt{5}{)}^2=5(c{m}^2)$.

Lý thuyết Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

1. Định lí 

Với số $a$ không âm và số $b$ dương ta có: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

2. Quy tắc khai phương một thương 

Muốn khai phương một thương $\frac{a}{b}$, trong đó a không âm, b dương, ta có thể khai phương lần lượt a và b rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ 2.

3. Quy tắc chia các căn bậc hai

Muốn chia các căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b dương ta có thể chia a cho cho b rồi khai phương kết quả đó.

Chú ý:  Một cách tổng quát, với biểu thức $A$ không âm và biểu thức $B$ dương ta có $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

4. Các dạng toán cơ bản

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức

Sử dụng: Với biểu thức $A$ không âm và biểu thức $B$ dương ta có $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

Ví dụ: $\sqrt{\frac{25}{49}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{49}}=\frac{5}{7}$

Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Sử dụng: Với biểu thức $A$ không âm và biểu thức $B$ dương ta có $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

Ví dụ: Rút gọn $\frac{\sqrt{27y^3}}{\sqrt{3y}}$ với $y>0$

Ta có: $\frac{\sqrt{27y^3}}{\sqrt{3y}}=\sqrt{\frac{27y^3}{3y}}$$=\sqrt{9y^2}=\sqrt{{\left(3y\right)}^2}$$=\left|3y\right|=3y$