SBT Toán 9 Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn | Giải SBT Toán lớp 9

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1 trang 5 SBT Toán 9 tập 2: Cho các cặp số và các phương trình sau. Hãy dùng mũi tên (như trong hình vẽ) chỉ rõ mỗi cặp số là nghiệm của những phương trình nào:

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Một nghiệm của phương trình $ax+by=c$  ($a\ne 0$ hoặc $b\ne 0$) là một cặp số $(x_0;y_0)$ sao

cho $a{x}_0+b{y}_0=c.$ 

Lời giải:

$1.$ Xét cặp số $(2;-5)$

– Thay $x=2;y=-5$ vào phương trình $3x+2y=-4$ ta được: $3.2+2.(-5)=-4$

$\iff -4=-4$ (luôn đúng)

Do đó cặp số $(2;-5)$ là nghiệm của phương trình $3x+2y=-4$.

– Thay $x=2;y=-5$ vào phương trình $x-5y=1$ ta được: $2-5.(-5)=1$

$\iff 27=1$ (vô lí)

Do đó cặp số $(2;-5)$ không phải là nghiệm của phương trình $x-5y=1$.

– Thay $x=2;y=-5$ vào phương trình $0x+3y=-6$ ta được: $0.2+3.(-5)=-6$

$\iff -15=-6$ (vô lí)

Do đó cặp số $(2;-5)$ không phải là nghiệm của phương trình $0x+3y=-6$.

– Thay $x=2;y=-5$ vào phương trình $7x+0y=21$ ta được: $7.2+0.(-5)=21$$\iff 14=21$ (vô lí)

Do đó cặp số $(2;-5)$ không phải là nghiệm của phương trình $7x+0y=21$.

$2.$ Xét cặp số $(1;0)$

– Thay $x=1;y=0$ vào phương trình $3x+2y=-4$ ta được: $3.1+2.0=-4$

$\iff 3=-4$ (vô lí)

Do đó cặp số $(1;0)$ không phải là nghiệm của phương trình $3x+2y=-4$.

– Thay $x=1;y=0$ vào phương trình $x-5y=1$ ta được: $1-5.0=1$

$\iff 1=1$ (luôn đúng)

Do đó cặp số $(1;0)$ là nghiệm của phương trình $x-5y=1$.

– Thay $x=1;y=0$ vào phương trình $0x+3y=-6$ ta được: $0.1+3.0=-6$

$\iff 0=-6$ (vô lí)

Do đó cặp số $(1;0)$ không phải là nghiệm của phương trình $0x+3y=-6$.

– Thay $x=1;y=0$ vào phương trình $7x+0y=21$ ta được: $7.1+0.0=21$

$\iff 7=21$ (vô lí)

Do đó cặp số $(1;0)$ không phải là nghiệm của phương trình $7x+0y=21$.

$3.$ Xét cặp số $(3;-2)$

– Thay $x=3;y=-2$ vào phương trình $3x+2y=-4$ ta được: $3.3+2.(-2)=-4$ $\iff 5=-4$ (vô lí)

 

Do đó cặp số $(3;-2)$ không phải là nghiệm của phương trình $3x+2y=-4$.

– Thay $x=3;y=-2$ vào phương trình $x-5y=1$ ta được: $3-5.(-2)=1$

$\iff 13=1$ (vô lí)

Do đó cặp số $(3;-2)$ không phải là nghiệm của phương trình $x-5y=1$.

– Thay $x=3;y=-2$ vào phương trình $0x+3y=-6$ ta được: $0.3+3.(-2)=-6$

$\iff -6=-6$ (luôn đúng)

Do đó cặp số $(3;-2)$ là nghiệm của phương trình $0x+3y=-6$.

– Thay $x=3;y=-2$ vào phương trình $7x+0y=21$ ta được: $7.3+0.(-2)=21$

$\iff 21=21$ (luôn đúng)

Do đó cặp số $(3;-2)$ là nghiệm của phương trình $7x+0y=21$.

