Bộ đề thi toán vào lớp 10 chuyên đại học sư phạm Hà Nội

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

KỲ THI VÀO LỚP 10  CHUYÊN  ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NĂM HỌC 2019 – 2020

Đề số 1 

Câu 1.  

a) Cho a  là số thực khác 1 và – 1 . Rút gọn biểu thức P = $\left(\frac{{\left(\frac{a+1}{a–1}\right)}^2+3}{{\left(\frac{a–1}{a+1}\right)}^2+3}÷\frac{a^{3 }+1}{a^3–1}–\frac{2a}{a–1}\right)$

b) Cho các số thực x, y, a thoản mãn $\sqrt{x^2+\sqrt[3]{x^4{y}^2}}+\sqrt{y^2+\sqrt[3]{y^4{x}^2}}=a$

Chứng minh rằng $\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}=\sqrt[3]{a^2}$
Câu 2. Trên quãng đường dài 20 km, tại cùng một thời điểm, bạn An đi bộ từ A  đến B  và bạn Bình đi bộ từ B  đến A . Sau 2  giờ kể từ lúc xuất phát, An và Bình gặp nhau tại C  và cùng nghỉ lại 15  phút (vận tốc của An trên quãng đường AC  không thay đổi, vận tối của Bình trên quãng đường BC  không thay đổi). Sau khi nghỉ, An đi tiếp đến B với vận tốc nhỏ hơn vận tốc của An trên quáng đường AC  là 1 km/h, Bình đi tiếp đến A  với vận tốc lớn hơn vận tốc của Bình trên
quãng đường BC  là 1 km/h. Biết rằng An đến B  sớm hơn so với Bình đến A  là 48  phút. Hỏi vận tốc của An trên quãng đường AC  là bao nhiêu? 

Câu 3. Cho các đa thức P(x) = $x^2+ax+b, Q\left(x\right) = x^2+cx+d với a,b,c,d là các số thực.$

a) Tìm tất cả các giá trị của a, b để 1 và a là nghiệm của phương trình P(x) = 0
b) Giả sử phương trình P(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ và phương trình Q(x) = 0 nghiệm phân biệt $x,x_4$sao cho $P\left(x_3\right)+P\left(x_4\right)=Q\left(x_1\right)+Q\left(x_2\right). Chứng minh rằng \left|x_1–x_2\right|=\left|x_3+x_4\right|$

Câu 4. Cho đường tròn (O), bán kính R , ngoại tiếp tam giác ABC  có ba góc nhọn. Gọi $A{A}_1,B{B}_1,C{C}_1$ là các đường cao của tam giác ABC ($A_1 thuộc BC, B_1 thuộc CA, C_1 thuộc AB).$ Đường thẳng $A_1{C}_1$ cắt đường tròn (O) tại A’ và C’ ($A_1 nằm giữa A‘ và C_1$). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A’ và C’  cắt nhau tại 
tại B’ .

 a) Gọi H  là trực tâm của tam giác ABC . Chứng minh rằng $H{C}_1.A_{1}C=A_1{C}_1.H{B}_1$

b) Chứng minh rằng ba điểm B, B’, O thẳng hàng. 

c) Khi tam giác ABC  là tam giác đều, hãy tính A’C’  theo R . 

Câu 5. Cho các số thực x, y thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $P=xy(x–2)(y+6)+13x^2+4y^2–26x+24y+46$

Xem thêm