Giải SGK Toán 9 Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây

Giải bài tập Toán lớp 9 Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây

Trả lời câu hỏi giữa bài

Câu hỏi 1 trang 71 SGK Toán lớp 9 Tập 2:Hãy chứng minh định lí:

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

– Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

– Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

Hướng dẫn: Chứng minh tam giác OAB và tam giác OCD bằng nhau  (h.10)

Lời giải

a) Chứng minh: Cung nhỏ AB bằng cung nhỏ CD thì dây AB bằng dây CD

Theo giả thiết ta có: Cung nhỏ AB bằng cung nhỏ CD

Xét tam giác OAB và tam giác OCD có:

OA = OB = OC = OD (cùng bằng bán kính đường tròn tâm O)

$\widehat{AOB}=\widehat{COD}$ (chứng minh trên)

Do đó, tam giác OAB bằng tam giác OCD (cạnh – góc – cạnh)

$\Rightarrow$ AB = CD

b) Chứng minh: Dây AB bằng dây CD thì cung nhỏ AB bằng cung nhỏ CD

Xét tam giác OAB và tam giác OCD có:

OA = OB = OC = OD (cùng bằng bán kính đường tròn tâm O)

AB = CD (gt)

Do đó, tam giác OAB bằng tam giác OCD (cạnh – cạnh – cạnh)

Do đó, cung nhỏ AB bằng cung nhỏ CD.

Câu hỏi 2 trang 71 SGK Toán lớp 9 Tập 2:Xem hình 11. Hãy viết giả thiết và kết luận của định lý. (Không yêu cầu học sinh chứng minh định lý này).

Lời giải:

a) Giả thiết:

A, B, C, D nằm trên đường tròn (O)

Cung nhỏ AB lớn hơn cung nhỏ CD

Kết luận:

AB > CD

b) Giả thiết:

A, B, C, D nằm trên đường tròn (O)

AB > CD

Kết luận:

Cung nhỏ AB lớn hơn cung nhỏ CD.

Bài tập (trang 71; 72)

Bài tập 10 trang 71 SGK Toán lớp 9 Tập 2: a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R = 2cm. Nêu cách vẽ cung AB có số đo bằng ${60}^0$. Hỏi dây AB dài bao nhiêu xentimet ?

b) Làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên hình 12 ?

Lời giải:

a)

Cách vẽ:

+ Dùng compa vẽ đường tròn tâm O, bán kính R = 2cm.

+ Trên đường tròn lấy điểm A. Dùng dụng cụ đo, vẽ góc  (B nằm trên đường tròn (O))

+ Khi đó ta được cung nhỏ AB có: sđ $\stackrel{⏜}{AB}=\widehat{AOB}=60°$

Tính độ dài dây AB:

Xét tam giác AOB có:

OA = OB (cùng bằng bán kính R)

$\widehat{AOB}={60}^o$

Do đó, tam giác AOB đều

$\Rightarrow AB=OA=OB=R=2$ (cm)

b)

Cách dựng:

+ Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R.

+ Trên đường tròn tâm O, lấy điểm A.

+ Vẽ cung tròn tâm A, bán kính R cắt đường tròn tại B và C.

+ Vẽ cung tròn tâm B và C bán kính R cắt đường tròn tâm O tại D và E.

+ Vẽ cung tròn tâm E bán kính R cắt đường tròn tại F.

Bài tập 11 trang 72 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Kẻ các đường kính AOC, AO’D. Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường tròn (O’).

a) So sánh các cung nhỏ BC, BD.

b) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa của cung EBD (tức là điểm B chia cung EBD thành hai cung bằng nhau: $\stackrel{⏜}{BE}=\stackrel{⏜}{BD}$).

