SBT Toán 9 Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung | Giải SBT Toán lớp 9

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung

Bài 1 trang 99 SBT Toán 9 tập 2:

$a)$ Từ $1$ giờ đến $3$ giờ kim giờ quay được $1$ góc ở tâm bằng bao nhiêu độ$?$

$b)$ Cũng hỏi như thế từ $3$ giờ đến $6$ giờ$?$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Góc ở có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Lời giải:

Vì trên đồng hồ có 12 chữ số nên mặt đồng hồ được chia ra thành $12$ cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn tương ứng với góc ở tâm bằng ${360}^0:12={30}^o.$

$a)$ Từ $1$ giờ đến $3$ giờ thì kim giờ quay được một góc ở tâm bằng ${2.30}^0={60}^o.$

$b)$ Từ $3$ giờ đến $6$ giờ thì kim giờ quay được một góc ở tâm bằng ${3.30}^0={90}^o.$

Bài 2 trang 99 SBT Toán 9 tập 2: Một đồng hồ chạy chậm $25$ phút. Hỏi để chỉnh lại đúng giờ thì phải quay kim phút một góc ở tâm là bao nhiêu độ$?$
Phương pháp giải:
Ta sử dụng kiến thức: Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Lời giải:

Một vòng quay của kim phút là 60 phút tương ứng với 360°. Như vậy mỗi phút tương ứng với ${360}^0:60=6^0.$ Đồng hồ chạy chậm 25 phút thì phải quay kim phút một góc ở tâm là $6^0.25={150}^0.$

Bài 3 trang 99 SBT Toán 9 tập 2: Hãy xếp một tờ giấy để cắt thành một hình ngôi sao năm cánh đều nhau.

Muốn cắt chỉ bằng một nhát kéo thì phải gấp tờ giấy đó thành một hình có góc ở tâm bằng bao nhiều độ$?$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm. 

Lời giải:

Đầu tiên ta gấp đôi tờ giấy, ta chọn điểm làm tâm rồi chia tờ giấy ra thành $5$ phần với $5$ góc ở tâm bằng nhau, mỗi góc bằng ${180}^o:5={36}^o.$

Bài 4 trang 99 SBT Toán 9 tập 2: Hai tiếp tuyến tại $A,B$ của đường tròn $(O,R)$ cắt nhau tại M. Biết $OM=2R.$

Tính số đo góc ở tâm $\widehat{AOB}$$?$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

+) Nếu một đường thẳng là tiếp điểm của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

Lời giải:

Xét đường trong $(O)$ có: $MA\mathrm{\perp }OA$ (tính chất tiếp tuyến)

Trong $∆MAO$ có $\widehat{OAM}={90}^0,$ ta có:

$\cos \widehat{AOM}=\frac{OA}{OM}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{AOM}={60}^0$

Lại có $OM$ là tia phân giác của góc $AOB$ (tính chất $2$ tiếp tuyến MA, MB cắt nhau nhau tại M)

Suy ra $\widehat{AOM}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}$ 

$\Rightarrow \widehat{AOB}=2\widehat{AOM}={120}^0$

Bài 5 trang 99 SBT Toán 9 tập 2: Cho đường tròn $(O,R)$, đường kính $AB.$ Gọi $C$ là điểm chính giữa của cung $AB.$ Vẽ dây cung $AB$. Vẽ dây $CD$ dài bằng $R.$ Tính góc ở tâm $DOB.$ Có mấy đáp số?

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

+) Trong tam giác đều mỗi góc bằng ${60}^o$.

+) Số đo của nửa đường tròn bằng ${180}^o.$

Lời giải:

Điểm $D$ có 2 trường hợp :

$\ast )$ Nếu điểm $D$ nằm giữa $C$ và $B$

Ta có $C$ điểm chính giữa của cung $AB$ nên:

$sđ\stackrel{⏜}{BC}=sđ\stackrel{⏜}{AC}={90}^o$

Ta lại có $CD=R$ $(gt)$

Suy ra : $OC=OD=CD=R$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }OCD$ đều $\Rightarrow \widehat{COD}={60}^o$

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{CD}=\widehat{COD}={60}^o$

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{BD}=sđ\stackrel{⏜}{BC}-sđ\stackrel{⏜}{CD}$$={90}^o-{60}^o={30}^o$

Suy ra $\widehat{BOD}=sđ\stackrel{⏜}{BD}={30}^o$

$\ast )$ Nếu $D$ nằm giữa $C$ và $A$ ta có : $CD=OC=OD=R$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }OCD$ đều $\Rightarrow \widehat{COD}={60}^o$

$sđ\stackrel{⏜}{CD}=\widehat{COD}={60}^o$

$sđ\stackrel{⏜}{BD}=sđ\stackrel{⏜}{BC}+sđ\stackrel{⏜}{CD}$$={90}^o+{60}^o={150}^o$

Suy ra $\widehat{BOD}=sđ\stackrel{⏜}{BD}={150}^o$

Bài 6 trang 99 SBT Toán 9 tập 2: Cho hai đường đường tròn $(O;R)$ và $(O^{\prime };R^{\prime })$ cắt nhau tại $A,B.$ Hãy so sánh $R$ và $R^{\prime }$ trong các trường hợp sau:

$a)$ Số đo cung nhỏ $AB$ của $(O;R)$ lớn hơn số đo cung nhỏ $AB$ của $(O^{\prime };R^{\prime }).$

$b)$ Số đo cung lớn $AB$ của $(O;R)$ nhỏ hơn số đo cung lớn $AB$ của $(O;R^{\prime }).$

$c)$ Số đo hai cung nhỏ bằng nhau.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa ${360}^o$ và số đo cung nhỏ(có chung hia mút với cung lớn).

+) Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.

+) Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn.

+) Hai cung được là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.

Lời giải:

$a)$ Trong $(O;R)$ ta có: $\widehat{AOB}=sđ\stackrel{⏜}{AB}$ (nhỏ)

Trong $(O^{\prime };R)$ ta có: $\widehat{A{O}^{\prime }B}=sđ\stackrel{⏜}{AB}$ (nhỏ)

Vì số đo cung $AB$ nhỏ của $(O;R)$ lớn hơn số đo cung $AB$ nhỏ của $(O^{\prime };R^{\prime })$

Suy ra: $\widehat{AOB}>\widehat{A{O}^{\prime }B}$                   $(1)$

Xét hai tam giác $\mathrm{\Delta }AO{O}^{\prime }$ và $\mathrm{\Delta }BO{O}^{\prime }$ có:

+) $O^{\prime }A=O^{\prime }B=R^{\prime }$

+) $OA=OB=R$

+) $O{O}^{\prime }$ cạnh chung

Nên $\mathrm{\Delta }AO{O}^{\prime }=\mathrm{\Delta }BO{O}^{\prime }$ $(c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat{AO{O}^{\prime }}=\widehat{BO{O}^{\prime }}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}$          $(2)$

$\widehat{A{O}^{\prime }O}=\widehat{B{O}^{\prime }O}=\frac{1}{2}\widehat{A{O}^{\prime }B}$          $(3)$

Từ $(1),$ $(2)$ và $(3)$ suy ra: $\widehat{AO{O}^{\prime }}>\widehat{A{O}^{\prime }O}$

Trong $\mathrm{\Delta }AO{O}^{\prime }$ ta có:  $\widehat{AO{O}^{\prime }}>\widehat{A{O}^{\prime }O}$

Suy ra: $O^{\prime }A>OA$ (bất đẳng thức tam giác) hay $R^{\prime }>R$ 

Chú ý: Nếu các em vẽ hình như dưới đây thì ta lấy đối xứng đường tròn $(O)$ qua trục $AB$ để chứng minh như trên.

