Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau

Giải bài tập Toán lớp 9 Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây

Bài tập 13 trang 72 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

Lời giải

TH1: Tâm O nằm ngoài hai dây cung song song.

Tài liệu VietJack

Kẻ hai dây cung AB // CD

Kẻ đường kính MN // AB // CD

Do MN // AB nên ta có:

$\hat{O A B} = \hat{A O M}$ (1) (hai góc so le trong)

$\hat{O B A} = \hat{B O N}$ (2) (hai góc so le trong)

Xét tam giác OAB có:

OA = OB (cùng bằng bán kính đường tròn tâm O)

Do đó, tam giác OAB cân tại O

$\Rightarrow \hat{O A B} = \hat{O B A}$ (3) (tính chất tam giác cân)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra: $\hat{A O M} = \hat{B O N}$

Mà ta có:

Góc AOM chắn cung nhỏ MCA

Góc BON chắn cung nhỏ NDB

Tài liệu VietJack

Ta có: MN // CD

$\Rightarrow \hat{M O C} = \hat{O C D}$ (5) (hai góc so le trong) ; $\hat{N O D} = \hat{O D C}$ (6) (hai góc so le trong)

Xét tam giác OCD có:

OC = OD (cùng bằng bán kính đường tròn tâm O)

Do đó, tam giác OCD cân tại O

$\Rightarrow \hat{O C D} = \hat{O D C}$ (7) (tính chất tam giác cân)

Từ (5), (6), (7) ta suy ra: $\hat{M O C} = \hat{N O D}$

Mà ta có:

Góc MOC chắn cung nhỏ MC

Góc NOD chắn cung nhỏ ND

Tài liệu VietJack

Mặt khác, ta có: C nằm trên cung nhỏ MCA và D nằm trên cung nhỏ NDB (9)

Từ (4), (8), (9) ta suy ra:

Tài liệu VietJack

Vậy hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

TH2: O nằm giữa hai dây cung song song

Tài liệu VietJack

Kẻ hai dây cung AB // CD

Kẻ đường kính MN // AB // CD

Do MN // AB nên ta có:

$\hat{M O A} = \hat{O A B}$ (1) (hai góc so le trong)

$\hat{O B A} = \hat{B O N}$ (2) (hai góc so le trong)

Xét tam giác OAB có:

OA = OB (cùng bằng bán kính đường tròn tâm O)

Do đó, tam giác OAB cân tại O

$\Rightarrow \hat{O A B} = \hat{O B A}$ (3) (tính chất tam giác cân)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra: $\hat{M O A} = \hat{B O N}$

Mà ta có:

Góc MOA chắn cung nhỏ AM

Góc BON chắn cung nhỏ BN

Tài liệu VietJack

Do MN // CD nên ta có:

$\hat{M O C} = \hat{O C D}$ (5) ( hai góc so le trong)

$\hat{N O D} = \hat{O D C}$ (6) ( hai góc so le trong)

Xét tam giác OCD có:

OC = OD (cùng bằng bán kính đường tròn tâm O)

Do đó, tam giác OCD cân tại O

$\Rightarrow \hat{O C D} = \hat{O D C}$ (7) (tính chất tam giác cân)

Từ (5), (6), (7) ta suy ra: $\hat{M O C} = \hat{N O D}$

Mà ta có:

Góc MOC chắn cung nhỏ MC

Góc NOD chắn cung nhỏ DN

Tài liệu VietJack

Mặt khác, ta có: M nằm trên cung nhỏ AC, N nằm trên cung nhỏ BD (9)

Từ (4), (8), (9) ta suy ra:

Tài liệu VietJack

Vậy hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy