SBT Toán 9 Bài 4: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn | Giải SBT Toán lớp 9

Giải SBT Toán 9 Bài 4: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Bài 35 trang 162 SBT Toán 9 tập 1: Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm $I$ có tọa độ $(-3;2).$ Nếu vẽ đường tròn tâm $I$ bán kính bằng $2$ thì đường tròn đó có vị trí tương đối như thế nào đối với các trục tọa độ$?$ 
Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: Cho đường thẳng $a$ và đường tròn $(O)$ với $d$ là khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $a$

+) Nếu $d=R$ thì đường thẳng $a$ và đường tròn $(O)$ tiếp xúc nhau.

+) Nếu $d>R$ thì đường thẳng $a$ và đường tròn $(O)$ không giao nhau.

Lời giải:

Kẻ $IA\perp Ox$

Ta có: $IA=2=R$

Suy ra đường tròn $(I)$ tiếp xúc với trục hành.

Kẻ $IB\perp Oy$

Ta có: $IB=3>R$

Suy ra đường tròn và trục tung không có điểm chung.

Bài 36 trang 162 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường thẳng $a.$ Tâm $I$ của tất cả các đường tròn có bán kính $5cm$ và tiếp xúc với đường thẳng $a$ nằm trên đường nào$?$
Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Tập hợp tất cả những điểm cách đều đường thẳng $b$ một khoảng $h$ cho trước là hai đường thẳng song song với đường thẳng $b$ và các $b$ một khoảng $h$.

Lời giải:

Vì đường tròn tâm $I$ bán kính $5cm$ tiếp xúc với đường thẳng $a$ nên khoảng cách từ $I$ đến $a$ là $5cm.$

Vậy $I$ nằm trên hai đường thẳng $d$ và $d^{\prime }$ song song với $a,$ cách $a$ một khoảng bằng $5cm.$

Bài 37 trang 162 SBT Toán 9 tập 1: Cho điểm $A$ cách đường thẳng $xy$ là $12cm.$ Vẽ đường tròn $(A;13cm).$

$a)$ Chứng minh rằng đường tròn $(A)$ có hai giao điểm với đường thẳng $xy.$

$b)$ Gọi hai giao điểm nói trên là $B$ và $C.$ Tính độ dài $BC.$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: 

Cho đường thẳng $a$ và đường tròn $(O)$ với $d$ là khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $a.$

+) Nếu $d<R$ thì đường thẳng $a$ và đường tròn $(O)$ cắt nhau.

Sử dụng định lý Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Lời giải:

$a)$ Kẻ $AH\perp xy$

Ta có: $AH=12cm$

Bán kính đường tròn tâm $I$ là $13cm$ nên $R=13cm.$

Mà   $AH=d=12cm$

Nên suy ra  $d<R$

Vậy $(A;13cm)$ cắt đường thẳng $xy$ tại hai điểm phân biệt $B$ và $C.$

$b)$ Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông $AHC,$ ta có:

$A{C}^2=A{H}^2+H{C}^2$

Suy ra: $H{C}^2=A{C}^2-A{H}^2={13}^2-{12}^2$$=25\Rightarrow HC=5(cm)$

Xét đường tròn tâm A có $AH\mathrm{\perp }BC$ tại H nên H là trung điểm của BC (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó)

Suy ra  $BC=2.HC=2.5=10(cm)$

Bài 38 trang 162 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn $(O)$ bán kính bằng $2cm.$ Một đường thẳng đi qua điểm $A$ nằm bên ngoài đường tròn và cắt đường tròn tại $B$ và $C,$ trong đó $AB=BC.$ Kẻ đường kính $COD.$ Tính độ dài $AD.$
Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa, tính chất đường trung bình của tam giác: 

+) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Lời giải:

Trong tam giác $ACD,$ ta có:

+) $B$ là trung điểm của $AC(gt)$

+) $O$ là trung điểm của $CD$

Nên $OB$ là đường trung bình của $∆ACD.$

Suy ra: $OB=\frac{1}{2}AD$ ( tính chất đường trung bình của tam giác)

Vậy $AD=2.OB=2.2=4(cm).$

Bài 39 trang 162 SBT Toán 9 tập 1: Cho hình thang vuông $ABCD$ $(\hat{A}=\hat{D}={90}^{\circ }),$ $AB=4cm,$ $BC=13cm,$ $CD=9cm.$

$a)$ Tính độ dài $AD.$ 

$b)$ Chứng minh rằng đường thẳng $AD$ tiếp xúc với đường tròn có đường kính là $BC.$

Phương pháp giải:

Sử dung kiến thức:

+) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

+) Sử dụng định lí Py-ta-go: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

+) Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

+) Nếu $d=R$ thì đường thẳng $a$ và đường tròn $(O)$ tiếp xúc nhau (với $d$ là khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $a$)

Lời giải:

$a)$ Kẻ $BE\perp CD$ tại $E$

Suy ra tứ giác $ABED$ là hình hình chữ nhật (vì có ba góc vuông $\hat{A}=\hat{D}=\hat{E}={90}^0$)

Suy ra $AD=BE$, $DE=AB=4(cm)$

Suy ra: $CE=CD–DE=9–4=5(cm)$

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông $BCE$ ta có:

$B{C}^2=B{E}^2+C{E}^2$

Suy ra: $B{E}^2=B{C}^2-C{E}^2$$={13}^2-5^2=144$

             $BE=12(cm)$

 Vậy:  $AD=12(cm)$

$b)$ Gọi $I$ là trung điểm của $BC$

Ta có: $IB=IC=\frac{1}{2}BC$$=\frac{1}{2}.13=6,5(cm)$  $(1)$

Kẻ $IH\perp AD.$

Xét hình thang ABCD ta có: $IH//AB//CD$ (cùng vuông góc với AD), mà I là trung điểm BC nên H là trung điểm AD.

Khi đó $HI$ là đường trung bình của hình thang $ABCD.$

Ta có: $HI=\frac{AB+CD}{2}$$=\frac{4+9}{2}=6,5(cm)$  $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $IH=IB=\frac{1}{2}BC$

Vậy đường tròn $\left(I;\frac{BC}{2}\right)$ tiếp xúc với đường thẳng $AD.$

Bài 40 trang 162 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn $(O),$ bán kính $OA,$ dây $CD$ là đường trung trực của $OA.$

$a)$ Tứ giác $OCAD$ là hình gì $?$ Vì sao$?$

$b)$ Kẻ tiếp tuyến đường tròn tại $C,$ tiếp tuyến này cắt đường thẳng $OA$ tại $I.$ Tính độ dài $CI$ biết $OA=R.$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:  

+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

+) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi. 

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Lời giải:

$a)$ Gọi $H$ là giao điểm của $OA$ và $CD$

Vì $CD$ là đường trung trực của $OA$ nên:

    $CD\perp OA$ và $HA=HO$

Xét đường tròn (O) có $CD\perp OA$ tại H nên H là trung điểm của dây CD hay $HC=HD$ (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Vì tứ giác $ACOD$ có hai đường chéo CD và OA cắt nhau tại trung điểm H của mỗi đường nên nó là hình bình hành.

Đồng thời $CD\perp OA$ nên $ACOD$ là hình thoi.

$b)$ Vì $ACOD$ là hình thoi nên $AC=OC$

Mà $OC=OA(=R)$ nên $OA=OC=AC$, suy ra tam giác $OAC$ đều.

Suy ra: $\widehat{COA}={60}^{\circ }$ hay $\widehat{COI}={60}^{\circ }$

Mà $CI\perp OC$ (tính chất tiếp tuyến)

Trong tam giác vuông $OCI,$ ta có:

$CI=OC.\tan \widehat{COI}$$=R.\tan {60}^{\circ }=R\sqrt{3}$.

Bài 41* trang 162 SBT Toán 9 tập 1: Cho nửa đường tròn tâm $O,$ đường kính $AB.$ Qua điểm $C$ thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến $d$ của đường tròn. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ $A$ đến $B$ đến $d.$ Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $C$ đến $AB.$ Chứng minh rằng:

$a)$ $CE=CF;$

$b)$ $AC$ là tia phân giác của góc $BAE;$

$c)$  $C{H}^2=AE.BF$. 

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Trong tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền.

Lời giải:

$a)$ Ta có: $OC\perp d$ ( tính chất tiếp tuyến)

$AE\perp d(gt)$

$BF\perp d(gt)$

Suy ra:  $OC//AE//BF(\ast )$

Mà  $OA=OB(=R)$

Suy ra: $CE=CF$ (tính chất đường thẳng song cách đều)

$b)$ Ta có: $AE//OC$ (theo $(\ast )$)

Suy ra:  $\widehat{OCA}=\widehat{EAC}$ ( hai góc so le trong)      $(1)$

Ta có: $OA=OC(=R)$

Suy ra: $∆OAC$ cân tại $O$ $\Rightarrow \widehat{OCA}=\widehat{OAC}$  $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $\widehat{EAC}=\widehat{OAC}$

Vậy $AC$ là tia phân giác của góc $OAE$ hay $AC$ là tia phân giác của góc $BAE.$

$c)$ Tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ có $AB$ là đường kính nên $\widehat{ACB}={90}^{\circ }$

Tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $CH\perp AB.$

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

$C{H}^2=HA.HB(3)$

Xét hai tam giác $ACH$ và $ACE,$ ta có:

+) $\widehat{AEC}=\widehat{AHC}={90}^{\circ }$

+) $CH=CE$ (tính chất đường phân giác)

+) $AC$ chung

Suy ra:   $∆ACH=∆ACE$ (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra:   $AH=AE(4)$

Xét hai tam giác $BCH$ và $BEF,$ ta có:

+) $\widehat{BHC}=\widehat{BFC}={90}^{\circ }$

+) $CH=CF(=CE)$

+) $BC$ chung

Suy ra: $∆BCH=∆BCF$ (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra:       $BH=BF(5)$

Từ $(3),$ $(4)$ và $(5)$ suy ra: $C{H}^2=AE.BF$

Bài tập bổ sung (trang 163 SBT Toán 9)

Bài 4.1 trang 163 SBT Toán 9 tập 1: Cho đoạn thẳng $AB.$ Đường tròn $(O)$ đường kính $2cm$ tiếp xúc với đường thẳng $AB.$ Tâm $O$ nằm trên

$(A)$ Đường vuông góc với $AB$ tại $A$ ;

$(B)$  Đường vuông góc với $AB$ tại $B$ ;

$(C)$  Hai đường thẳng song song với $AB$ và cách $AB$ một khoảng $1cm$;

$(D)$ Hai đường thẳng song song với $AB$ và cách $AB$ một khoảng $2cm.$

Hãy chọn phương án đúng

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: Nếu đường thẳng $a$ và đường tròn $(O)$ tiếp xúc với nhau thì $d=R$, với $d$ là khoảng cách từ  tâm đường tròn đến đường thẳng $a.$

Lời giải:

Vì $AB$ tiếp xúc với đường tròn $(O)$ nên khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$ bằng bán kính là $2:2=1cm$ 

Do đó  điểm $O$ nằm trên hai đường thẳng song song với $AB$ và cách $AB$ một khoảng $1cm.$

Chọn $(C).$

Bài 4.2 trang 163 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn $(O;2cm),$ điểm $A$ di chuyển trên đường tròn.  Trên tiếp tuyến tại $A,$ lấy điểm $M$ sao cho $AM=OA.$ Điểm $M$ chuyển động trên đường nào$?$  
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức: Tập hợp tất cả các điểm cách một điểm cố định  một khoảng không đổi  là đường tròn tâm , bán kính  

Lời giải:

Vì AM là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên $AM\mathrm{\perp }OA$.

Lại có $AM=OA=2cm$ nên $\mathrm{\Delta }OAM$ là tam giác vuông cân tại $A$

Theo định lý Pytago ta có: $O{M}^2=O{A}^2+A{M}^2$$=2^2+2^2=8$

$\Rightarrow OM=2\sqrt{2}$.

Do điểm $O$ cố định nên điểm $M$ chuyển động trên đường tròn $(O;2\sqrt{2}cm).$

Bài 4.3 trang 163 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn $(O;15cm),$ dây $AB=24cm.$ Một tiếp tuyến song song với $AB$ cắt các tia $OA,$ $OB$ theo thứ tự ở $E,F.$ Tính độ dài $EF.$
Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+) Sử dụng định lý Ta-lét. 

Lời giải:

Gọi $C$  là tiếp điểm của $EF$ với đường tròn $(O),$ $H$ là giao điểm của $OC$ và $AB.$ Ta có

$OC\mathrm{\perp }EF$ (tính chất tiếp tuyến) và $AB//EF$ (gt) nên $OC\mathrm{\perp }AB$ tại H.

Xét đường tròn (O) có $OC\mathrm{\perp }AB$ tại H nên H là trung điểm của AB (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Suy ra $HB=\frac{AB}{2}=12cm$ 

Xét tam giác OHB vuông tại H, theo định lý Pytago ta có:

$O{B}^2=O{H}^2+H{B}^2$

 $\Rightarrow O{H}^2=O{B}^2-H{B}^2$

$\iff O{H}^2={15}^2-{12}^2=81$

 $\Rightarrow OH=9cm.$

Vì $AH//EC$ nên $\frac{OH}{OC}=\frac{OA}{OE}$ (định lý Ta-lét)

Vì $AB//EF$ nên $\frac{AB}{EF}=\frac{OH}{OC}$ (hệ quả định lý Ta-lét)

Suy ra $\frac{OH}{OC}=\frac{AB}{EF}$ ,

tức là $\frac{9}{15}=\frac{24}{EF}$.

$\Rightarrow EF=\frac{24.15}{9}=40cm$