Chuyên đề bất đẳng thức côsi bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

I. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI

1. Dạng hai số không âm x, y

– Dạng tổng sang tích: $x+y\ge 2\sqrt{xy}$

– Dạng tích sang tổng: $\sqrt{xy}\le \frac{x+y}{2}hay xy\le {\left(\frac{x+y}{2}\right)}^2$

– Dạng lũy thừa: $x^2+y^2\ge 2xy hay xy\le \frac{x^2+y^2}{2}$

Dấu “=” xảy ra <=> x=y

– Dạng đặc biệt: $x=x.1\le \frac{x^2+1}{2}$

2. Dạng ba số không âm x, y, z  

– Dạng tổng sang tích: $x+y+z\ge 3\sqrt[3]{xyz}$

– Dạng tổng sang tích: $\sqrt[3]{xyz}\le \frac{x+y+z}{3} hay xyz\le {\left(\frac{x+y+z}{3}\right)}^3$

– Dạng lũy thừa: $x^3+y^3+z^3\ge 3xyz hay xyz \le \frac{x^3+y^3+z^3}{3}$

Dấu “=” xảy ra <=> x=y=z

– Dạng đặc biệt: $x=x.1.1\le \frac{x^3+1+1}{3}$

 3. Dạng tổng quát với n số không âm $x_1,x_2,...,x_n$

– Dạng tổng sang tích: $x_1+x_2+...+x_n\ge n\sqrt[n]{x_1{x}_2...x_n}$

– Dạng tổng sang tổng: $\sqrt[n]{x_1{x}_2...x_n}\le \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} hay x_1{x}_2...x_n\le \frac{{x^n}_1+{x^n}_2+...+{x^n}_n}{n}$

Dấu “=” xảy ra <=> $x_1=x_2=...=x_n$

Xem thêm