50 Bài tập Liên hệ giữa cung và dây (có đáp án)- Toán 9

Bài tập Toán 9 Chương 3 Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây

A. Bài tập Liên hệ giữa cung và dây

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho đường tròn (O) có hai dây AB, CD song song với nhau. Kết luận nào sau đây là đúng?

A. AD > BC

B. Số đo cung AD bằng số đo cung BC

C. AD < BC

D. Toán lớp 9 | Lý thuyết – Bài tập Toán 9 có đáp án

Lời giải:

Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB và CD, cắt AB, CD lần lượt tại H và K.

Phương án A, C, D sai, B đúng

Chọn đáp án B

Câu 2: Chọn khẳng định đúng. Cho đường tròn (O) có dây cung AB > CD khi đó

A. Cung AB lớn hơn cung CD

B. Cung AB nhỏ hơn cung CD

C. Cung AB bằng cung CD

D. Số đo cung AB bằng hai lần số đo cung BC

Lời giải:

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau

+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

Nên dây AB > CD thì cung AB lớn hơn cung CD

Chọn đáp án A

Câu 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB và một cung AC có số đo nhỏ hơn 90°. Vẽ dây CD vuông góc với AB và dây DE song song với AB . Chọn kết luận sai?

A. AC = BE

B. Số đo cung AD bằng số đo cung BE

C. Số đo cung AC bằng số đo cung BE

D. Toán lớp 9 | Lý thuyết – Bài tập Toán 9 có đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án D

Câu 4: Chọn khẳng định đúng.

A. Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.

B. Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.

C. Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì song song với dây căng cung ấy

D. Trong một đường tròn, hai đường kính luôn vuông góc với nhau

Lời giải:

+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy

+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không qua tâm) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy

+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông với dây căng cung ấy và ngược lại

Chọn đáp án A.

Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A có A^= 66° nội tiếp đường tròn (O) . Trong các cung nhỏ AB, BC, CA thì cung nào là cung lớn nhất?

A. AB

B. AC

C. BC

D. AB, AC

Lời giải:

nên theo mối liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác ta có:

Chọn đáp án C.

Câu 6: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy các điểm C và D trên nửa đường tròn sao cho: . Tìm khẳng định sai?

CD < BD < CA

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án D.

Câu 7: Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC biết rằng A^= 60° và AB = BC .Tìm khẳng định sai ?

Lời giải:

Ta có: AB = BC nên tam giác ABC cân tại B.

Chọn đáp án A.

Câu 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) sao cho  biết rằng A và C nằm khác phía so với đường thẳng OB. Tìm mệnh đề sai ?

Lời giải:

Chọn đáp án C.

Câu 9: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, điểm C và D nằm trên nửa đường tròn sao cho  và tia OC nằm giữa hai tia OA và O

D. Tìm khẳng định đúng

Lời giải:

Chọn đáp án A.

Câu 10: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O), biết rằng AB = BC = 8cm và  . So sánh hai cung 

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án B.

Câu 11: Cho đường tròn (O; R) và hai dây AB; CD sao cho . So sánh các dây CD; AB

A. CD = 2AB

B. AB > 2CD

C. CD > AB

D. CD < AB < 2CD

Lời giải:

Vì  nên cung CD nhỏ hơn cung AB, từ đó dây CD < AB (*)

Xét tam giác OCD cân tại O có  nên ∆COD là tam giác đều

⇒ CD = R

AB là dây không đi qua tâm nên AB < 2R ⇒ AB < 2CD (**)

Từ (*) và (**) ta có CD < AB < 2CD

Đáp án cần chọn là: D

Câu 12: Cho đường tròn (O; R) và hai dây MN; EF sao cho . Chọn đáp án đúng

A. MN = 2R

B. MN < 2R

C. R√2 < MN

D. Cả B, C đều đúng

Lời giải:

Vì   nên cung EF nhỏ hơn cung MN, từ đó dây EF < MN (*)

