Giải SGK Toán 9 Bài 6: Cung chứa góc

Giải bài tập Toán lớp 9 Bài 6: Cung chứa góc

Trả lời câu hỏi giữa bài

Câu hỏi 1 trang 84 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Cho đoạn thẳng CD.

a) Vẽ ba điểm $N_1, N_2, N_3$  sao cho $\widehat{C{N}_{1}D}=\widehat{C{N}_{2}D}=\widehat{C{N}_{3}D}={90}^o$.

b) Chứng minh rằng các điểm $N_1, N_2, N_3$ nằm trên đường tròn đường kính CD.

Lời giải:

a)

b)

Gọi I là trung điểm của CD

Xét tam giác $C{N}_{1}D$ vuông tại $N_1$ ta có:

 là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

$\Rightarrow I{N}_1=\frac{CD}{2}$ (1)

Xét tam giác $C{N}_{2}D$ vuông tại $N_2$ ta có:

$I{N}_2$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

$\Rightarrow I{N}_2=\frac{CD}{2} \left(2\right)$

Xét tam giác $C{N}_{3}D$ vuông tại $N_3$ ta có:

$I{N}_3$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $\Rightarrow I{N}_3=\frac{CD}{2} \left(3\right)$

Từ (1), (2) và (3) ta có: $I{N}_1=I{N}_2=I{N}_3=\frac{CD}{2}$

Do đó, các điểm $N_1, N_2, N_3$ nằm trên đường tròn đường kính CD.

Câu hỏi 2 trang 84 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Vẽ một góc trên bìa cứng (chẳng hạn, góc ${75}^0$). Cắt ra, ta được một mẫu hình như phần gạch chéo ở hình 39. Đóng hai chiếc đinh A, B cách nhau 3cm trên một tấm gỗ phẳng.

Dịch chuyển tấm bìa trong khe hở sao cho hai cạnh của góc luôn dính sát vào hai chiếc đinh A, B. Đánh dấu các vị trí $M_1,M_2,M_3,\mathrm{\dots },M_{10}$ của đỉnh góc $\left(\widehat{A{M}_{1}B}=\widehat{A{M}_{2}B}=\mathrm{\dots }=\widehat{A{M}_{10}B}={75}^o\right)$.

Qua thực hành, hãy dự đoán quỹ đạo chuyển động của điểm M.

Lời giải:

Qua thực hành, dự đoán quỹ đạo chuyển động của điểm M là hai cung tròn đối xứng nhau qua dây AB.

Bài tập (trang 86)

Bài 44 trang 86 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.

Lời giải:

BI là tia phân giác của góc ABC $\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$

CI là tia phân giác của góc ACB $\Rightarrow \widehat{C_1}=\widehat{C_2}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$

$\Rightarrow \widehat{B_1}+\widehat{C_1}=\widehat{B_2}+\widehat{C_2}$$=\frac{1}{2}\left(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)$

Mà do tam giác ABC vuông tại A

Ta có:

Góc $I_1$ là góc ngoài của tam giác ABI nên $\widehat{I_1}=\widehat{A_1}+\widehat{B_1}$

Góc $I_2$ là góc ngoài của tam giác ACI nên ta có:  $\widehat{I_2}=\widehat{A_2}+\widehat{C_1}$

$\Rightarrow \widehat{I_2}+\widehat{I_2}=\widehat{A_1}+\widehat{B_1}+\widehat{A_2}+\widehat{C_1}\Rightarrow \widehat{BIC}=\widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{B_1}+\widehat{C_1}= {90}^o+{45}^o={135}^o$

Do đó, Điểm I luôn nhìn đoạn thẳng BC dưới 1 góc không đổi là ${135}^0$, vậy quỹ tích điểm I là cung chứa góc ${135}^0$ dựng trên đoạn thẳng BC.

Bài 45 trang 86 SGK Toán lớp 9 Tập 2:Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. Tìm quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo của các hình thoi đó.

