Giải SGK Toán 9 Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung

Giải bài tập Toán lớp 9 Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung

Trả lời câu hỏi giữa bài

Câu hỏi 1 trang 68 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Hãy vẽ một đường tròn rồi vẽ hai cung bằng nhau.

Lời giải:

Kẻ AC, BD là hai đường kính bất kì của đường tròn (O)

Ta có AC giao BD tại O (đường kính giao nhau tại tâm)

$\Rightarrow \widehat{AOB}=\widehat{DOC}$  (hai góc đối đỉnh)

Mà góc AOB chắn cung AmB và góc DOC chắn cung DnC

Do đó, số đo cung AmB bằng số đo cung DnC

$\Rightarrow \stackrel{⏜}{AmB}=\stackrel{⏜}{DnC}$.

Câu hỏi 2 trang 68 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Hãy chứng minh đẳng thức sđ $\stackrel{⏜}{\mathrm{AB}}$ = sđ $\stackrel{⏜}{\mathrm{AC}}$ + sđ $\stackrel{⏜}{CB}$ trong trường hợp điểm C nằm trên cung nhỏ AB (h.3).

Gợi ý: Chuyển số đo cung sang số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Lời giải:

Vì C nằm trên cung nhỏ AB nên OC nằm giữa OA và OB

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{AOB}}=\widehat{\mathrm{AOC}}+\widehat{\mathrm{BOC}}$ (1)

Mà góc AOC là góc ở tâm chắn cung AC, BOC là góc ở tâm chắn cung BC, AOB là góc ở tâm chắn cung AB

 sđ  $\stackrel{⏜}{AC}=\widehat{AOC}$, sđ  $\stackrel{⏜}{CB}=\widehat{BOC}$, sđ $\stackrel{⏜}{AB}=\widehat{AOB}$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra sđ$\stackrel{⏜}{AB}$  = sđ  $\stackrel{⏜}{AC}$+ sđ $\stackrel{⏜}{CB}$.

Bài tập (trang 68; 69)

Bài tập 1 trang 68 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một góc ở tâm có số đo là bao nhiêu độ vòa những thời điểm sau:

a) 3 giờ;    

b) 5 giờ;    

c) 6 giờ;

d) 12 giờ;    

e) 20 giờ ?

Lời giải:

Trên mặt đồng hồ người ta chia thành 12 phần bằng nhau. Góc ở tâm tạo bởi hai kim giữa hai số liền nhau là: ${360}^o:12={30}^o$

a) Thời điểm 3 giờ (xem hình a) thì góc ở tâm có số đo là: ${3.30}^o={90}^o$

b) Thời điểm 5 giờ (xem hình b) thì góc ở tâm có số đo là:  ${5.30}^o={150}^o$

c) Thời điểm 6 giờ (xem hình c) thì góc ở tâm có số đo là: ${6.30}^o={180}^o$

d) Thời điểm 12 giờ (xem hình d) thì góc ở tâm có số đo là: $0^o$ (do hai kim trùng nhau)

e) Thời điểm 20 giờ (xem hình e) thì góc ở tâm có số đo là:${4.30}^o={120}^o$

Bài tập 2 trang 69 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Cho hai đường thẳng xy và st cắt nhau tại O, trong các góc tạo thành có góc ${40}^o$. Vẽ một đường tròn tâm O. Tính số đo của các góc ở tâm xác định bởi hai trong bốn tia gốc O.

Lời giải:

Xét đường tròn (O)

Ta có: $\widehat{xOs}=\widehat{tOy}={40}^o$ (hai góc đối đỉnh)

Lại có: $\widehat{xOs}+\widehat{xOt}={180}^o$ (hai góc kề bù)

$\widehat{xOt}={180}^o-\widehat{xOs}$$={180}^o-{40}^o={140}^o$

Mà: $\widehat{sOy}=\widehat{xOt}={140}^o$ (hai góc đối đỉnh)

Vậy: $\widehat{xOt}=\widehat{sOy}={140}^o$; $\widehat{xOs}=\widehat{tOy}={40}^o$

Và $\widehat{xOy}=\widehat{sOt}={180}^o$.

Bài tập 3 trang 69 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Trên các hình 5, 6 hãy dùng dụng cụ đo góc để tìm số đo cung AmB. Từ đó, tính số đo cung AnB tương ứng.

