SBT Toán 9 Phần đại số: Ôn tập cuối năm | Giải SBT Toán lớp 9

Giải SBT Toán 9 Phần đại số: Ôn tập cuối năm

Bài 1 trang 193 SBT Toán 9 tập 2: Căn bậc hai số học của $0,36$ là:

$(A)0,18;$

$(B)-0,18;$

$(C)0,6;$

$(D)-0,6$ và $0,6.$

Hãy chọn đáp án đúng.

Phương pháp giải:

Với số dương $a$, số $\sqrt{a}$ được gọi là căn bậc hai số học của $a.$

Lời giải:

Căn bậc hai số học của $0,36$ là $\sqrt{0,36}=0,6.$

Vậy chọn đáp án $(C)0,6$

Bài 2 trang 193 SBT Toán 9 tập 2: Biểu thức $\sqrt{5-2x}$ xác định khi:

$(A)x=2,5;$ 

$(B)x\ge 2,5;$

$(C)$ với mọi giá trị của $x;$

$(D)x\le 2,5;$

Hãy chọn đáp án đúng.

Phương pháp giải:

$\sqrt{A}$ xác định (hay có nghĩa) khi $A$ lấy giá trị không âm.

Lời giải:

Biểu thức $\sqrt{5-2x}$ xác định khi:$5-2x\ge 0$$\iff -2x\ge -5$$\iff x\le 2,5$

Vậy chọn $(D)x\le 2,5$

Bài 3 trang 193 SBT Toán 9 tập 2: Biểu thức $\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{5}{)}^2}$ có giá trị là:

$(A)\sqrt{3}-\sqrt{5};$

$(B)\sqrt{3}+\sqrt{5};$

$(C)\sqrt{5}-\sqrt{3};$

$(D)8-2\sqrt{15};$

Hãy chọn đáp án đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng: Với mọi số $a,$ ta có $\sqrt{a^2}=|a|.$

Lời giải:

$\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{5}{)}^2}$$=|\sqrt{3}-\sqrt{5}|$$=\sqrt{5}-\sqrt{3}$

Vậy chọn $(C)\sqrt{5}-\sqrt{3}$

 

Bài 4 trang 193 SBT Toán 9 tập 2: Tính $\left(\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}\sqrt{4,5}+\frac{2}{5}\sqrt{50}\right)$$:\frac{4}{15}\sqrt{\frac{1}{8}}$
Phương pháp giải:

Với hai số $a$ và $b$ không âm, ta có: $\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$

Sử dụng: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}\left(a\ge 0;b>0\right)$

Lời giải:

Ta có

$\left(\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}\sqrt{4,5}+\frac{2}{5}\sqrt{50}\right)$$:\frac{4}{15}\sqrt{\frac{1}{8}}$

$=\left(\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{3}{2}.\sqrt{\frac{9}{2}}+\frac{2}{5}.\sqrt{25.2}\right)$$:\frac{4}{15}\sqrt{\frac{1}{8}}$
$=\left(\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{3}{2}.\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{2}{5}.5\sqrt{2}\right)$$:\left(\frac{4}{15}.\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$
$=\left(\frac{\sqrt{2}-9\sqrt{2}+8\sqrt{2}}{4}\right):\frac{\sqrt{2}}{15}$
$=0:\frac{\sqrt{2}}{15}=0$ 

Bài 5 trang 193 SBT Toán 9 tập 2: Rút gọn

$P=\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}^2$ với $x\ge 0,y\ge 0,x^2+y^2>0.$

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Lời giải:

$P=\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}^2$ 

$P=\frac{(\sqrt{x}{)}^3+(\sqrt{y}{)}^3}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}^2$

$P=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$$-\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)$

$P=x-\sqrt{xy}+y-x+2\sqrt{xy}-y$

$P=\sqrt{xy}$

 

Bài 6 trang 193 SBT Toán 9 tập 2: Chứng minh đẳng thức 

$\left(\frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1}\right):\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}$$=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}$ với $a>0,a\ne 1$

Phương pháp giải:

Để chứng minh đẳng thức ta có thể biến đổi vế này thành vế kia.

Lời giải:

Biến đổi vế trái ta được:

$VT=\left(\frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1}\right)$$:\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}$

$=\left(\frac{1}{\sqrt{a}.(\sqrt{a}-1)}+\frac{1}{\sqrt{a}-1}\right)$$:\frac{\sqrt{a}+1}{{\left(\sqrt{a}-1\right)}^2}$ 

$=\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\frac{\sqrt{a}+1}{{\left(\sqrt{a}-1\right)}^2}$

$=\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}.\frac{{\left(\sqrt{a}-1\right)}^2}{\sqrt{a+1}}$

$=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}(=VP)$

Vậy đẳng thức được chứng minh.

