Giải SGK Toán 9 Ôn tập chương 4 Hình học

Giải bài tập Toán lớp 9 Ôn tập chương 4 Hình học

Trả lời câu hỏi giữa bài

Câu 1 trang 128 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Hãy phát biểu bằng lời:

a) Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ.

b) Công thức tính thể tích của hình trụ.

c) Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón.

d) Công thức tính thể tích của hình nón.

e) Công thức tính diện tích của mặt cầu.

g) Công thức tính thể tích của hình cầu.

Lời giải:

a) Diện tích xung quanh hình trụ thì bằng chu vi đường tròn đáy nhân với chiều cao.

b) Thể tích hình trụ thì bằng tích của diện tích hình tròn đáy nhân với đường cao.

c) Diện tích xung quanh hình nón thì bằng $\frac{1}{2}$ tích của chu vi đường tròn đáy với đường sinh.

d) Thể tích hình nón bằng $\frac{1}{3}$ tích của diện tích hình tròn đáy với chiều cao.

e) Diện tích mặt cầu thì bằng 4 lần diện tích hình tròn lớn.

g) Thể tích hình cầu thì bằng $\frac{4}{3}$ tích của diện tích hình tròn lớn với bán kính.

Câu 2 trang 128 SGK Toán lớp 9 Tập 2:Hãy nêu cách tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón cụt.

Lời giải:

Cách 1: Áp dụng công thức

– Với hình nón cụt có các bán kính các đáy là r₁, r₂, đường sinh l và chiều cao h thì:

S_xq= π(r₁ + r₂).l

V = πh(r₁² + r₂² + r₁ r₂)

Như vậy:

Diện tích xung quanh hình nón cụt thì bằng tích của số π với tổng hai bán kính và với đường sinh.

Thể tích của hình nón cụt thì bằng $\frac{1}{3}$ tích của số π với đường cao h và tổng bình phương các bán kính cộng thêm tích của hai bán kính.

Cách 2: Vì hình nón cụt được cắt ra từ hình nón nên ta có thể tính

V_{(nón cụt)} = V_{(nón lớn)} – V_{(nón nhỏ)}

S_{(xq nón cụt)} = S_{(xq nón lớn)} – S_{(xq nón nhỏ)}

Bài tập (trang 129; 130; 131)

Bài 38 trang 129 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Hãy tính thể tích, diện tích bề mặt một chi tiết máy theo kích thước đã cho trên hình 114.

Lời giải:

Ta có: Thể tích cần tính là tổng thể tích của hai hình trụ có đường kính là 11cm và chiều cao 2cm là:

$V_1=\pi R^2{h}_1=\pi {\left(\frac{11}{2}\right)}^2.2=60,5\pi \left(c{m}^3\right)$

Thể tích hình trụ có đường kính đáy là 6cm, chiều cao là 7cm là:

$V_2=\pi R^2{h}_2=\pi {\left(\frac{6}{2}\right)}^2.7=63\pi \left(c{m}^3\right)$

Vậy thể tích của chi tiết máy cần tính là:

$V=V_1+V_2=60,5\pi +63\pi =123,5\pi \left(c{m}^3\right)$

Diện tích đáy hình trụ có đường kính 11cm là:

$S_{d1}=\pi .{\left(\frac{11}{2}\right)}^2=30,25\pi \left(c{m}^2\right)$

Diện tích đáy hình trụ có đường kính 6cm là:

$S_{d2}=\pi .{\left(\frac{6}{2}\right)}^2=9\pi \left(c{m}^2\right)$

Diện tích hình vành khăn giới hạn bởi đường tròn đường kính 11cm và hình tròn đường kính 6cm là:

$S_{vk}=S_{d1}-S_{d2}=30,25\pi -9\pi =21,25\pi \left(c{m}^2\right)$

Diện tích xung quanh của hình trụ có đường kính 11cm và chiều cao 2cm là:

$S_{xq1}=\pi \mathrm{.11.2}=22\pi \left(c{m}^2\right)$

Diện tích xung quanh của hình trụ có đường kính 6cm và chiều cao 7cm là:

$S_{xq2}=\pi \mathrm{.6.7}=42\pi \left(c{m}^2\right)$

Diện tích xung quanh của chi tiết máy là:

$S_{xq}=S_{xq1}+S_{xq2}=22\pi +42\pi =64\pi \left(c{m}^2\right)$

Diện tích bề mặt của chi tiết máy là:

$S=S_{d1}+S_{d2}+S_{vk}+S_{xq}=30,25\pi +9\pi +21,25\pi +64\pi =124,5\pi \left(c{m}^2\right)$

Bài 39 trang 129 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Một hình chữ nhật ABCD có AB > AD, diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là $2a^2$ và 6a. Cho hình vẽ quay xung quanh cạnh AB, ta được một hình trụ. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ này.