$4.$ Xét cặp số $(6;1)$

– Thay $x=6;y=1$ vào phương trình $3x+2y=-4$ ta được: $3.6+2.1=-4$

$\iff 20=-4$ (vô lí)

Do đó cặp số $(6;1)$ không phải là nghiệm của phương trình $3x+2y=-4$.

– Thay $x=6;y=1$ vào phương trình $x-5y=1$ ta được: $6-5.1=1$

$\iff 1=1$ (luôn đúng)

Do đó cặp số $(6;1)$ là nghiệm của phương trình $x-5y=1$.

– Thay $x=6;y=1$ vào phương trình $0x+3y=-6$ ta được: $0.6+3.1=-6$

 

$\iff 3=-6$ (vô lí)

Do đó cặp số $(6;1)$ không phải là nghiệm của phương trình $0x+3y=-6$.

– Thay $x=6;y=1$ vào phương trình $7x+0y=21$ ta được: $7.6+0.1=21$

$\iff 42=21$ (vô lí)

Do đó cặp số $(6;1)$ không phải là nghiệm của phương trình $7x+0y=21$.

$5.$ Xét cặp số $(0;-2)$

– Thay $x=0;y=-2$ vào phương trình $3x+2y=-4$ ta được: $3.0+2.(-2)=-4$

$\iff -4=-4$ (luôn đúng)

Do đó cặp số $(0;-2)$ là nghiệm của phương trình $3x+2y=-4$.

– Thay  $x=0;y=-2$ vào phương trình $x-5y=1$ ta được: $0-5.(-2)=1$

$\iff 10=1$ (vô lí)

Do đó cặp số $(0;-2)$ không phải là nghiệm của phương trình $x-5y=1$.

– Thay $x=0;y=-2$ vào phương trình $0x+3y=-6$ ta được: $0.0+3.(-2)=-6$

$\iff -6=-6$ (luôn đúng)

Do đó cặp số $(0;-2)$ là nghiệm của phương trình $0x+3y=-6$.

– Thay $x=0;y=-2$  vào phương trình $7x+0y=21$ ta được: $7.0+0.(-2)=21$

$\iff 0=21$ (vô lí)

Do đó cặp số $(0;-2)$ không phải là nghiệm của phương trình $7x+0y=21$.

 

$6.$ Xét cặp số $(0;0)$

– Thay $x=0;y=0$ vào phương trình $3x+2y=-4$ ta được: $3.0+2.0=-4$

$\iff 0=-4$ (vô lí)

Do đó cặp số $(0;0)$ không phải là nghiệm của phương trình $3x+2y=-4$.

– Thay  $x=0;y=0$ vào phương trình $x-5y=1$ ta được: $0-5.0=1$

$\iff 0=1$ (vô lí)

Do đó cặp số $(0;0)$ không phải là nghiệm của phương trình $x-5y=1$.

– Thay $x=0;y=0$ vào phương trình $0x+3y=-6$ ta được: $0.0+3.0=-6$

$\iff 0=-6$ (vô lí)

Do đó cặp số $(0;0)$ không phải là nghiệm của phương trình $0x+3y=-6$.

– Thay $x=0;y=0$  vào phương trình $7x+0y=21$ ta được: $7.0+0.0=21$

$\iff 0=21$ (vô lí)

Do đó cặp số $(0;0)$ không phải là nghiệm của phương trình $7x+0y=21$.