 

$b)$ Trong $(O;R)$ số đo cung lớn $AB$ cộng với số đo cung nhỏ $AB$ bằng ${360}^o$

Mà số đo cung lớn $AB$ của $(O;R)$ nhỏ hơn số đo cung lớn $AB$ của $(O^{\prime };R^{\prime })$

Suy ra số đo cung nhỏ $AB$ của $(O;R)$ lớn hơn số đo cung nhỏ của $(O^{\prime };R^{\prime })$

Chứng minh tương tự câu $a)$ ta có: $R>R^{\prime }.$

$c)$ Số đo hai cung nhỏ của $(O;R)$ và $(O^{\prime };R^{\prime })$ bằng nhau

$\Rightarrow \widehat{AOB}=\widehat{A{O}^{\prime }B}$

Suy ra: $\widehat{AO{O}^{\prime }}=\widehat{A{O}^{\prime }O}\Rightarrow \mathrm{\Delta }AO{O}^{\prime }$ cân tại $A$ nên $OA=O{A}^{\prime }$ hay $R=R^{\prime }.$

Bài 7 trang 99 SBT Toán 9 tập 2: Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O^{\prime })$ cắt nhau tại $A,B.$ Đường phân giác của góc $OB{O}^{\prime }$ cắt các đường tròn $(O),$ $(O^{\prime })$ tương ứng tại $C,D.$

Hãy so sánh các góc ở tâm $BOC$ và $B{O}^{\prime }D.$

Hướng dẫn. Sử dụng các tam giác cân $OBC,$ $O^{\prime }BD.$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

+) Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn gọi là góc ở tâm.

Lời giải:

Trong $(O)$ ta có:

$\mathrm{\Delta }OBC$ cân tại $O$ (vì $OB=OC=$ bán kính)

$\Rightarrow \widehat{BOC}={180}^0-2.\widehat{OBC}(1)$

Trong $(O^{\prime })$ ta có:

$\mathrm{\Delta }B{O}^{\prime }D$ cân tại $O^{\prime }$ (vì $O^{\prime }D=O^{\prime }D=$ bán kính)

$\Rightarrow \widehat{B{O}^{\prime }D}={180}^0-2.\widehat{O^{\prime }BD}(2)$

Lại có $\widehat{OBC}=\widehat{O^{\prime }BD}$ $(3)$ (vì $BC$ là phân giác của $\widehat{OB{O}^{\prime }}$)

Từ $(1),$ $(2)$ và $(3)$ suy ra: $\widehat{BOC}=\widehat{B{O}^{\prime }D}$.

Bài 8 trang 100 SBT Toán 9 tập 2: Trên một đường tròn, có cung $AB$ bằng ${140}^o,$ cung $AD$ nhận $B$ làm điểm chính giữa, cung $CB$ nhận $A$ là điểm chính giữa. Tính số đo cung nhỏ $CD$ và cung lớn $CD.$
Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

+) Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa  ${360}^o$ và số đo cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).

Lời giải:

Vì  cung $AD$ nhận $B$ làm điểm chính giữa, cung $CB$ nhận $A$ là điểm chính giữa nên $\stackrel{⏜}{AB}=\stackrel{⏜}{BD}=\stackrel{⏜}{AC}$

$\Rightarrow \widehat{AOB}=\widehat{BOD}=\widehat{AOC}={140}^0$ 

Kẻ đường kính $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime }$ ta có:

$\widehat{AOB}+\widehat{AO{B}^{\prime }}={180}^0$ (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{AO{B}^{\prime }}={180}^0-\widehat{AOB}$$={180}^0-{140}^0={40}^0$

Suy ra: $\widehat{BO{A}^{\prime }}=\widehat{AO{B}^{\prime }}={40}^0$ (hai góc đối đỉnh)

$\widehat{B^{\prime }OD}+\widehat{BOD}={180}^0$ (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{B^{\prime }OD}={180}^0-\widehat{BOD}$$={180}^0-{140}^0={40}^0$

$\widehat{AOC}=\widehat{AO{B}^{\prime }}+\widehat{B^{\prime }OD}+\widehat{DOC}$

$\Rightarrow \widehat{DOC}=\widehat{AOC}-\widehat{AO{B}^{\prime }}-\widehat{B^{\prime }OD}$$={140}^0-{40}^0-{40}^0={60}^0$

$sđ\stackrel{⏜}{CD}(nhỏ)=\widehat{COD}={60}^0$

$sđ\stackrel{⏜}{CD}(lớn)={360}^o-sđ\stackrel{⏜}{CD}(nhỏ)$$={360}^o-{60}^o={300}^o$