Xét tam giác OEF cân tại O có  = 90o nên theo định lý Pytago ta có:

EF2 = OF2 + OE2 = R2 + R2 = 2R2 ⇒ EF = R√2 (**)

MN là dây không đi qua tâm nên MN < 2R (***)

Từ (*), (**) và (***) ta có R√2 < MN < 2R

Đáp án cần chọn là: D

Câu 13: Cho tam giác ABC có , đường trung tuyến AM, đường cao CH. Vẽ đường tròn ngoại tiếp BHM. Kết luận nào đúng khi nói về các cung HB; MB; MH của đường tròn ngoại tiếp tam giác MHB?

A. Cung HB nhỏ nhất                       

B. Cung MB lớn nhất

C. Cung MH nhỏ nhất                       

D. Ba cung bằng nhau

Lời giải:

Vì trong một đường tròn hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau nên ta đi so sánh các đoạn thẳng HB; MB; MH

Xét tam giác BCH vuông tại H có:

Xét tam giác HBM có BM = BH (cmt) và   = 60o nên ∆HBM là tam giác đều

⇒ BM = BH = HM

Suy ra ba cung HB; MB; MH bằng nhau

Đáp án cần chọn là: D

Câu 14: Cho tam giác ABC có  = 30o, đường trung tuyến AM, đường cao CH. Vẽ đường tròn ngoại tiếp BHM. Kết luận nào sai khi nói về các cung HB; MB; MH của đường tròn ngoại tiếp tam giác MHB?

A. Cung HB lớn nhất                        

B. Cung HB nhỏ nhất

C. Cung MH nhỏ nhất                       

D. Cung MB = cung MH

Lời giải:

Vì trong một đường tròn hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau nên ta đi so sánh các đoạn thẳng HB; MB; MH

Xét tam giác BCH vuông tại H có:

Xét tam giác HBC vuông tại H có HM là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên HM = BM = CM =  (**)

Mà  nên từ (*) và (**) ta có BM = HM < HB

Suy ra cung MB = cung HM < cung HB

Hay cung HB là cung lớn nhất nên B sai

Đáp án cần chọn là: B

Câu 15: Cho đường tròn (O; R), dây cung AB = R√3. Vẽ đường kính CD  AB (C thuộc cung lớn AB). Trên cung AC nhỏ lấy điểm M, vẽ dây AN // CM. Độ dài đoạn MN là:

Lời giải:

Vì hai dây MC // AN nên hai cung AM và cung CN bằng nhau hay AM = CN

Suy ra MCNA là hình thang cân ⇒ MN = AC

Gọi H là giao của CD và AB. Khi đó vì AB ⊥ CD tại H nên H là trung điểm của AB 

Xét tam giác vuông AHO, theo định lý Pytago ta có:

Theo định lý Pytago cho tam giác ACH vuông ta có:

Đáp án cần chọn là: A

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O). Biết ∠A = 50°, hãy so sánh các cung nhỏ AB, AC và BC.

Lời giải:

Ta có: ΔABC cân tại A và ∠A = 50°

Khi đó

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Dựa vào hình vẽ sau, hãy so sánh AB và CD:

Bài 2: Cho (O) có dây cung BC cố định. Gọi A là điểm thuộc cung lớn BC sao cho . Chứng minh rằng khoảng cách từ O đến AB lớn hơn khoảng cách từ O đến AC.

B. Lý thuyết Liên hệ giữa cung và dây

1. Định lí 1

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

– Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

– Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

Ví dụ 1. Cho đường tròn (O) như hình vẽ.

Trong hình vẽ $\stackrel{⏜}{AB}=\stackrel{⏜}{CD}$ () nên AB = CD.

2. Định lí 2

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

– Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

– Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

Ví dụ 2. Cho đường tròn (I) như hình vẽ.

Trong hình vẽ :

3. Bổ sung

Trong một đường tròn:

– Hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

– Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.

– Đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.

– Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.