Lời giải:

Nối O với A và O với B

Xét hình 5

Sử dụng dụng cụ đo, ta đo được số đo góc AOB

$\widehat{AOB}={125}^o$

Mà góc AOB là góc ở tâm chắn cung AmB

$\Rightarrow$ sđ $\stackrel{⏜}{AmB}={125}^o$

Từ đó, ta suy ra số đo của cung AnB là: sđ $\stackrel{⏜}{AnB}={360}^o-{125}^o={235}^o$

Xét hình 6

Sử dụng dụng cụ đo, ta đo được số đo góc AOB

$\widehat{AOB}={65}^o$

Mà góc AOB là góc ở tâm chắn cung AmB

$\Rightarrow$ sđ $\stackrel{⏜}{AmB}={65}^o$

Từ đó, ta suy ra số đo của cung AnB là: sđ $\stackrel{⏜}{AnB}={360}^o-{65}^o={295}^o$

Luyện tập trang 69, 70

Bài tập 4 trang 69 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Xem hình 7. Tính số đo của góc ở tâm AOB và số đo cung lớn AB.

Lời giải:

Xét tam giác OAT vuông tại A

Có: OA = TA

Do đó, tam giác OAT vuông cân tại A

Mà góc AOB là góc ở tâm chắn cung AmB

Bài tập 5 trang 69 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại M. Biết $\widehat{AMB}={35}^o$.

a) Tính số đo của góc ở tâm tạo bởi bán kính OA, OB.

b) Tính số đo mỗi cung AB (cung lớn và cung nhỏ).

Lời giải:

a)

Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại M nên ta có: $\widehat{OAM}=\widehat{OBM}={90}^o$

Xét tứ giác MAOB có:

b)

Ta có: Góc AOB là góc ở tâm chắn cung AmB

Bài tập 6 trang 69 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Cho tam giác đều ABC. Gọi O là tâm của đường tròn đi qua đỉnh A, B, C.

a) Tính số đo các góc ở tâm tạo bởi hai trong ba bán kính OA, OB, OC.

b) Tính số đo các cung tạo bởi hai trong ba điểm A, B, C.

Lời giải:

a)

Các góc ở tâm tạo bởi hai trong ba bán kính OA, OB, OC là: $\widehat{BOA},\widehat{BOC},\widehat{AOC}$

Vì tam giác ABC đều nên $\widehat{ABC}=\widehat{BCA}=\widehat{CAB}={60}^o$

O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên O là điểm giao nhau của ba đường trung tuyến mà tam giác ABC là tam giác đều nên O cũng là điểm giao nhau của ba đường phân giác trong tam giác ABC.

$\Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{A_2}=\widehat{B_1}=\widehat{B_2}$

$=\widehat{C_1}=\widehat{C_2}=\frac{1}{2}{60}^o={30}^o$

Xét tam giác AOB có: $\widehat{A_1}=\widehat{B_1}={30}^o$

Mà:

$\widehat{AOB}+\widehat{A_1}+\widehat{B_1}={180}^o\Rightarrow \widehat{AOB}={180}^o-(\widehat{A_1}+\widehat{B_1}) ={180}^o-({30}^o+{30}^o) ={120}^o$

Xét tam giác BOC có: $\widehat{B_2}=\widehat{C_2}={30}^o$

Mà:

 $\widehat{BOC}+\widehat{B_2}+\widehat{C_2}={180}^o\Rightarrow \widehat{BOC}={180}^o-(\widehat{B_2}+\widehat{C_2}) ={180}^o-({30}^o+{30}^o) ={120}^o$

Xét tam giác COA có:

$\widehat{A_2}=\widehat{C_1}={30}^o$

Mà: 

$\widehat{COA}+\widehat{C_1}+\widehat{A_2}={180}^o\Rightarrow \widehat{COA}={180}^o-(\widehat{A_2}+\widehat{C_1}) ={180}^o-({30}^o+{30}^o) ={120}^o$

b)

Ta có: $\widehat{AOB}=\widehat{AOC}=\widehat{BOC}={120}^o$

Do đó, số đo cung nhỏ AC bằng số đo cung nhỏ BC bằng số đo cung nhỏ AB và cùng bằng ${120}^o$

Do đó, số đo cung lớn AC bằng số đo cung lớn BC bằng số đo cung lớn AB và cùng bằng ${360}^o-{120}^o={240}^o$.