 

Bài 7 trang 193 SBT Toán 9 tập 2: Cho biểu thức: 

$P=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}\right).\frac{{\left(1-x\right)}^2}{2}$

a) Rút gọn $P.$

b) Tìm giá trị lớn nhất của $P.$

Phương pháp giải:

Các bước rút gọn biểu thức: 

Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác không… nếu bài toán chưa cho)
Bước 2: Phân tích các mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo các phép biến đổi căn thức)
+ Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử chung.
+  Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác không.
Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để kết luận.

Lời giải:

a)

Điều kiện $P$ có nghĩa là $x\ge$ và $x\ne 1$

Rút gọn $P$

$P=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}\right)$$.\frac{{\left(1-x\right)}^2}{2}$

$=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{\sqrt{x}+2}{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}\right)$$.\frac{{\left(x-1\right)}^2}{2}$

$=\left(\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right){\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}-\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right){\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}\right)$$.\frac{{\left(x-1\right)}^2}{2}$

$=\frac{\left(x-\sqrt{x}-2\right)-\left(x+\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right){\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}$$.\frac{{\left(x-1\right)}^2}{2}$

$=\frac{-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-1\right)}.\frac{{\left(x-1\right)}^2}{2}$

$=\frac{-\sqrt{x}.\left(x-1\right)}{\sqrt{x}+1}$

$=\frac{-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}$

$=-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)$

$=\sqrt{x}\left(1-\sqrt{x}\right)$

b)

$P=\sqrt{x}\left(1-\sqrt{x}\right)$ với $x\ge 0,x\ne 1$

$P=-x+\sqrt{x}$

$P=-(x-\sqrt{x})$

$P=-\left(x-2\sqrt{x}.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}$

$P=-{\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}$

Vì ${\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)}^2\ge 0$

$\Rightarrow -{\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)}^2\le 0$

$\Rightarrow -{\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}\le \frac{1}{4}$

Hay $P\le \frac{1}{4}$

Dấu $“=”$ xảy ra khi $\sqrt{x}=\frac{1}{2}$ hay $x=\frac{1}{4}$ (thỏa mãn)

Vậy $P$ có giá trị lớn nhất bằng $\frac{1}{4}$ khi $x=\frac{1}{4}$

Bài 8 trang 194 SBT Toán 9 tập 2: Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số $y=-3x+4$

$\left(A\right)\left(0;\frac{4}{3}\right)$

$\left(B\right)\left(0;-\frac{4}{3}\right)$

$\left(C\right)\left(-1;-7\right)$

$\left(D\right)\left(-1;7\right)$

Phương pháp giải:

Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hàm số, nếu tọa độ điểm nào nghiệm đúng thì điểm đó thuộc đồ thị hàm số.

Lời giải:

Thay lần lượt các giá trị của $x$ và $y$ của các điểm ở các phương án $A,B,C,D$ vào đồ thị hàm số $y=-3x+4$ , điểm nào nghiệm đúng với hệ thức $y=-3x+4$ thì điểm đó thuộc đồ thị của hàm số trên. 

Ta có: $(-3)(-1)+4=3+4=7$

Suy ra điểm có tọa độ $(-1;7)$ thuộc đồ thị hàm số $y=-3x+4.$

Vậy chọn $\left(D\right)\left(-1;7\right)$

Bài 9 trang 194 SBT Toán 9 tập 2: Cho hàm số $y=\left(m-3\right)x.$

a) Với giá trị nào của $m$ thì hàm số đồng biến ? Nghịch biến ?

b) Xác định giá trị của $m$ để đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left(1;2\right)$.

c) Xác định giá trị của $m$ để đồ thị hàm số đi qua điểm $B\left(1;-2\right)$.