Bài 9 trang 100 SBT Toán 9 tập 2: Cho $C$ là một điểm nằm trên cung lớn $AB$ của đường tròn $(O).$ Điểm $C$ chia cung lớn $\stackrel{⏜}{AB}$ thành hai cung $\stackrel{⏜}{AC}$ và $\stackrel{⏜}{CB}.$ Chứng minh rằng cung lớn $\stackrel{⏜}{AB}$ có $sđ\stackrel{⏜}{AB}=sđ\stackrel{⏜}{AC}=sđ\stackrel{⏜}{CB}.$

Hướng dẫn: Xét $3$ trường hợp:

$a)$ Tia $OC$ nằm trong góc đối đỉnh của góc ở tâm $\widehat{AOB}.$

$b)$ Tia $OC$ trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm $\widehat{AOB}.$

$c)$ Tia $OC$ nằm trong một góc kề bù với góc ở tâm $\widehat{AOB}.$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Nếu $C$ là một điểm trên cung $AB$ thì: $sđ\stackrel{⏜}{AB}=sđ\stackrel{⏜}{AC}+sđ\stackrel{⏜}{CB}.$

+) Số đo của nửa đường tròn bằng ${180}^o.$

+) Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa  ${360}^o$ và số đo cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Lời giải:

$a)$ Trường hợp tia $OC$ nằm trong góc đối đỉnh với $\widehat{AOB}$ 

Kẻ đường kính $CD$

Suy ra: $OD$ nằm giữa $OA$ và $OB$ nên điểm $D$ nằm trên cung nhỏ cung $\stackrel{⏜}{AB}$

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{AD}(nhỏ)+sđ\stackrel{⏜}{BD}(nhỏ)$$=sđ\stackrel{⏜}{AB}(nhỏ)$ $(1)$

Vì $OA$ nằm giữa $OC$ và $OD$ nên điểm $A$ nằm trên cung nửa đường tròn $CD.$

$\Rightarrow$$sđ\stackrel{⏜}{AD}(nhỏ)+sđ\stackrel{⏜}{AC}(nhỏ)$$={180}^o$ $(2)$

Vì $OB$ nằm giữa $OC$ và $OD$ nên điểm $B$ nằm trên cung nửa đường tròn $CD.$

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{BD}(nhỏ)+sđ\stackrel{⏜}{BC}(nhỏ)$$={180}^o$ $(3)$

Cộng từng vế $(2)$ và $(3):$

$sđ\stackrel{⏜}{AD}(nhỏ)+sđ\stackrel{⏜}{AC}(nhỏ)$$+sđ\stackrel{⏜}{BD}(nhỏ)+sđ\stackrel{⏜}{BC}(nhỏ)$$={360}^o$ $(4)$

Từ $(1)$ và $(4)$ suy ra: $sđ\stackrel{⏜}{AC}(nhỏ)+sđ\stackrel{⏜}{BC}(nhỏ)$$+sđ\stackrel{⏜}{AB}(nhỏ)={360}^o$

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{AC}(nhỏ)+sđ\stackrel{⏜}{BC}(nhỏ)$$={360}^o-sđ\stackrel{⏜}{AB}(nhỏ)$

Mà ${360}^o-sđ\stackrel{⏜}{AB}(nhỏ)=sđ\stackrel{⏜}{AD}(lớn)$

Vậy với cung lớn $\stackrel{⏜}{AB}$ ta có: $sđ\stackrel{⏜}{AB}=sđ\stackrel{⏜}{AC}+sđ\stackrel{⏜}{BC}$

b) Trường hợp tia $OC$ trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm $\widehat{AOB}$

 

Do tia $OC$ trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm $\widehat{AOB}$, ta có:

$\widehat{AOB}+\widehat{BOC}={180}^o$; $\widehat{AOC}={180}^o$

$\Rightarrow \widehat{AOB}+\widehat{BOC}+\widehat{AOC}={360}^o$

$\Rightarrow \widehat{AOC}+\widehat{BOC}={360}^o-\widehat{AOB}$

Suy ra: $sđ\stackrel{⏜}{AB}+sđ\stackrel{⏜}{BC}(nhỏ)$$={360}^o-sđ\stackrel{⏜}{AB}(nhỏ)$

 