Bài 2 trang 5 SBT Toán 9 tập 2: Viết nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của mỗi phương trình sau:

$a)$ $2x-y=3$

$b)$ $x+2y=4$

$c)$ $3x-2y=6$

$d)$ $2x+3y=5$

$e)$ $0x+5y=-10$

$f)$ $-4x+0y=-12$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

$1)$ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình $ax+by=c$  $(1)$

+) Nếu $a\ne 0$ và $b\ne 0$ thì phương trình $(1)$ có nghiệm tổng quát là:

$\{\begin{array}{ccc}x\in \mathbb{R}& & \\ y=\frac{-a}{b}x+\frac{c}{b}& & \end{array}$

hoặc $\{\begin{array}{ccc}x=\frac{-b}{a}y+\frac{c}{a}& & \\ y\in \mathbb{R}& & \end{array}$

+) Nếu $a=0,b\ne 0$ thì phương trình $(1)$ có nghiệm tổng quát là:

$\{\begin{array}{ccc}x\in \mathbb{R}& & \\ y=\frac{c}{b}& & \end{array}$ 

+) Nếu $a\ne 0,b=0$ thì phương trình $(1)$ có nghiệm tổng quát là:

$\{\begin{array}{ccc}x=\frac{c}{a}& & \\ y\in \mathbb{R}& & \end{array}$ 

$2)$ Tập nghiệm của phương trình  $ax+by=c$ được biểu diễn bởi đường thẳng $ax+by=c$. Cách vẽ đường thẳng có phương trình: $ax+by=c$

+) Nếu $a\ne 0,b\ne 0$ thì vẽ đường thẳng $y=\frac{-a}{b}x+\frac{c}{b}$

+) Nếu $a\ne 0,b=0$ thì vẽ đường thẳng $x=\frac{c}{a}$ song song hoặc trùng với trục tung.

+) Nếu $a=0,b\ne 0$ thì vẽ đường thẳng $y=\frac{c}{b}$ song song hoặc trùng với trục hoành.

Lời giải:

$a)$ Ta có $2x-y=3$$\iff y=2x-3$

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

$\{\begin{array}{ccc}x\in \mathbb{R}& & \\ y=2x-3& & \end{array}$

* Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $y=2x-3$ :

Cho $x=0\Rightarrow y=-3$ ta được $A(0;-3)$.

Cho $y=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}$ ta được $B\left(\frac{3}{2};0\right)$.

Biểu diễn điểm $A(0;-3)$ và $B\left(\frac{3}{2};0\right)$ trên hệ trục tọa độ. Tập nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$.

$b)$ Ta có $x+2y=4\iff y=-\frac{1}{2}x+2$

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: $\{\begin{array}{ccc}x\in \mathbb{R}& & \\ y=-\frac{1}{2}x+2& & \end{array}$

* Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $y=-\frac{1}{2}x+2$ :

Cho $x=0\Rightarrow y=2$ ta được $C(0;2)$.

Cho $y=0\Rightarrow x=4$ ta được  $D(4;0)$.

Biểu diễn điểm $C(0;2)$ và  $D(4;0)$ trên hệ trục tọa độ. Tập nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng đi qua hai điểm $C,D$.

 

$c)$ Ta có $3x-2y=6\iff y=\frac{3}{2}x-3$ 

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: 

$\{\begin{array}{ccc}x\in \mathbb{R}& & \\ y=\frac{3}{2}x-3& & \end{array}$

* Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $y=\frac{3}{2}x-3$ : 

Cho $x=0\Rightarrow y=-3$ ta được $E(0;-3)$.

Cho $y=0\Rightarrow x=2$ ta được  $F(2;0)$.

 

Biểu diễn điểm $E(0;-3)$ và  $F(2;0)$ trên hệ trục tọa độ. Tập nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng đi qua hai điểm $E,F$.

 

$d)$Ta có $2x+3y=5\iff y=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: $\{\begin{array}{ccc}x\in \mathbb{R}& & \\ y=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}& & \end{array}$

 * Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $y=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$ :

Cho $x=0\Rightarrow y=\frac{5}{3}$ ta được $G(0;\frac{5}{3})$.

Cho $y=0\Rightarrow x=\frac{5}{2}$ ta được  $H(\frac{5}{2};0)$.