Lời giải:

a)

Vì (O) và (O’) giao nhau tại A và B nên  $OO‘\perp AB$ (1)

Xét tam giác ACD có:

O là trung điểm của AC (tâm – đường kính)

O’ là trung điểm của AD (tâm – đường kính)

Do đó, OO’ là đường trung bình

$\Rightarrow OO‘\parallel CD$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra $AB\perp CD$ tại B

Xét tam giác ACD có:

AC = AD (do đường tròn (O) bằng đường tròn (O’))

Do đó, tam giác ACD cân tại A

Ta có: $AB\perp CD$ tại B nên AB là đường cao và cũng là đường trung tuyến.

$\Rightarrow$ BC = BD

Mà đường tròn (O) và đường tròn (O’) bằng nhau

Do đó, cung nhỏ BC bằng cung nhỏ BD (theo định lý liên hệ cung và dây)

b) Xét đường tròn (O’)

Có: A, E, D cùng nằm trên (O’) và AD là đường kính

Do đó, tam giác AED vuông tại E

Xét tam giác DEC vuông tại E

Có: B là trung điểm của CD

Do đó, EB là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

$\Rightarrow EB=BD=BC=\frac{1}{2}DC$

Do đó, cung nhỏ EB bằng cung nhỏ BD (theo định lí liên hệ cung và dây)

Vậy điểm B là điểm chính giữa của cung EBD.

Bài tập 12 trang 72 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD = AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH, OK với BC và BD (H $\in$ BC, K $\in$ BD).

a) Chứng minh rằng OH > OK.

b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC có:

BC < AB + AC (theo bất đẳng thức tam giác)

Mà AD = AC (gt)

$\Rightarrow$ BC < AB + AD

$\Rightarrow$ BC < BD

Mà OH là khoảng cách từ O đến dây BC (do OH vuông góc với BC tại H), OK là khoảng cách từ O đến dây BD (do OK vuông góc với BD tại K)

$\Rightarrow$ OH > OK

b) Theo phần (a) ta có: BD > BC

Do đó, cung nhỏ BD lớn hơn cung nhỏ BC (theo định lý liên hệ cung và dây).

Bài tập 13 trang 72 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

Lời giải

TH1: Tâm O nằm ngoài hai dây cung song song.

Kẻ hai dây cung AB // CD

Kẻ đường kính MN // AB // CD

Do MN // AB nên ta có:

$\widehat{OAB}=\widehat{AOM}$ (1)  (hai góc so le trong)

$\widehat{OBA}=\widehat{BON}$ (2) (hai góc so le trong)

Xét tam giác OAB có:

OA = OB (cùng bằng bán kính đường tròn tâm O)

Do đó, tam giác OAB cân tại O

$\Rightarrow \widehat{OAB}=\widehat{OBA}$  (3) (tính chất tam giác cân)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra: $\widehat{AOM}=\widehat{BON}$

Mà ta có:

Góc AOM chắn cung nhỏ MCA

Góc BON chắn cung nhỏ NDB

Ta có: MN // CD

$\Rightarrow \widehat{MOC}=\widehat{OCD}$ (5) (hai góc so le trong) ; $\widehat{NOD}=\widehat{ODC}$ (6) (hai góc so le trong)

Xét tam giác OCD có:

OC = OD (cùng bằng bán kính đường tròn tâm O)

Do đó, tam giác OCD cân tại O

$\Rightarrow \widehat{OCD}=\widehat{ODC}$ (7) (tính chất tam giác cân)

Từ (5), (6), (7) ta suy ra: $\widehat{MOC}=\widehat{NOD}$

Mà ta có:

Góc MOC chắn cung nhỏ MC

Góc NOD chắn cung nhỏ ND

Mặt khác, ta có: C nằm trên cung nhỏ MCA và D nằm trên cung nhỏ NDB (9)

Từ (4), (8), (9) ta suy ra:

Vậy hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

TH2: O nằm giữa hai dây cung song song

Kẻ hai dây cung AB // CD

Kẻ đường kính MN // AB // CD

Do MN // AB nên ta có:

$\widehat{MOA}=\widehat{OAB}$ (1) (hai góc so le trong)

$\widehat{OBA}=\widehat{BON}$ (2) (hai góc so le trong)