Lời giải:

Theo đề bài ta có:

$\Rightarrow \left(A{D}^2-a.AD\right)$$-\left(2a.AD-2a^2\right)=0$

$\Rightarrow AD\left(AD-a\right)$$-2a\left(AD-a\right)=0$

Với AD = 2a $\Rightarrow$AB = 3a – AD = 3a – 2a = a (loại vì AB > AD)

Với AD = a  $\Rightarrow$AB = 3a – AD = 3a – a = 2a (thỏa mãn AB > AD)

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

$S=2\pi AD.AB$$=2\pi .a.2a=4a^2\pi \hspace{0.17em}$

Thể tích hình trụ là:

$V=\pi .A{D}^2.AB$$=\pi .a^2.2a=2a^3\pi \left(c{m}^3\right)$

Bài 41 trang 129 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Cho ba điểm A, O, B thẳng hàng theo thứ tự đó, OA = a, OB = b (a, b cùng đơn vị: cm). Qua A và B vẽ theo thứ tự các tia Ax và By cùng vuông góc với AB và cùng phía với AB. Qua O vẽ hai tia vuông góc với nhau và cắt Ax ở C, By ở D (xem hình 116).

a) Chứng minh AOC và BDO là hai tam giác đồng dạng; từ đó suy ra tích AC.BD không đổi.

b) Tính diện tích hình thang ABDC khi $\widehat{COA}={60}^o$.

c) Với $\widehat{COA}={60}^o$ cho hình vẽ quay xung quanh AB. Hãy tính tỉ số thể tích các hình do các tam giác AOC và BOD tạo thành.

Lời giải:

a)

Tam giác BOD vuông tại B (do Bx vuông góc với AB tại B)

$\Rightarrow \widehat{BDO}+\widehat{BOD}={90}^o \left(1\right)$

Mặt khác, A, O, B thẳng hàng nên ta có:

Xét hai tam giác vuông AOC và BDO ta có:

 $\widehat{A}=\widehat{B}={90}^o$

$\widehat{AOC}=\widehat{BDO}$ (chứng minh trên)

Do đó, tam giác vuông AOC và tam giác vuông BDO đồng dạng với nhau (góc – góc)

$\Rightarrow \frac{AC}{AO}=\frac{BO}{BD}\Rightarrow \frac{AC}{a}=\frac{b}{BD}$ (1)

Vậy AC.BD = a.b không đổi

b)

Khi $\widehat{COA}={60}^o$, xét tam giác vuông ACO có:

$\tan \widehat{AOC}=\frac{AC}{OA}\Rightarrow \tan {60}^o=\frac{AC}{a}\Rightarrow AC=\tan {60}^o.a=a\sqrt{3}$

Mà: AC.BD = ab (câu a)

$\Rightarrow a\sqrt{3}.BD=ab\Rightarrow BD=\frac{b\sqrt{3}}{3}$

Diện tích hình thang ABCD có AC // BD (do cùng vuông góc với AB) là:

$S=\frac{AC+BD}{2}.AB=\frac{a\sqrt{3}+\frac{b\sqrt{3}}{3}}{2}.(a+b)=\frac{\sqrt{3}}{6}(3a^2+4ab+b^2)\left(c{m}^2\right)$

c)

Theo đề bài ta có:

Tam giác AOC khi quay quanh cạnh AB tạo thành hình nón có chiều cao OA = a và bán kính đáy $AC=a\sqrt{3}$ nên thể tích hình nón là:

$V_1=\frac{1}{3}\pi .A{C}^2.OA=\frac{1}{3}\pi .{\left(a\sqrt{3}\right)}^2.a=\pi a^3\left(c{m}^3\right)$

Tam giác BOD khi quanh quanh cạnh AB tạo thành hình nón có chiều cao OB = b và bán kính đáy $BD=\frac{b\sqrt{3}}{3}$ nên thể tích hình nón là:

Bài 42 trang 130 SGK Toán lớp 9 Tập 2:Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho (h.117).

Lời giải:

a) Hình a

Thể tích hình trụ có đường kính đáy 14cm và đường cao 5,8cm là:

$V_1=\pi .{\left(\frac{14}{2}\right)}^2.5,8=284,2\pi \left(c{m}^3\right)$

Thể tích hình nón có đường kính đáy 14cm và đường cao 8,1cm là:

$V_3=\frac{1}{3}\pi .{\left(\frac{14}{2}\right)}^2.8,1=132,3\pi \left(c{m}^3\right)$

Thể tích hình cần tính là:

$V=V_1+V_2=284,2\pi +132,3\pi \approx 1308,47\left(c{m}^3\right)$

b) Hình b

Thể tích hình nón lớn có bán kính đáy là 7,6cm và chiều cao là 16,4cm là:

$V_1=\frac{1}{3}\pi .7,6^2.16,4=315,75\pi \left(c{m}^3\right)$

Thể tích hình nón nhỏ có bán kính đáy là 3,8cm và chiều cao là 8,2cm là:

$V_1=\frac{1}{3}\pi .3,8^2.8,2=39,47\pi \left(c{m}^3\right)$

Thể tích hình nón cụt cần tính là:

$V=V_1-V_2=315,75\pi -39,47\pi =867,96\left(c{m}^3\right)$

Bài 43 trang 130 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho (h.118) (đơn vị: cm).

