Giải SGK Toán 9 Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Giải bài tập Toán lớp 9 Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Trả lời câu hỏi giữa bài

Câu hỏi 1 trang 77 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Hãy giải thích vì sao các góc ở hình 23, 24, 25, 26 không phải là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

 

Lời giải:

Các hình trên không phải là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung vì:

Hình 23: Không có tia nào là tiếp tuyến của đường tròn

Hình 24: Không có tia nào là dây cung của đường tròn

Hình 25: Một tia không là tiếp tuyến của đường tròn

Hình 26: Đỉnh của góc không nằm trên đường tròn.

Câu hỏi 2 trang 77 SGK Toán lớp 9 Tập 2: a) Hãy vẽ góc BAx tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung trong ba trường hợp sau:

$\widehat{BAx}={30}^o, \widehat{BAx}={90}^o,$$\widehat{BAx}={120}^o$

b) Trong mỗi trường hợp ở câu a), hãy cho biết số đo của cung bị chắn.

Lời giải:

a)

b)

TH1: $\widehat{BAx}={30}^o$

Cung bị chắn là cung nhỏ AB

Do Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta có:

Xét tam giác OAB có:

OA = OB (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

Do đó, tam giác OAB cân tại O

Lại có: $\widehat{OAB}={60}^o$

Do đó, tam giác OAB là tam giác đều

$\Rightarrow \widehat{BOA}={60}^o$ (tính chất tam giác đều)

Mà góc BOA là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB

$\Rightarrow$O, A, B thẳng hàng

Do đó, AB là đường kính

Vậy cung bị chắn là nửa đường tròn có số đo là ${180}^0$

TH3: $\widehat{BAx}={120}^o$

Cung bị chắn là cung lớn AB

Do Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta có:

Xét tam giác OAB có:

OA = OB (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

Do đó, tam giác OAB cân tại O

$\Rightarrow \widehat{OAB}=\widehat{OBA}={30}^o$ (tính chất tam giác cân)

Mà:

Mà góc BOA là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB

Do đó, số đo cung lớn AB là:

 ${360}^o-\widehat{AOB}$$={360}^o-{120}^o={240}^o$

Câu hỏi 3 trang 79 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Hãy so sánh số đo của $\widehat{BAx}, \widehat{ACB}$ với số đo của cung AmB (h.28).

Lời giải:

Xét đường tròn (O) có:

Góc BAx là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung AB chắn cung AmB

$\Rightarrow \widehat{BAx}=\frac{1}{2}$sđ $\stackrel{⏜}{AmB}$  (1)

Góc BCA là góc nội tiếp đường tròn chắn cung AmB

$\Rightarrow \widehat{BCA}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{AmB}$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: $\widehat{BCA}=\widehat{BAx}$

Bài tập (trang 79)

Bài tập 27 trang 79 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy điểm P khác A và B trên đường tròn. Gọi T là giao điểm của AP với tiếp tuyến tại B của đường tròn. Chứng minh: $\widehat{APO}=\widehat{PBT}.$

Lời giải:

Xét đường tròn (O)

Có:

BT là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại P

PB là dây cung

$\Rightarrow \widehat{PBT}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

$\Rightarrow \widehat{PBT}=\frac{1}{2}$sđ$\stackrel{⏜}{PmB}$  (1)

Mặt khác ta có: Góc PAO là góc nội tiếp đường tròn chắn cung PmB

$\Rightarrow \widehat{PAO}=\frac{1}{2}$sđ$\stackrel{⏜}{PmB}$  (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: $\widehat{PBT}=\widehat{PAO}$ (3)

Xét tam giác OAP có:

OA = OP (cùng bằng bán kính đường tròn tâm O)

Do đó, tam giác OAP cân tại O

$\Rightarrow \widehat{APO}=\widehat{PAO}$ (4) (tính chất tam giác cân)

Từ (3) và (4) ta suy ra: $\widehat{APO}=\widehat{PBT}$ (đcpcm).

Bài tập 28 trang 79 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O’) cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai P. Tia PB cắt đường tròn (O’) tại Q. Chứng minh đường thẳng AQ song song với tiếp tuyến tại P của đường tròn (O).