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số $y=ax+b,(a\ne 0)$ đồng biến khi $a>0$ và nghịch biến khi $a<0.$

Lời giải:

a)

Hàm số đồng biến khi hệ số $a=m-3>0$ hay $m>3$ và nghịch biến khi hệ số $a=m-3<0$ hay $m<3$.

b)

Điểm $A\left(1;2\right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=\left(m-3\right)x$ nên tọa độ điểm $A$ phải nghiệm đúng hệ thức $y=\left(m-3\right)x$ tức là $2=\left(m-3\right).1$ suy ra $m=5$. Ta có hàm số $y=2x.$

c)

Điểm $B\left(1;-2\right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=\left(m-3\right)x$ nên tọa độ điểm $B$ phải nghiệm đúng hệ thức $y=\left(m-3\right)x$ tức là $-2=\left(m-3\right).1$ suy ra $m=1$ . Ta có hàm số $y=-2x.$

Bài 10 trang 194 SBT Toán 9 tập 2: Nghiệm của hệ phương trình $\{\begin{array}{c}2x-y=3\\ -5x+6y=1\end{array}$ là cặp số :

$\left(A\right)\left(1;-1\right)$ 

$\left(B\right)\left(\sqrt{2};2\sqrt{2}-3\right)$

$\left(C\right)\left(1;1\right)$

$\left(D\right)\left(\frac{19}{7};\frac{17}{7}\right)$

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp cộng đại số: 

+) Bước $1:$ Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.

+) Bước $2:$ Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia).

Lời giải:

Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}2x-y=3\\ -5x+6y=1\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}12x-6y=18\\ -5x+6y=1\end{array}$$\iff \{\begin{array}{c}2x-y=3\\ 7x=19\end{array}$$\iff \{\begin{array}{c}y=2x-3\\ x=\frac{19}{7}\end{array}$$\iff \{\begin{array}{c}y=2.\frac{19}{7}-3\\ x=\frac{19}{7}\end{array}$$\iff \{\begin{array}{c}x=\frac{19}{7}\\ y=\frac{17}{7}\end{array}$

Suy ra hệ phương trình $\{\begin{array}{c}2x-y=3\\ -5x+6y=1\end{array}$ có nghiệm là $\iff \{\begin{array}{c}x=\frac{19}{7}\\ y=\frac{17}{7}\end{array}$

Vậy chọn $\left(D\right)\left(\frac{19}{7};\frac{17}{7}\right)$.

Bài 11 trang 194 SBT Toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình :

a) $\{\begin{array}{c}\frac{2}{x+y}+\frac{1}{x-y}=3\\ \frac{1}{x+y}-\frac{3}{x-y}=1\end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}3\sqrt{x}-2\sqrt{y}=-2\\ 2\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\end{array}$

Phương pháp giải:

Đưa về dạng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách đặt ẩn phụ.

Sử dụng phương pháp cộng đại số:

+) Bước $1:$ Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.

+) Bước $2:$ Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia).

Lời giải:

a)

Điều kiện $x\ne \pm y.$ Đặt $u=\frac{1}{x+y};v=\frac{1}{x-y}.$ Hệ phương trình trở thành : $\{\begin{array}{c}2u+v=3\\ u-3v=1\end{array}(\ast )$.

Giải hệ phương trình $(\ast )$ ta được :$\{\begin{array}{c}2u+v=3\\ u-3v=1\end{array}$$\Rightarrow \{\begin{array}{c}2u+v=3\\ 2u-6v=2\end{array}$$\Rightarrow \{\begin{array}{c}7v=1\\ u-3v=1\end{array}$$\Rightarrow \{\begin{array}{c}v=\frac{1}{7}\\ u=1+3.\frac{1}{7}\end{array}$ 

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}u=\frac{10}{7}\\ v=\frac{1}{7}\end{array}$$\Rightarrow \{\begin{array}{c}\frac{1}{x+y}=\frac{10}{7}\\ \frac{1}{x-y}=\frac{1}{7}\end{array}$$\iff \{\begin{array}{c}x+y=\frac{7}{10}\\ x-y=7\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}2x=\frac{77}{10}\\ y=x-7\end{array}$ 

$\iff \{\begin{array}{c}x=\frac{77}{20}\\ y=\frac{77}{20}-7\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}y=-\frac{63}{20}\\ x=\frac{77}{20}\end{array}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là : $\left(\frac{77}{20};-\frac{63}{20}\right).$

b)

Điều kiện $x⩾0;y⩾0.$ Đặt $\sqrt{x}=u\left(u⩾0\right),\sqrt{y}=v\left(v⩾0\right).$ Hệ phương trình trở thành :

$\{\begin{array}{c}3u-2v=-2\\ 2u+v=1\end{array}$$\iff \{\begin{array}{c}3u-2v=-2\\ 4u+2v=2\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}7u=0\\ 4u+2v=2\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}u=0\\ v=1\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}\sqrt{x}=0\\ \sqrt{y}=1\end{array}$$\Rightarrow \{\begin{array}{c}x=0(tm)\\ y=1(tm)\end{array}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\left(0;1\right).$

Bài 12 trang 194 SBT Toán 9 tập 2: Điểm $M\left(-2,5;0\right)$ thuộc đồ thị hàm số nào sau đây?