Biểu diễn điểm $G(0;\frac{5}{3})$ và  $H(\frac{5}{2};0)$ trên hệ trục tọa độ. Tập nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng đi qua hai điểm $G,H$.

 

$e)$ Ta có $0x+5y=-10\iff y=-2$ 

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: $\{\begin{array}{ccc}x\in \mathbb{R}& & \\ y=-2& & \end{array}$

* Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $y=-2$ :

Tập nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng $y=-2$ đi qua điểm $M(0;-2)$ và song song với trục hoành

 

$f)$ $-4x+0y=-12\iff x=3$ 

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: $\{\begin{array}{ccc}x=3& & \\ y\in \mathbb{R}& & \end{array}$

* Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $x=3$ :

Tập nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng $x=3$ đi qua điểm $N(3;0)$ và song song với trục tung.

Bài 3 trang 5 SBT Toán 9 tập 2: Trong mỗi trường hợp sau hãy tìm giá trị của $m$ để:

a) Điểm $M\left(1;0\right)$ thuộc đường thẳng $mx-5y=7$

b) Điểm $N\left(0;-3\right)$ thuộc đường thẳng $2,5x+my=-21$

c) Điểm $P\left(5;-3\right)$ thuộc đường thẳng  $mx+2y=-1$

d) Điểm $P\left(5;-3\right)$ thuộc đường thẳng $3x–my=6$.

e) Điểm $Q\left(0,5;-3\right)$ thuộc đường thẳng $mx+0y=17,5$

f) Điểm $S\left(4;0,3\right)$ thuộc đường thẳng $0x+my=1,5$

g) Điểm $A\left(2;-3\right)$ thuộc đường thẳng $(m–1)x+(m+1)y=2m+1$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đường thẳng $ax+by=c$ $\iff a{x}_0+b{y}_0=c$

Lời giải:

a)

Điểm $M\left(1;0\right)$ thuộc đường thẳng $mx-5y=7$ nên ta có:

$m.1-5.0=7$$\iff m=7$

Vậy với $m=7$ thì đường thẳng $mx-5y=7$ đi qua điểm $M\left(1;0\right)$

 b)

Điểm $N\left(0;-3\right)$ thuộc đường thẳng $2,5x+my=-21$ nên ta có: $2,5.0+m.\left(-3\right)=-21$ $\iff m=7$

Vậy với $m=7$ thì đường thẳng $2,5x+my=-21$ đi qua $N\left(0;-3\right)$

 c)

Điểm $P\left(5;-3\right)$ thuộc đường thẳng $mx+2y=-1$ nên  ta có: $m.5+2.\left(-3\right)=-1$ $\iff m=1$

Vậy với $m=1$ thì đường thẳng $mx+2y=-1$ đi qua điểm $P\left(5;-3\right)$

 d)

Điểm $P\left(5;-3\right)$ thuộc đường thẳng $3x-my=6$ nên ta có: $3.5-m.\left(-3\right)=6\iff 3m=-9$ $\iff m=-3$

Vậy với $m=-3$ thì đường thẳng $3x-my=6$ đi qua điểm $P\left(5;-3\right)$

e)

Điểm $Q\left(0,5;-3\right)$ thuộc đường thẳng $mx+0y=17,5$ nên ta có: $m.0,5+0.\left(-3\right)=17,5\iff m=35$

Vậy với $m=35$ thì đường thẳng $mx+0y=17,5$ đi qua điểm $Q\left(0,5;-3\right)$

 f)

Điểm $S\left(4;0,3\right)$ thuộc đường thẳng $0x+my=1,5$ nên ta có:  $0.4+m.0,3=1,5\iff m=5$

Vậy với $m=5$ thì đường thẳng $0x+my=1,5$ đi qua điểm $S\left(4;0,3\right)$

 g)

Điểm $A\left(2;-3\right)$ thuộc đường thẳng $\left(m-1\right)x+\left(m+1\right)y=2m+1$ nên  ta có:

$\begin{array}{rl}& 2\left(m-1\right)+\left(m+1\right).\left(-3\right)=2m+1\\ & \iff 2m-2-3m-3=2m+1\\ & \iff 3m+6=0\\ & \iff m=-2\end{array}$

Vậy với $m=-2$ thì đường thẳng $\left(m-1\right)x+\left(m+1\right)y=2m+1$ đi qua điểm $A\left(2;-3\right)$.