Lời giải:

Theo giả thiết ta có: ABCD là hình thoi, có AC và BD là hai đường chéo

$\Rightarrow AC\perp BD$ tại O (tính chất hình thoi)

$\Rightarrow \widehat{AOB}={90}^o$

Do đó, Điểm O luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc không đổi là ${90}^0$, vậy quỹ tích điểm O là đường tròn đường kính AB.

Bài 46 trang 86 SGK Toán lớp 9 Tập 2:Dựng một cung chứa góc ${55}^0$ trên đoạn thẳng AB = 3cm.

Lời giải:

Cách dựng:

– Dựng đoạn thẳng AB = 3cm

– Dựng góc $\widehat{BAx}={55}^o$

– Dựng tia Ay vuông góc với Ax

– Dựng đường trung trực d của đoạn thẳng AB (dùng thước có chia khoảng và êke). Gọi O là giao điểm của d và Ay.

– Dựng đường tròn tâm O, bán kính OA (dùng compa)

Ta được cung AmB là cung chứa góc ${55}^0$ dựng trên đoạn AB = 3cm

Chứng minh:

Ta có:

O thuộc đường trung trực của AB (cách dựng) nên ta có: OA = OB

Do đó, B thuộc đường tròn (O; OA)

Có: $Ax\perp OA$ tại A nên Ax là tiếp tuyến của (O; OA)

Do đó, góc BAx là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây AB

Lấy M thuộc cung AmB thì góc AMB là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AB

Do đó, cung AmB là cung chứa góc ${55}^0$ dựng trên đoạn AB = 3cm.

Bài 47 trang 86 SGK Toán lớp 9 Tập 2:Gọi cung chứ góc ${55}^0$ ở bài 46 là cung AmB. Lấy điểm $M_1$ nằm bên trong và điểm $M_2$ nằm bên ngoài đường tròn chứa cung này sao cho $M_1, M_2$ và cung AmB nằm cùng một phía đối với đường thẳng AB. Chứng minh rằng:

Lời giải:

a)

Điểm $M_1$ nằm bên trong cung chứa góc ${55}^0$

Gọi B’, A’ lần lượt là giao điểm của $A{M}_1$ và $B{M}_1$ với cung tròn AmB.

Ta có: Góc AA’B là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AB và cung AmB là cung chứa góc

Vì $\widehat{A{M}_{1}B}$ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn nên:

Điểm $M_2$ là điểm bất kì nằm ngoài đường tròn

Ta có $M_{2}A, M_{2}B$ lần lượt cắt đường tròn tại A’, B’.

Ta có: Góc AA’B là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AB và cung AmB là cung chứa góc 

Vì $\widehat{A{M}_{2}B}$ là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn chắn cung A’B’ và AB nên ta có:

Luyện tập trang 87

Bài 48 trang 87 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với các đường tròn tâm B có bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm.

Lời giải:

Phần thuận:

Ta có:

AT là tiếp tuyến của đường tròn  (B; OT) với T là tiếp điểm

Do AB cố định nên quỹ tích của T là đường tròn đường kính AB.

Phần đảo:

Với T thuộc đường tròn đường kính AB

Do đó, AT tiếp xúc với đường tròn (B; BT < BA)

Kết luận: Quỹ tích các tiếp điểm là đường tròn đường kính AB.

Bài 49 trang 87 SGK Toán lớp 9 Tập 2:Dựng tam giác ABC, biết BC = 6cm, $\widehat{A}={40}^o$ và đường cao AH = 4cm.

Lời giải:

Cách dựng:

– Kẻ đoạn thẳng AB = 6cm

– Vẽ đường trung trực d của đoạn BC

– Vẽ tia Bx tạo với BC góc ${40}^0$

– Vẽ tia By vuông góc với tia Bx tại B, tia By cắt đường thẳng d tại O.

– Vẽ cung BmC tâm O bán kính OB sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ BC không chứ Bx. Cung BmC chính là cung chứa góc ${40}^0$ cần dựng.

