Giải SBT Toán 9 Bài 6: Cung chứa góc
Bài 33 trang 105 SBT Toán 9 tập 2: Cho tam giác có cạnh cố định và không đổi. Tìm quỹ tích giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác đó.
Phương pháp giải:
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm thỏa mãn tính chất là một hình nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất đều thuộc hình
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình đều có tính chất
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm có tính chất là hình
(Thông thường với bài toán “Tìm quỹ tích…” ta nên dự đoán hình trước khi chứng minh: Tập hợp các điểm tạo với hai mút của đoạn thẳng cho trước một góc bằng không đổi là hai cung tròn đối xứng với nhau qua (gọi là cung chứa góc vẽ trên đoạn )).
Lời giải:
Chứng minh thuận:
Gọi là giao điểm đường phân giác trong của
mà trong ta có:
Suy ra:
Trong ta có:
Suy ra:
Do không đổi không đổi.
Vì thay đổi tạo với đầu đoạn cố định một góc bằng không đổi
Do đó, nằm trên cung chứa góc vẽ trên
Chứng minh đảo: Trên cung chứa góc lấy điểm bất kỳ. Vẽ trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa điểm hai tai và sao cho là phân giác của là phân giác của .
cắt tại
Trong ta có:
Trong ta có:
Kết luận: Vậy quỹ tích giao điểm đường phân giác trong khi không đổi, cố định là cung chứa góc vẽ trên
Bài 34 trang 105 SBT Toán 9 tập 2: Dựng cung chứa góc trên đoạn thẳng
Phương pháp giải:
Cách vẽ cung chứa góc
+) Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng
+) Vẽ tia tạo với góc
+) Vẽ đường thẳng vuông góc với . Gọi là giao điểm của với
+) Vẽ cung tâm bán kính sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ không chứa tia
+) được vẽ như trên là một cung chứa góc
Lời giải:
Cách dựng:
− Dựng đoạn
− Dựng
− Dựng đường thẳng là trung trực của
− Dựng tia tại
Tia cắt đường trung trực của tại
− Dựng cung tròn tâm bán kính
− Dựng điểm đối xứng với qua
− Dựng cung tròn tâm bán kính
Ta được cung chứa góc trên đoạn thẳng là và
Bài 35 trang 106 SBT Toán 9 tập 2: Dựng tam giác biết và trung tuyến
Phương pháp giải:
Ta sử dụng cách vẽ cung chứa góc
+) Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng
+) Vẽ tia tạo với góc
+) Vẽ đường thẳng vuông góc với . Gọi là giao điểm của với
+) Vẽ cung tâm bán kính sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ không chứa tia
+) được vẽ như trên là một cung chứa góc
Lời giải:
Cách dựng:
− Dựng đoạn
− Dựng
− Dựng trung điểm của
− Dựng trung trực của
− Dựng tia vuông góc tại cắt đường trung trực của tại
− Dựng cung tròn bán kính là cung chứa góc vẽ trên
− Dựng cung tròn tâm bán kính cắt cung tại và
− Nối (hoặc ) ta có (hoặc ) thỏa mãn điều kiện bài toán.
(Chú ý:
Vì nên
Ta có: nên tam giác OBM vuông cân tại M.
Nên
Theo định lý Pytago ta có
Khoảng cách tâm
nên và luôn cắt nhau. Bài toán luôn dựng được)
Chứng minh:
Ta có (hoặc có góc A (hoặc góc và trung tuyến (hoặc thỏa mãn đề bài.
Biện luận:
Bài toán có hai nghiệm hình.
Bài 36 trang 106 SBT Toán 9 tập 2: Cho nửa đường tròn đường kính cố định. là điểm trên nửa đường tròn, trên dây kéo dài lấy điểm sao cho
Tìm quỹ tích các điểm khi chạy trên nửa đường tròn đã cho.
Trên tia lấy điểm sao cho Tìm quỹ tích các điểm khi chạy trên nửa đường tròn đã cho.
Phương pháp giải:
Ta sử dụng kiến thức:
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm thỏa mãn tính chất là một hình nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất đều thuộc hình
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình đều có tính chất
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm có tính chất là hình
(Thông thường với bài toán “Tìm quỹ tích…” ta nên dự đoán hình trước khi chứng minh: Tập hợp các điểm tạo với hai mút của đoạn thẳng cho trước một góc bằng không đổi là hai cung tròn đối xứng với nhau qua (gọi là cung chứa góc vẽ trên đoạn )).