Bài 4 trang 6 SBT Toán 9 tập 2: Phương trình nào sau đây xác định một hàm số dạng $y=ax+b$?

a) $5x–y=7$

b) $3x+5y=10$

c) $0x+3y=-1$

d) $6x–0y=18$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Biến đổi phương trình đã cho về dạng $y=ax+b$. Sau đó xác định $a,b$. 

Lời giải:

a)

$5x-y=7\iff y=5x-7$.

Phương trình trên xác định một hàm số dạng $y=ax+b$ với $a=5$ ; $b=-7$ 

 b)

$3x+5y=10$$\iff 5y=-3x+10$$\iff y=-\frac{3}{5}x+2$.

Phương trình trên xác định một hàm số  dạng $y=ax+b$ với $a=-\frac{3}{5};b=2$

 c)

$0x+3y=-1\iff y=-\frac{1}{3}$.

Phương trình trên xác định một hàm số dạng $y=ax+b$ với $a=0;b=-\frac{1}{3}$

 d)

$6x-0y=18\iff x=3$.

Phương trình trên không xác định hàm số dạng $y=ax+b$

Bài 5 trang 6 SBT Toán 9 tập 2: Phải chọn $a$ và $b$ như thế nào để phương trình $ax+by=c$ xác định một hàm số bậc nhất của biến $x$?
Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Biến đổi phương trình $ax+by=c$ về dạng một hàm số bậc nhất của biến $x$ từ đó suy ra điều kiện của $a,b$.

Lời giải:

Ta có: 

$\begin{array}{l}ax+by=c\iff by=-ax+c\\ \Rightarrow y=\frac{-a}{b}x+\frac{c}{b}\end{array}$

Để phương trình $ax+by=c$ xác định một hàm số bậc nhất của biến $x$ có dạng: $y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}$ thì $a\ne 0$ và $b\ne 0$.

Bài 6 trang 6 SBT Toán 9 tập 2: Vẽ mỗi cặp đường thẳng sau trong cùng một mặt phẳng tọa độ rồi tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó:

a)  $2x+y=1$ và $4x–2y=-10;$

b) $0,5x+0,25y=0,15$  và $-\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2};$

c) $4x+5y=20$ và $0,8x+y=4;$

d) $4x+5y=20$ và $2x+2,5y=5.$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

1) Vẽ đường thẳng có phương trình  $ax+by=c,(b\ne 0)$:

Ta có $ax+by=c\iff y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}$.

Xác định hai điểm $A,B$ thuộc đồ thị hàm số $y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}$.

Đường thẳng đã cho là đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$.

2) Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng $y=ax+b$ và $y=a^{\prime }x+b^{\prime }$ là nghiệm của phương trình: $ax+b=a^{\prime }x+b^{\prime }$.

Giải phương trình trên ta tìm được $x$. Thay giá trị của $x$ vào phương trình $y=ax+b$ hoặc $y=a^{\prime }x+b^{\prime }$, ta tìm được tung độ giao điểm. 

Lời giải:

a)

– Ta có $2x+y=1\iff y=-2x+1$

Cho $x=0\Rightarrow y=1$ ta được $A(0;1)$

Cho $y=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}$ ta được $B\left(\frac{1}{2};0\right)$

Đường thẳng $2x+y=1$ là đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$.

– Ta có  $4x–2y=-10\iff y=2x+5$

Cho $x=0\Rightarrow y=5$ ta được $C(0;5)$

Cho $y=0\Rightarrow x=-\frac{5}{2}$ ta được $D\left(-\frac{5}{2};0\right)$

Đường thẳng $4x–2y=-10$ là đường thẳng đi qua hai điểm $C,D$.