– Vẽ đường thẳng AA’ song song với BC và cách BC một khoảng 4cm, với A và A’ nằm trên cung BmC.

Khi đó, có hai tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài là tam giác ABC và tam giác A’BC.

Chứng minh:

Theo cách dựng ta có: BC = 6cm

Điểm A thuộc cung chứa góc ${40}^0$ dựng trên đoạn BC

$\Rightarrow \widehat{BAC}={40}^o$

AA’ // BC và cách BC 4cm nên chiều cao của tam giác ABC là 4cm

Vậy tam giác ABC thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 50 trang 87 SGK Toán lớp 9 Tập 2:Cho đường tròn đường kính AB cố định, M là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = 2MB.

a) Chứng minh $\widehat{AIB}$ không đổi.

b) Tìm tập hợp các điểm I nói trên.

Lời giải:

a)

Điểm M là điểm nằm trên đường tròn đường kính AB

$\Rightarrow \widehat{AMB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Do đó, tam giác IMB vuông tại I

Xét tam giác IMB vuông tại I

Vậy góc $\widehat{AIB}$ không đổi và luôn bằng ${26}^{o}34‘$.

b)

Vì $\widehat{AIB}$ không đổi và luôn bằng ${26}^{o}34‘$ nên điểm I luôn nhìn đoạn AB cho trước một góc không đổi

Do đó, quỹ tích điểm I là cung chứa góc ${26}^{o}34‘$ dựng trên đoạn AB.

Bài 51 trang 87 SGK Toán lớp 9 Tập 2:Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với $\widehat{A}={60}^o$. Gọi H là giao điểm của các đường cao BB’và CC’. Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải:

Ta có:

Góc BOC là góc ở tâm chắn cung nhỏ BC

Góc BAC là góc nội tiếp chắn cung nhỏ BC

Xét tứ giác AC’HB’ có:

$\widehat{A}+\widehat{HC‘A}+\widehat{HB‘A}+\widehat{B‘HC‘}={360}^o$ (tổng bốn góc trong một tứ giác)

Do BB’và CC’ là các đường cao giao nhau tại H nên ta có:

Xét tam giác IBC có:

BI là tia phân giác của góc ABC

$\Rightarrow \widehat{CBI}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra các điểm O, I, H nằm trên cung chứa góc ${120}^0$ dựng trên đoạn BC.

Vậy 5 điểm B, C, O, H, I nằm trên cùng 1 đường tròn.

Bài 52 trang 87 SGK Toán lớp 9 Tập 2:”Góc sút” của quả phạt đền 11 mét là bao nhiêu độ? Biết rằng chiều rộng cầu môn là 7,32m. Hãy chỉ ra hai vị trí khác trên sân có cùng “góc sút” như quả phạt đền 11 mét.

Lời giải:

Dựng tam giác PMQ cân tại M.

Gọi chiều rộng cầu môn là PQ:

PQ = 7,32m

Gọi H là trung điểm của PQ

$\Rightarrow PH=\frac{1}{2}PQ=\frac{1}{2}.7,32=3,66$ (m)

Lấy điểm M là điểm nằm trên đường trung trực của PQ sao cho MH = 11m

Do đó, M là vị trí đặt bóng cho quả sút phạt đền 11m

Xét tam giác PMQ cân tại M

MH là đường trung tuyến và cũng là đường cao

Do đó, tam giác MHP vuông tại H

Xét tam giác MHP vuông tại H có:

 

 

Xét tam giác PMQ cân tại M

MH là đường trung tuyến và cũng là đường phân giác.

Vậy góc sút phạt đền là:

 $\widehat{PMQ}=2.\widehat{PMH}={37}^{o}12‘$

Vẽ cung chứa góc ${37}^{o}12‘$ dựng trên đoạn PQ. Bất cứ điểm nào trên cung vừa về cũng có “góc sút” như góc sút của quả phạt đền 11 mét.