Lời giải:
Chứng minh thuận:
Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra:
Suy ra: vuông cân tại
hay
cố định. Khi chuyển động trên nửa đường tròn đường kính thì chuyển động trên cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng cố định.
Ta có dây thay đổi phụ thuộc vào vị trí điểm trên nửa đường tròn đường kính
− Dây lớn nhất bằng đường kính của đường tròn. Khi trùng với khi đó trùng với Vậy là điểm của quỹ tích.
− Dây nhỏ nhất có độ dài bằng khi trùng với thì khi đó trùng với là giao điểm của tiếp tuyến đường tròn đường kính tại với cung chứa góc vẽ trên
Chứng minh đảo:
Lấy điểm tùy ý trên cung nối cắt đường tròn đường kính tại Nối
Ta có: (vì nằm trên cung chứa góc vẽ trên ).
Trong đường tròn đường kính ta có:
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra: vuông cân tại
Vậy quỹ tích các điểm khi chuyển động trên nửa đường tròn đường kính là cung nằm trên cung chứa góc vẽ trên đoạn trong nửa mặt phẳng bờ có chứa điểm
Chứng minh thuận:
Trong đường tròn đường kính ta có:
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
vuông tại
(hai góc kề bù)
cố định, chuyển động trên đường tròn đường kính thì chuyển động trên cung chứa góc dựng trên đoạn cố định.
− Khi dây có độ dài lớn nhất bằng đường kính đường tròn, thì trùng với nên trùng với là điểm của quỹ tích.
− Khi dây có độ dài nhỏ nhất bằng thì trùng với Khi đó trùng nên là điểm của quỹ tích.
Vậy chuyển động trên cung chứa góc vẽ trên đoạn nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa điểm
Chứng minh đảo:
Lấy bất kỳ trên cung chứa góc Kẻ cắt đường tròn đường kính tại Nối
Ta có: (vì nằm trên cung chứa góc vẽ trên )
Lại có: (hai góc kề bù)
Trong đường tròn đường kính ta có:
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra: vuông cân tại
Vậy quỹ tích các điểm khi chuyển động trên đường tròn đường kính là một cung chứa góc vẽ trên đoạn nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa điểm
Bài 37 trang 106 SBT Toán 9 tập 2: Cho nửa đường tròn đường kính và là một điểm trên nửa đường tròn. Trên bán kính lấy điểm sao cho bằng khoảng cách từ đến Tìm quỹ tích các điểm khi chạy trên nửa đường tròn đã cho.
Phương pháp giải:
Ta sử dụng kiến thức:
+) Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm thỏa mãn tính chất là một hình nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất đều thuộc hình
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình đều có tính chất
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm có tính chất là hình
Thông thường với bài toán “Tìm quỹ tích…” ta nên dự đoán hình trước khi chứng minh:
+)Tập hợp các điểm tạo với hai mút của đoạn thẳng cho trước một góc bằng không đổi là hai cung tròn đối xứng với nhau qua (gọi là cung chứa góc vẽ trên đoạn ).
+)Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính .
Lời giải:
Chứng minh thuận:
Từ kẻ đường thẳng vuông góc với cắt nửa đường tròn đường kính tại cố định, đường tròn đường kính cố định suy ra cố định.
Nối Ta có: (vì hai đường thẳng cùng vuông góc với )
Xét và có:
+)
+) (so le trong)
+) (bán kính)
Suy ra:
mà nên
Khi chuyển động trên nửa đường tròn đường kính thì thay đổi tạo với đầu đoạn thẳng cố định một góc . Vậy chuyển động trên đường tròn đường kính
Chứng minh đảo:
Lấy điểm bất kỳ trên đường tròn đường kính Kẻ cắt nửa đường tròn đường kính tại kẻ ta phải chứng minh
Nối
Xét và có:
+)
+) (bán kính đường tròn tâm )
+) (so le trong)
Suy ra: (cạnh huyền, góc nhọn)
Vậy quỹ tích các điểm khi chuyển động trên nửa đường tròn đường kính là đường tròn đường kính
Bài 38 trang 106 SBT Toán 9 tập 2: Dựng hình vuông biết đỉnh điểm thuộc cạnh và điểm thuộc cạnh
Phương pháp giải:
* Phân tích:
+) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán
+) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,…)
+) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.)
* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đòng thời thể diện các nét dựng trên hình vẽ.
* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.