Xét tam giác OAB có:

OA = OB (cùng bằng bán kính đường tròn tâm O)

Do đó, tam giác OAB cân tại O

$\Rightarrow \widehat{OAB}=\widehat{OBA}$  (3) (tính chất tam giác cân)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra:  $\widehat{MOA}=\widehat{BON}$

Mà ta có:

Góc MOA chắn cung nhỏ AM

Góc BON chắn cung nhỏ BN

Do  MN // CD nên ta có:

$\widehat{MOC}=\widehat{OCD}$ (5) ( hai góc so le trong)

$\widehat{NOD}=\widehat{ODC}$ (6) ( hai góc so le trong)

Xét tam giác OCD có:

OC = OD (cùng bằng bán kính đường tròn tâm O)

Do đó, tam giác OCD cân tại O

$\Rightarrow \widehat{OCD}=\widehat{ODC}$ (7) (tính chất tam giác cân)

Từ (5), (6), (7) ta suy ra: $\widehat{MOC}=\widehat{NOD}$

Mà ta có:

Góc MOC chắn cung nhỏ MC

Góc NOD chắn cung nhỏ DN

Mặt khác, ta có: M nằm trên cung nhỏ AC, N nằm trên cung nhỏ BD (9)

Từ (4), (8), (9) ta suy ra:

 Vậy hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

Bài tập 14 trang 72 SGK Toán lớp 9 Tập 2: a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.

b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

Lời giải:

a)

Mệnh đề: Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.

Chứng minh:

Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và MN là đường kính.

Do M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB nên ta có:

$\stackrel{⏜}{AM}=\stackrel{⏜}{MB}$

Mà dây MA chắn cung nhỏ AM, dây MB chắn cung nhỏ MB

 MA = MB (1)

Ta lại có: OA = OB (2) (cùng bằng bán kính đường tròn tâm O)

Từ (1) và (2) ta suy ra OM là đường trung trực của AB

Hay MN là đường trung trực của AB

Do đó , MN đi qua trung điểm của AB (đcpcm)

Mệnh đề đảo: Đường kính đi qua trung điểm của dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.

Chứng minh:

Giả sử đường kính MN đi qua trung điểm H của dây AB

Xét tam giác OAB có:

OA = OB (cùng bằng bán kính đường tròn tâm O)

Do đó, tam giác OAB cân tại O

Có: H là trung điểm của AB

Do đó, OH là đường trung tuyến và cũng là đường phân giác của góc AOB

Mà ta có:

Góc AOM chắn cung nhỏ AM

Góc BOM chắn cung nhỏ BM

Do đó, M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB (đcpcm)

Điều này chỉ đúng khi dây AB không đi qua O

Vậy phải thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng là: Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.

b)

Mệnh đề: Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy.

Giả sử đường kính MN đi qua M là điểm chính giữa cung AB

Vì M là điểm chính giữa cung AB nên ta có:

$\stackrel{⏜}{AM}=\stackrel{⏜}{MB}$

Mà dây MA chắn cung nhỏ AM, dây MB chắn cung nhỏ MB

 MA = MB (1)

Ta lại có: OA = OB (2) (cùng bằng bán kính đường tròn tâm O)

Từ (1) và (2) ta suy ra OM là đường trung trực của AB

Hay MN là đường trung trực của AB

$\Rightarrow MN\perp AB$  (đcpcm)

Mệnh đề đảo: Đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua điểm chính giữa của cung ấy.

Chứng minh:

Giả sử đường kính MN vuông góc với dây AB tại H

Xét tam giác OAB có:

OA = OB (cùng bằng bán kính đường tròn tâm O)

Do đó, tam giác OAB cân tại O

Có: OH vuông góc với AB tại H (do MN vuông góc với dây AB tại H)

Do đó, OH là đường cao và cũng là đường phân giác

Mà ta có:

Góc AOM chắn cung nhỏ AM

Góc BOM chắn cung nhỏ BM

Do đó, M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB (đcpcm)