Bài tập 7 trang 69 SGK Toán lớp 9 Tập 2:Cho hai đường tròn cùng tâm O với bán kính khác nhau. Hai đường thẳng đi qua O cắt hai đường tròn đó tại các điểm A, B, C, D, M, N, P, Q (h.8).

a) Em có nhận xét gì về số đo của các cung nhỏ AM, CP, BN, DQ?

b) Hãy nêu tên các cung nhỏ bằng nhau.

c) Hãy nêu tên hai cung lớn bằng nhau.

Lời giải:

a)

Xét các cung nhỏ AM, CP, BN, DQ

Ta có:

Mà $\widehat{POC}=\widehat{BON}$ (hai góc đối đỉnh)

b)

Xét đường tròn (O; OB)

Ta có:

$\widehat{BON}=\widehat{POC}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, số đo của cung nhỏ BN bằng số đo của cung nhỏ PC

Hay cung nhỏ BN bằng cung nhỏ PC

$\widehat{BOP}=\widehat{NOC}$

Do đó, số đo của cung nhỏ BP bằng số đo của cung nhỏ NC

Hay cung nhỏ BP bằng cung nhỏ NC

Xét đường tròn (O; OA)

Ta có:

$\widehat{AOM}=\widehat{QOD}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, số đo cung nhỏ AM bằng số đo cung nhỏ QD

Hay cung nhỏ AM bằng cung nhỏ QD

$\widehat{AOQ}=\widehat{MOD}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, số đo cung nhỏ AQ bằng số đo cung nhỏ MD

Hay cung nhỏ AQ bằng cung nhỏ MD

c)

Xét đường tròn (O; OB)

Ta có:

Cung nhỏ BP bằng cung nhỏ NC

Do đó, cung lớn BP bằng cung lớn NC

Cung nhỏ BN bằng cung nhỏ PC

Do đó, cung lớn BN bằng cung lớn PC

Xét đường tròn (O; OA)

Ta có:

Cung nhỏ AM bằng cung nhỏ QD

Do đó, cung lớn AM bằng cung lớn QD

Cung nhỏ AQ bằng cung nhỏ MD

Do đó, cung lớn AQ bằng cung lớn MD.

Bài tập 8 trang 70 SGK Toán lớp 9 Tập 2:Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao ?

a) Hai cung bằng nhau thì số đo bằng nhau.

b) Hai cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau.

c) Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn là cung lớn.

d) Trong hai cung trên một đường tròn, cung nào có số đo nhỏ hơn thì nhỏ hơn.

Lời giải:

a) Đúng. Vì khi ta nói hai cung bằng nhau, nghĩa là hai cung này so sánh được (tức chúng cùng nằm trong một đường tròn hoặc trong hai đường tròn bằng nhau). Do đó, theo cách so sánh hai cung đã biết thì hai cung bằng nhau thì số đo bằng nhau.

b) Sai. Vì không rõ hai cung nằm trên một đường tròn hay trên hai đường tròn bằng nhau không.

c) Sai. Vì không rõ hai cung nằm trên một đường tròn hay trên hai đường tròn bằng nhau không.

d) Đúng. Vì khi ta nói hai cung bằng nhau, nghĩa là hai cung này so sánh được (tức chúng cùng nằm trong một đường tròn hoặc trong hai đường tròn bằng nhau). Do đó, theo cách so sánh hai cung đã biết thì hai cung bằng nhau thì số đo bằng nhau.

Bài tập 9 trang 70 SGK Toán lớp 9 Tập 2:Trên đường tròn tâm O lấy ba điểm A, B, C sao cho góc $\widehat{AOB}=100°$, sđ $\stackrel{⏜}{AC}=45°$. Tính số đo của cung nhỏ BC và cung lớn BC. (Xét cả hai trường hợp: điểm C nằm trên cung nhỏ AB, điểm C nằm trên cung lớn AB).

Lời giải:

TH1: Điểm C nằm trên cung nhỏ AB

Theo đề bài, ta có: 

Mà:

Do đó, số đo cung nhỏ BC là ${55}^0$

Số đo cung lớn BC là: $360°-55°=305°$

TH2: Điểm C nằm trên cung lớn AB

Theo đề bài, ta có: 

Mà

Do đó, số đo cung nhỏ BC là ${145}^0$

Số đo cung lớn BC là: $360°-145°=215°$