Phương pháp giải tìm x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất chọn lọc

Tài liệu Tìm giá trị của x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất gồm các nội dung chính sau:
I. Phương pháp giải
– tóm tắt lý thuyết ngắn gọn.
II. Một số ví dụ
– gồm 3 ví dụ minh họa đa dạng của các dạng bài tập trên có lời giải chi tiết.
III. Bài tập vận dụng
– gồm 10 bài tập vận dụng giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các dạng bài tập Tìm giá trị của x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất.
Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

TÌM GIÁ TRỊ CỦA x ĐỂ BIỂU THỨC ĐẠT GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

A. Phương pháp giải

Cho biểu thức A. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

+) Biến đổi biểu thức A về dạng A = $X^2+m$(hoặc $\text{A}=–X^2+m$)

Khi đó, vì $X^2\ge 0$ với mọi x

Nên $X^2+m\ge m$ với mọi x

Dấu “=” xảy ra khi $X=0\Rightarrow x=x_0$

Do đó,  giá trị nhỏ nhất của A là m khi $x=x_0$.

(Hoàn toàn tương tự với việc tìm giá trị lớn nhất)

+) Biến đổi biểu thức A về tổng của hai (hoặc nhiều) số dương. Rồi áp dụng bất đẳng thức Cô – si hoặc các bất đẳng thức phụ khác để đánh giá biểu thức A.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho $A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1},$ điều kiện xác định $x\ge 0$.

a) Tìm giá trị lớn nhất của A.

b) Đặt $B=(x-3\sqrt{x}-4).A.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $B$.

c) Đặt $C=\sqrt{x}+1+A$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $C$.

Hướng dẫn giải

a) Có $A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}=1+\frac{1}{\sqrt{x}+1}$

Vì $x\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}+1\ge 1\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+1}\le 1\Rightarrow 1+\frac{1}{\sqrt{x}+1}\le 2\Rightarrow A\le 2$

Dấu “=” xảy ra khi x = 0

Vậy giá trị lớn nhất của  bằng 2 khi x=0.

Xem thêm