– Tìm tọa độ giao điểm:

Hoành độ giao điểm $I$ của hai đường thẳng $2x+y=1$ và $4x–2y=-10$ là nghiệm của phương trình:

$-2x+1=2x+5\iff 4x=-4\iff x=-1$

Suy ra tung độ giao điểm $I$ là $y=-2.(-1)+1=2+1=3$

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho là $I(-1;3).$

 b)

– Ta có $0,5x+0,25y=0,15$ $\iff y=-2x+0,6$

Cho $x=0\Rightarrow y=0,6$ ta được $E(0;0,6)$

Cho $y=0\Rightarrow x=0,3$ ta được $F(0,3;0)$

Đường thẳng $0,5x+0,25y=0,15$ là đường thẳng đi qua hai điểm $E,F$.

– Ta có $-\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}\iff y=3x–9$

Cho $x=0\Rightarrow y=-9$ ta được $G(0;-9)$

Cho $y=0\Rightarrow x=3$ ta được $H(3;0)$

Đường thẳng $-\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$ là đường thẳng đi qua hai điểm $G,H$.

– Tìm tọa độ giao điểm:

Hoành độ giao điểm $J$ của hai đường thẳng $0,5x+0,25y=0,15$  và $-\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$ là nghiệm của phương trình:

$\begin{array}{rl}& -2x+0,6=3x-9\iff 5x=9,6\\ & \iff x=1,92\end{array}$

Suy ra tung độ giao điểm $J$ là $y=3.1,92–9=-3,24$

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho là $J(1,92;-3,24).$

 c)

 – Ta có $4x+5y=20$ $\iff y=-0,8x+4(1)$

Cho $x=0\Rightarrow y=4$ ta được $M(0;4)$

Cho $y=0\Rightarrow x=5$ ta được $N(5;0)$

Đường thẳng $4x+5y=20$ là đường thẳng đi qua hai điểm $M,N$.

– Ta có $0,8x+y=4$ $\iff y=-0,8x+4(2)$

– Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra hai đường thẳng đã cho trùng nhau. Do đó hai đường thẳng này có vô số điểm chung.

 d)

 – Ta có $4x+5y=20$ $\iff y=-0,8x+4$

Cho $x=0\Rightarrow y=4$ ta được $P(0;4)$

Cho $y=0\Rightarrow x=5$ ta được $Q(5;0)$

Đường thẳng $4x+5y=20$ là đường thẳng đi qua hai điểm $P,Q$.

– Ta có $2x+2,5y=5$ $\iff y=-0,8x+2$

Cho $x=0\Rightarrow y=2$ ta được $R(0;2)$

Cho $y=0\Rightarrow x=2,5$ ta được $S(2,5;0)$

Đường thẳng $2x+2,5y=5$ là đường thẳng đi qua hai điểm $R,S$.

– Hai đường thẳng đã cho có hệ số góc bằng nhau, tung độ gốc khác nhau nên chúng song song với nhau. Do đó hai đường thẳng đã cho không có tọa độ giao điểm.

 

Bài 7 trang 6 SBT Toán 9 tập 2: Giải thích vì sao khi $M\left(x_0;y_0\right)$ là giao điểm của hai đường thẳng $ax+by=c$ và $a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }$ thì $\left(x_0;y_0\right)$ là nghiệm chung của hai phương trình ấy.
Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đường thẳng $ax+by=c$  $\iff a{x}_0+b{y}_0=c$.

Lời giải:

Điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ là giao điểm của hai đường thẳng $ax+by=c$  và $a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }$ nên $M$ thuộc cả hai đường thẳng trên.