Lời giải:

Nối A với B

Ta có:

Góc AQP là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AB của đường tròn (O’)

$\Rightarrow \widehat{AQP}=\frac{1}{2} sđ \stackrel{⏜}{AB}$  (1)

Góc PAB là góc tạo bởi tiếp tuyến PA và dây cung AB chắn cung nhỏ AB của đường tròn (O’)

$\Rightarrow \widehat{PAB}=\frac{1}{2} sđ \stackrel{⏜}{AB}$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: $\widehat{AQP}=\widehat{PAB}$ (3)

Mặt khác, ta lại có:

Góc PAB là góc nội tiếp chắn cung nhỏ PB của đường tròn (O)

Góc BPx là góc tạo bởi tiếp tuyến Px và dây cung PB chắn cung nhỏ PB của đường tròn (O)

Từ (4) và (5) ta suy ra: $\widehat{PAB}=\widehat{BPx}$ (6)

Từ (3) và (6) ta suy ra: $\widehat{AQP}=\widehat{BPx}$

Mà góc AQP và góc BPx là hai góc so le trong 

$\Rightarrow$AQ // Px.

Bài tập 29 trang 79 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến kẻ từ A đối với đường tròn (O’) cắt (O) tại C và đối với đường tròn (O) cắt (O’) tại D. Chứng minh: $\widehat{CBA}=\widehat{DBA}$.

Lời giải:

Xét đường tròn (O’) có:

Góc CAB là góc tạo bởi tia tiếp tuyến CA và dây cung AB chắn cung AmB của đường tròn (O’)

Góc ADB là góc nội tiếp chắn cung AmB của đường tròn (O’)

Từ (1) và (2) ta suy ra: $\widehat{CAB}=\widehat{ADB}$

Xét đường tròn (O) có:

Góc ACB là góc nội tiếp đường tròn chắn cung AnB của đường tròn (O)

Góc ADB là góc tạo bởi tiếp tuyến AD và dây cung AB chắn cung AnB của đường tròn (O)

Từ (3) và (4) ta suy ra: $\widehat{ACB}=\widehat{ADB}$

Xét tam giác CBA và tam giác ABD có:

$\widehat{CAB}=\widehat{ADB}$ (chứng minh trên)

$\widehat{ACB}=\widehat{ADB}$ (chứng minh trên)

Do đó,  tam giác CBA đồng dạng với tam giác ABD  (góc – góc)

$\Rightarrow \widehat{DBA}=\widehat{CBA}$ (đcpcm).

Bài tập 30 trang 79 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cụ thể là:

Nếu góc  (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB) có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn (h.29).

Gợi ý: có thể chứng minh trực tiếp hoặc chứng minh bằng phản chứng.

Lời giải:

Kẻ OH vuông góc với AB tại H và cắt (O) tại C

Do đó, H là trung điểm của AB và C là điểm chính giữa của cung AB

Theo giả thiết ta có:

Góc $O_1$ là góc ở tâm chắn cung nhỏ AC nên ta có: 

Mà C là điểm chính giữa của cung AB nên ta có:

Từ (1) và (2) ta suy ra: $\widehat{BAx}=\widehat{O_1}$

Xét tam giác OHA vuông tại H

Ta có: $\widehat{O_1}+\widehat{OAB}={90}^o$

Mà: $\widehat{BAx}=\widehat{O_1}$ (chứng minh trên)

Do đó, Ax là tiếp tuyến của (O) tại A.

Luyện tập trang 79, 80

Bài tập 31 trang 79 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC = R . Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C cắt nhau ở A. Tính $\widehat{ABC}, \widehat{BAC}$.

Lời giải:

Xét tam giác OBC có:

OB = OC = BC = R

Do đó, tam giác OBC là tam giác đều

$\Rightarrow \widehat{BOC}={60}^o$

Mà góc BOC là góc ở tâm chắn cung nhỏ BC của đường tròn (O)

Ta có: $\widehat{ABC}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến BA và dây cung BC chắn cung nhỏ BC

(định lý về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

Xét tứ giác ABOC có:

$\widehat{BOC}={60}^o$ (chứng minh trên)

$\widehat{ABO}={90}^o$ (do AB là tiếp tuyến của (O) tại B)

$\widehat{ACO}={90}^o$ (do AC là tiếp tuyến của (O) tại C)