Vậy với cung lớn $\stackrel{⏜}{AB}$ ta có: $sđ\stackrel{⏜}{AB}=sđ\stackrel{⏜}{AC}(nhỏ)+sđ\stackrel{⏜}{BC}$

c) Trong hợp tia $OC$ nằm trong góc kề bù với góc ở tâm $\widehat{AOB}$

Kẻ đường kính $AE.$

Theo trường hợp $b)$ ta có:

$sđ\stackrel{⏜}{AB}(lớn)$$=sđ\stackrel{⏜}{AE}(nhỏ)+sđ\stackrel{⏜}{BE}(nhỏ)$

Ta xét trường hợp $C$ nằm trên cung nhỏ $\stackrel{⏜}{EB}:$

$sđ\stackrel{⏜}{EB}(nhỏ)$$=sđ\stackrel{⏜}{EC}(nhỏ)+sđ\stackrel{⏜}{CB}(nhỏ)$

$\Rightarrow$ $sđ\stackrel{⏜}{AB}(lớn)=sđ\stackrel{⏜}{AE}$$+sđ\stackrel{⏜}{EC}(nhỏ)+sđ\stackrel{⏜}{CB}(nhỏ)$

Theo kết quả trường hợp $b)$ ta có:

$sđ\stackrel{⏜}{AE}+sđ\stackrel{⏜}{EC}(nhỏ)=sđ\stackrel{⏜}{AC}(lớn)$

Vậy với cung $\stackrel{⏜}{AB}$ lớn ta có: $sđ\stackrel{⏜}{AB}=sđ\stackrel{⏜}{AC}+sđ\stackrel{⏜}{CB}$

Trong trường hợp $OC$ nằm trên góc đối với góc ở tâm $\widehat{BOE}$ chứng minh tương tự.

Trong trường hợp $OC$ nằm trên góc đối đỉnh với góc ở tâm $\widehat{AOB}$ chứng minh ở trường hợp $a).$

Bài tập bổ sung (trang 100 SBT Toán 9)

Bài 1.1 trang 100 SBT Toán 9 tập 2: Cho hình $bs.4.$ Biết $\widehat{DOA}={120}^o,$ $OA$ vuông góc với $OC,$ $OB$ vuông góc với $OD.$

$a)$ Đọc tên các góc ở tâm có số đo nhỏ hơn ${180}^o.$

$b)$ Cho biết số đo của mỗi góc ở tâm tìm được ở câu trên.

$c)$ Cho biết tên của các cặp cung có số đo bằng nhau (nhỏ hơn ${180}^o$).

$d)$ So sánh hai cung nhỏ $AB$ và $BC.$ 

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

+) Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn ${180}^o.$

+) Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

Lời giải:

$a)$ Các góc ở tâm có số đo nhỏ hơn ${180}^o$ là:

$\widehat{AOB},\widehat{AOC},\widehat{AOD},\widehat{BOC},\widehat{BOD},\widehat{COD}$

$b)$ $OA\mathrm{\perp }OC\Rightarrow \widehat{AOC}={90}^0$

$OB\mathrm{\perp }OD\Rightarrow \widehat{BOD}={90}^0$

$\widehat{AOB}+\widehat{BOD}=\widehat{AOD}$

$\Rightarrow \widehat{AOB}=\widehat{AOD}-\widehat{BOD}$$={120}^0-{90}^0={30}^0$

$\widehat{AOC}+\widehat{COD}=\widehat{AOD}$

$\Rightarrow \widehat{COD}=\widehat{AOD}-\widehat{AOC}$$={120}^0-{90}^0={30}^0$

$\widehat{AOB}+\widehat{BOC}=\widehat{AOC}$

$\Rightarrow \widehat{BOC}=\widehat{AOC}-\widehat{AOB}$$={90}^0-{30}^0={60}^0$

$c)$ Các cung có số đo bằng nhau nhỏ hơn ${180}^o$ là:

$\stackrel{⏜}{AB}=\stackrel{⏜}{CD};$ $\stackrel{⏜}{AC}=\stackrel{⏜}{BD}$

$d)$ $sđ\stackrel{⏜}{AB}=\widehat{AOB}={30}^0$

$sđ\stackrel{⏜}{BC}$$=\widehat{BOC}={60}^0$

Suy ra: $sđ\stackrel{⏜}{BC}$ gấp đôi $sđ\stackrel{⏜}{AB}$

Bài 1.2 trang 100 SBT Toán 9 tập 2: Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB.$ Các điểm $C,D,E$ cùng thuộc một cung $AB$ sao cho $sđ\stackrel{⏜}{BC}=\frac{1}{6}sđ\stackrel{⏜}{BA};$ $sđ\stackrel{⏜}{BD}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{BA};$$sđ\stackrel{⏜}{BE}=\frac{2}{3}sđ\stackrel{⏜}{BA}.$

$a)$ Đọc tên các góc ở tâm có số đo không lớn hơn ${180}^o.$

$b)$ Cho biết số đo của mỗi góc ở tâm tìm được ở câu trên.

$c)$ Cho biết tên của các cặp cung có số đo bằng nhau (nhỏ hơn ${180}^o$).

$d)$ So sánh hai cung nhỏ $AE$ và $BC.$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

+) Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

+) Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn ${180}^o.$

Lời giải:

$a)$ Các góc ở tâm có số đo không quá ${180}^o$ là:

$\widehat{AOB},\widehat{AOC},\widehat{AOD},\widehat{AOE},\widehat{BOC},$$\widehat{BOD},$$\widehat{BOE},\widehat{COD},\widehat{COE},\widehat{DOE}$

$b)$ Ta có: $\widehat{AOB}={180}^0$

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{AB}={180}^o$

Ta có: $sđ\stackrel{⏜}{BC}=\frac{1}{6}sđ\stackrel{⏜}{AB}$

$=\frac{1}{6}{.180}^0={30}^o$

$\Rightarrow \widehat{BOC}=sđ\stackrel{⏜}{BC}={30}^o$

Ta có: sđ $\stackrel{⏜}{BD}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{AB}$

$=\frac{1}{2}{.180}^0={90}^0$

$\Rightarrow \widehat{BOD}=sđ\stackrel{⏜}{BD}={90}^0$

Ta có: $sđ\stackrel{⏜}{BE}=\frac{2}{3}sđ\stackrel{⏜}{BA}$

$=\frac{2}{3}{.180}^0={120}^0$

$\Rightarrow \widehat{BOE}=sđ\stackrel{⏜}{BE}={120}^o$

$\widehat{BOC}+\widehat{COE}=\widehat{BOE}$

$\Rightarrow \widehat{COE}=\widehat{BOE}-\widehat{BOC}$

$={120}^0-{30}^0={90}^0$

$\widehat{AOE}+\widehat{BOE}=\widehat{AOB}$

$\Rightarrow \widehat{AOE}=\widehat{AOB}-\widehat{BOE}$

$={180}^0-{120}^0={60}^0$

$\widehat{AOD}=\widehat{BOD}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}={90}^0$

$\widehat{BOC}+\widehat{COD}=\widehat{BOD}$

$\Rightarrow \widehat{COD}=\widehat{BOD}-\widehat{BOC}$

$={90}^0-{30}^0={60}^0$

$\widehat{COD}+\widehat{DOE}=\widehat{COE}$

$\Rightarrow \widehat{DOE}=\widehat{COE}-\widehat{COD}$

$={90}^0-{60}^0={30}^0$

$\widehat{COA}+\widehat{BOC}={180}^0$

$\Rightarrow \widehat{AOC}={180}^0-\widehat{BOC}$

 

$={180}^0-{30}^0={150}^0$

$c)$ Các cung có số đo nhỏ hơn ${180}^o$ bằng nhau.

$\stackrel{⏜}{BC}=\stackrel{⏜}{DE}$; $\stackrel{⏜}{AE}=\stackrel{⏜}{CD}$; $\stackrel{⏜}{AD}=\stackrel{⏜}{BD}$; $\stackrel{⏜}{AD}=\stackrel{⏜}{CE}$; $\stackrel{⏜}{CE}=\stackrel{⏜}{BD}$.

$d)$ $sđ\stackrel{⏜}{AE}=\widehat{AOE}={60}^0$

$sđ\stackrel{⏜}{BC}=\widehat{BOC}={30}^0$

Ta có số đo của cung $\stackrel{⏜}{AE}$ gấp đôi số đo của cung $\stackrel{⏜}{BC}$.