Lời giải:

a) Hình a

Thể tích hình cần tính gồm một hình trụ có bán kính đáy r = 12,6 : 2 = 6,3 và chiều cao h = 8,4; và nửa hình cầu có bán kính R = 12,6 : 2 = 6,3

b)

Thể tích hình cần tính gồm một hình nón có bán kính đáy r = 6,9 và chiều cao h = 20 và nửa hình cầu có bán kính R = 6,9.

c)

Thể tích hình cần tính gồm một hình nón có bán kính đáy r = 2 và chiều cao h = 4 ; và một hình trụ có bán kính đáy R = 2 và chiều cao h = 4 và nửa hình cầu có bán kính R’ = 2

Bài 44 trang 130 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và GEF là tam giác đều nội tiếp đường tròn đó, EF là dây song song với AB (h.119). Cho hình đó quay quanh trục GO. Chứng minh rằng:

a) Bình phương thể tích của hình trụ sinh ra bởi hình vuông bằng tích của thể tích hình cầu sinh ra bởi hình tròn và thể tích hình nón do tam giác đều sinh ra.

b) Bình phương diện tích toàn phần của hình trụ bằng tích của diện tích hình cầu và diện tích toàn phần của hình nón.

Lời giải:

a)

Khi hình vuông ABCD quay quanh trục GO ta được hình trụ có đường kính đáy AB và chiều cao BC là:

$V=\pi {\left(\frac{AB}{2}\right)}^2.BC$

Mà AB = BC (do ABCD là hình vuông)

$\Rightarrow V=\pi {\left(\frac{AB}{2}\right)}^2.AB$$=\pi \frac{A{B}^3}{4}$

Do ABCD là hình vuông nên ta có: $AC\perp BD$ tại O

Do đó, tam giác OAB vuông tại O

Xét tam giác OAB vuông tại O

Áp dụng định lý Py–ta–go ta có:

Thể tích hình cầu có bán kính R là:

$V_1=\frac{4}{3}\pi R^3$

Kẻ GH vuông góc với EF tại H

Thể tích hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng $\frac{EF}{2}$ là: $V_2=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{EF}{2}\right)}^2.GH$

Do tam giác GEF đều nên

GH là đường cao (do GH vuông góc với EF tại H) và cũng là đường trung tuyến

$\Rightarrow HE=HF=\frac{EF}{2}$

Xét tam giác GEH vuông tại H

Áp dụng định lý Py–ta–go ta có:

$G{E}^2=G{H}^2+H{E}^2$

Mà GE = EF (do tam giác GEF đều)

Do tam giác GEF đều nên O là trực tâm và cũng là trọng tâm

b)

Diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính  $\frac{AB}{2}$ và chiều cao BC là:

Diện tích mặt cầu có bán kính R là: $S_1=4\pi R^2$

Diện tích toàn phần của hình nón là:

Bài 45 trang 131 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Hình 120 mô tả một hình cầu được đặt khít vào trong một hình trụ, các kích thước cho trên hình vẽ. Hãy tính:

a)Thể tích hình cầu.

b) Thể tích hình trụ.

c) Hiệu giữa thể tích hình trụ và thể tích hình cầu.

d) Thể tích của một hình nón có bán kính đường tròn đáy là r cm và chiều cao 2r cm.

e) Từ các kết quả a), b), c), d) hãy tìm mối liên hệ giữa chúng.

Lời giải:

a)

Thể tích của hình cầu là: $V_1=\frac{4}{3}\pi r^3\left(c{m}^3\right)$

b)

Theo hình vẽ ta có hình trụ có chiều cao là: h = 2r

Thể tích của hình trụ là:   $V_2=\pi r^2.2r=2\pi r^3\left(c{m}^3\right)$

c)

Hiệu giữa thể tích hình trụ và thể tích hình cầu là:

$V_3=V_2-V_1=2\pi r^3-\frac{4}{3}\pi r^2=\frac{2}{3}\pi r^3\left(c{m}^3\right)$

d)

Thể tích hình nón là:

$V_4=\frac{1}{3}\pi r^2.2r=\frac{2}{3}\pi r^3\left(c{m}^3\right)$

e)

Từ các kết quả ở câu a, b, c, d ta có:

$V_4=V_3=V_2-V_1$

Vậy “Thể tích hình nón nội tiếp trong hình trụ bằng hiệu giữa thể tích hình trụ và thể tích hình cầu nội tiếp trong hình trụ ấy”.