Vì điểm $M$ thuộc đường thẳng $ax+by=c$ nên tọa độ của nó thỏa mãn phương trình đường thẳng này, ta có: $a{x}_0+b{y}_0=c$

Vì $M$ thuộc đường thẳng $a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }$ nên tọa độ của nó thỏa mãn phương trình đường thẳng này, ta có: $a^{\prime }{x}_0+b^{\prime }{y}_0=c^{\prime }$

Vậy $\left(x_0;y_0\right)$ là nghiệm chung của hai phương trình $ax+by=c$ và $a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }$.

Bài tập bổ sung (trang 6 SBT Toán 9)

Bài 1.1 trang 6 SBT Toán 9 tập 2: Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng $3x–2y=3:$

$A(1;3);$                 $B(2;3);$

$C(3;3);$                 $D(4;3)?$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đường thẳng $ax+by=c$ $\iff a{x}_0+b{y}_0=c$

Lời giải:

– Thay $x=1;y=3$ vào phương trình $3x–2y=3$ ta được: $3.1-2.3=3$

$\iff -3=3$ (vô lí)

Do đó điểm $A(1;3)$ không thuộc đường thẳng $3x–2y=3.$

– Thay $x=2;y=3$ vào phương trình $3x–2y=3$ ta được: $3.2-2.3=3$

$\iff 0=3$ (vô lí)

Do đó điểm $B(2;3)$ không thuộc đường thẳng $3x–2y=3.$

– Thay $x=3;y=3$ vào phương trình $3x–2y=3$ ta được: $3.3-2.3=3$

$\iff 3=3$ (luôn đúng)

Do đó điểm $C(3;3)$ thuộc đường thẳng $3x–2y=3.$

– Thay $x=4;y=3$ vào phương trình $3x–2y=3$ ta được: $3.4-2.3=3$

$\iff 6=3$ (vô lí)

Do đó điểm $D(4;3)$ không thuộc đường thẳng $3x–2y=3.$

 Vậy điểm $C(3;3)$ thuộc đường thẳng $3x–2y=3.$

Bài 1.2 trang 6 SBT Toán 9 tập 2: Trong mỗi trường hợp sau, hãy xác định đường thẳng $ax+by=c$ đi qua hai điểm $M$ và $N$ cho trước

$a)M(0;-1),N(3;0)$

$b)M(0;3),N(-1;0)$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Đường thẳng $ax+by=c$ đi qua điểm $M(x_0;y_0)$ $\iff a{x}_0+b{y}_0=c$

Lời giải:

$a)$ Vì đường thẳng $ax+by=c$ đi qua điểm $M(0;-1)$ nên 

$a.0+b.(-1)=c\iff b=-c$

Vì đường thẳng $ax+by=c$ đi qua điểm $N(3;0)$ nên 

$a.3+b.0=c\iff 3a=c\iff a=\frac{c}{3}$

Do đó đường thẳng phải tìm là $\frac{c}{3}x-cy=c$. Vì đường thẳng $MN$ được xác định nên $a,b$ không đồng thời bằng $0$, do đó $c\ne 0$.

Khi đó:  $\frac{c}{3}x-cy=c\iff \frac{1}{3}x-y=1\iff x–3y=3$

Vậy phương trình đường thẳng là: $x–3y=3$

$b)$ Vì đường thẳng $ax+by=c$ đi qua điểm $M(0;3)$ nên 

$a.0+b.3=c\iff 3b=c\iff b=\frac{c}{3}$

Vì đường thẳng $ax+by=c$ đi qua điểm $N(-1;0)$ nên 

$a.(-1)+b.0=c\iff a=-c$

Do đó đường thẳng phải tìm là: $-cx+\frac{c}{3}y=c$. Vì đường thẳng $MN$ được xác định nên $a,b$ không đồng thời bằng $0$, do đó $c\ne 0$.

Khi đó:  $-cx+\frac{c}{3}y=c\iff -x+\frac{1}{3}y=1\iff 3x-y=-3$

Vậy phương trình đường thẳng là: $3x-y=-3.$