$\widehat{BAC}+\widehat{BOC}+$$\widehat{ABO}+\widehat{ACO}={360}^o$ (tổng bốn góc trong một tứ giác)

$\Rightarrow \widehat{BAC}={360}^o-\widehat{BOC}$$-\widehat{ABO}-\widehat{ACO}$

$={360}^o-{60}^o-{90}^o-{90}^o={120}^o$

Bài tập 32 trang 80 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Một tiếp tuyến của đường tròn tại P cắt đường thẳng AB tại T (điểm B nằm giữa O và T). Chứng minh rằng: $\widehat{BTP}+2.\widehat{TPB}={90}^o$.

Lời giải:

Góc TPB là góc tạo bởi tiếp tuyến PT và dây cung PB chắn cung nhỏ PB của đường tròn (O)

Lại có: Góc BOP là góc nội tiếp chắn cung PB của đường tròn (O) nên 

Từ (1) và (2) ta suy ra: $\widehat{BOP}=2\widehat{TPB}$

PT là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại P nên OP vuông góc với PT tại P $\Rightarrow \widehat{OPT}={90}^o$

Xét tam giác TPO có: $\widehat{OPT}={90}^o$

Do đó, tam giác TPO vuông tại P

Bài tập 33 trang 80 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Cho A, B, C là ba điểm trên một đường tròn, At là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Đường thẳng song song với At cắt AB tại M và cắt AC tại N. Chứng minh AB.AM = AC.AN.

Lời giải:

Vì: d // At (gt)

$\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{MAt}$ (hai góc so le trong) (1)

Ta có:

Góc BAt là góc tạo bởi tiếp tuyến At và dây cung AB chắn cung nhỏ AB của đường tròn (O)

Góc ACB là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AB của đường tròn (O)

Từ (2) và (3) ta suy ra: $\widehat{BAt}=\widehat{ACB}$ (4)

Từ (1) và  (4) ta suy ra: $\widehat{AMN}=\widehat{ACB}$

Xét tam giác AMN và tam giác ACB có:

Góc A chung

$\widehat{AMN}=\widehat{ACB}$ (chứng minh trên)

Do đó, tam giác AMN đồng dạng với tam giác ACB (góc – góc)

Bài tập 34 trang 80 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB. Chứng minh: $M{T}^2=MA.MB$.

Lời giải:

Xét đường tròn (O)

Góc TBA là góc nội tiếp chắn cung AT của đường tròn (O)

Góc ATM là góc tạo bởi tiếp tuyến TM và dây cung AT chắn cung nhỏ AT

Từ (1) và (2) ta suy ra: $\widehat{TBA}=\widehat{ATM}$

Xét tam giác BMT và tam giác TMA có:

Góc M chung

$\widehat{TBM}=\widehat{ATM}$

Do đó, tam giác BMT đồng dạng với tam giác TMA (góc – góc)

Bài tập 35 trang 80 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Trên bờ biển có một ngọn hải đăng cao 40m. Với khoảng cách bao nhiêu kilomet thì người quan sát trên tàu bắt đầu trong thấy ngọn đèn này, biết rằng mắt người quan sát ở độ cao 10m so với mực nước biển và bán kính Trái Đất gần bằng 6400 km (h.30) ?

Hướng dẫn: Áp dụng kết quả của bài tập 34.

Lời giải:

Đỉnh ngọn hải đăng là điểm M, vị trí mà người quan sát trên tàu là điểm M’.

O là tâm trái đất, M’A’ là khoảng cách từ người quan sát trên tàu tới mặt nước biển

$\Rightarrow M‘A‘=10m=0,01km$

MA là độ cao của ngọn hải đăng

$\Rightarrow MA=40m=0,04km$

MT là tiếp tuyến của đường tròn (O), MAB là cát tuyến của (O), theo kết quả bài 34 ta có:

$M{T}^2=MA.MB$

Mặt khác, ta có:

Ta lại có: M’T là tiếp tuyến của đường tròn (O), M’A’B’ là cát tuyến của (O), theo kết quả bài 34 ta có:

$M‘T^2=M‘A‘.M‘B‘$

Mà:

Do đó, $MM‘=MT+M‘T\approx$$23+11\approx 34$ (km).