Lời giải:
Phân tích:
Giả sử hình vuông dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Ta cần dựng đỉnh Đỉnh thỏa mãn điều kiện:
+) nên nằm trên cung chứa góc dựng trên
+) Ta có (vì hình vuông có đường chéo là phân giác) nên nằm trên cung chứa góc vẽ trên
Cách dựng:
− Dựng cung chứa góc trên đoạn
− Dựng cung chứa góc trên đoạn
Hai cung cắt nhau tại nối
Kẻ tại tại
Ta có tứ giác là hình vuông cần dựng.
Chứng minh:
Thật vậy theo cách dựng ta có:
Tứ giác là hình chữ nhật, có điểm thuộc điểm thuộc là phân giác của
Vậy: tứ giác là hình vuông.
Bài tập bổ sung (trang 106 SBT Toán 9)
Bài 6.1 trang 106 SBT Toán 9 tập 2: Dựng một cung chứa góc trên đoạn thẳng cho trước.
Phương pháp giải:
Cách vẽ cung chứa góc
+) Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng
+) Vẽ tia tạo với góc
+) Vẽ đường thẳng vuông góc với . Gọi là giao điểm của với
+) Vẽ cung tâm bán kính sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ không chứa tia
+) được vẽ như trên là một cung chứa góc
Lời giải:
Cách dựng:
− Dựng đoạn thẳng
− Dựng tia sao cho .
− Dựng đường thẳng là trung trực của
− Dựng tia tại
− Tia cắt đường thẳng tại
− Dựng cung tròn tâm bán kính
− Dựng đối xứng với qua
− Dựng cung tròn tâm bán kính
Ta có cung chứa góc vẽ trên đoạn cho trước.
Bài 6.2 trang 106 SBT Toán 9 tập 2: Cho đường tròn tâm bán kính và điểm (khác ) ở trong đường tròn đó. Một đường thẳng thay đổi, luôn đi qua cắt đường tròn đã cho tại hai điểm là và Tìm quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng
Phương pháp giải:
Ta sử dụng kiến thức:
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm thỏa mãn tính chất là một hình nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất đều thuộc hình
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình đều có tính chất
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm có tính chất là hình
Thông thường với bài toán “Tìm quỹ tích…” ta nên dự đoán hình trước khi chứng minh:
+) Tập hợp các điểm tạo với hai mút của đoạn thẳng cho trước một góc bằng không đổi là hai cung tròn đối xứng với nhau qua (gọi là cung chứa góc vẽ trên đoạn ).
+)Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính .
Lời giải:
Chứng minh thuận:
Đường tròn cho trước, điểm cố định nên có độ dài không đổi.
cân tại (vì = bán kính)
nên là đường trung tuyến vừa là đường cao
Đường thẳng thay đổi nên thay đổi thì thay đổi tạo với đầu đoạn cố định góc . Vậy chuyển động trên đường tròn đường kính
Chứng minh đảo:
Lấy điểm bất kỳ trên đường tròn đường kính Đường thẳng cắt đường tròn (O) tại điểm và
Ta chứng minh:
Trong đường tròn đường kính ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
(đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm dây cung đó)
Vậy quỹ tích các điểm là trung điểm của dây của đường tròn tâm khi quay xung quanh điểm cố định là đường tròn đường kính
Bài 6.3 trang 106 SBT Toán 9 tập 2: Cho tam giác có ba góc nhọn. Xác định vị trí của điểm trong tam giác sao cho nhỏ nhất.
Phương pháp giải:
Ta sử dụng kiến thức:
+) Trong tam giác đều, mỗi góc đều bằng
+) Chứng minh ba điểm thẳng hàng: Nếu thì thẳng hàng.
Lời giải:
Trong ta lấy điểm Nối
Ta cần làm xuất hiện tổng sau đó tìm điều kiện để tổng đó nhỏ nhất.
Lấy làm cạnh dựng trên nửa mặt phẳng bờ chứa điểm tam giác đều Suy ra:
Lấy làm cạnh dựng trên nửa mặt phẳng bờ không chứa điểm tam giác đều
Ta có:
Xét và
+) (vì đều)
+) (chứng minh trên)
+) (vì đều)
Suy ra:
Ta có cho trước nên điểm cố định nên ngắn nhất khi điểm thẳng hàng.
Vì nên điểm thẳng hàng khi và chỉ khi
Vì nên điểm thẳng hàng khi và chỉ khi
Mà (chứng minh trên)
Vậy bé nhất khi và chỉ khi và
Vậy là giao điểm của cung chứa góc dựng trên và