$\left(A\right)y=\frac{1}{5}{x}^2$

$\left(B\right)y=x^2$

$\left(C\right)y=5x^2$

$\left(D\right)$ Không thuộc cả ba đồ  thị các hàm số trên

Phương pháp giải:

Thay tọa độ điểm $M$ vào hàm số,

+) Nếu tọa độ điểm $M$ nghiệm đúng thì điểm $M$ thuộc đồ thị hàm số.

+) Nếu tọa độ điểm $M$ không thỏa mãn hàm số thì điểm $M$ không thuộc đồ thị hàm số.

Lời giải:

Điểm $M\left(-2,5;0\right)$ thuộc đồ thị hàm số nên ta thay tọa độ điểm $M$ vào các hàm số: 

$a)$ $y=\frac{1}{5}{x}^2$

Ta có: $\frac{1}{5}(-2,5{)}^2=\frac{5}{4}\ne 0$ nên điểm $M$ không thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{1}{5}{x}^2.$

$b)$ $y=x^2$

Ta có: $(-2,5{)}^2=6,25\ne 0$ nên điểm $M$ không thuộc đồ thị hàm số $y=x^2.$

$c)$$y=5x^2$

Ta có: $5.(-2,5{)}^2=31,25\ne 0$ nên điểm $M$ không thuộc đồ thị hàm số $y=5x^2.$

Suy ra điểm $M$ không thuộc đồ thị hàm số nào trong ba hàm số trên.

Vậy chọn $\left(D\right).$

Bài 13 trang 195 SBT Toán 9 tập 2: Cho phương trình $x^2-2x+m=0\left(1\right).$Với giá trị nào của $m$ thì phương trình $\left(1\right)$:

a) Có nghiệm $?$

b) Có hai nghiệm dương $?$

c) Có hai nghiệm trái dấu ?

Phương pháp giải:

+) Đối với phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và $b=2b^{\prime }$ biệt thức ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b^{\prime 2}-ac:$

$-$ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a},$$x_2=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}.$

$-$ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=-\frac{b^{\prime }}{a}.$

Lời giải:

a)

Phương trình $\left(1\right)$ có nghiệm nếu : ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=1-m⩾0$ hay $m⩽1.$

b)

Phương trình $\left(1\right)$ có hai nghiệm dương nếu

$\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta }}^{\prime }=1-m⩾0\\ P=x_1{x}_2=m>0\\ S=x_1+x_2=2>0(luônđúng)\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}m\le 1\\ m>0\end{array}$

$\iff 0<m⩽1.$

c)

Phương trình $\left(1\right)$ có hai nghiệm trái dấu nếu :

$P=x_1.x_2=m<0.$

Bài 14 trang 195 SBT Toán 9 tập 2: Lập một phương trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm là $\frac{1}{10-\sqrt{72}}$ và $\frac{1}{10+6\sqrt{2}}$
Phương pháp giải:

Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ (với $S^2\ge 4P)$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình $x^2-Sx+P=0.$

Lời giải:

+)  Tổng của hai nghiệm là $S=x_1+x_2=\frac{1}{10-\sqrt{72}}$$+\frac{1}{10+6\sqrt{2}}$$=\frac{1}{10-\sqrt{72}}+\frac{1}{10+\sqrt{72}}$

$=\frac{10+\sqrt{72}+10-\sqrt{72}}{{10}^2-{\left(\sqrt{72}\right)}^2}$$=\frac{20}{28}.$

+) Tích hai nghiệm là $P=x_1.x_2=\frac{1}{10-\sqrt{72}}.\frac{1}{10+6\sqrt{2}}$$=\frac{1}{28}.$

Nhận thấy $S^2={\left(\frac{20}{28}\right)}^2>\frac{4}{28}=4P$

Nên phương trình phải tìm là :$x^2-\frac{20}{28}x+\frac{1}{28}=0$ hay $28x^2-20x+1=0.$

 

Bài 15 trang 195 SBT Toán 9 tập 2: Giải các phương trình sau :

a) $5x^4-3x^2+\frac{7}{16}=0$

b) $12x^4-5x^2+30=0$

Phương pháp giải:

+) Đưa về phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ.

+) Đối với phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac:$

$-$ Nếu $\mathrm{\Delta }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a},$$x_2=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}.$

$-$ Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

a)

Đặt $x^2=u.$ Điều kiện $u\ge 0.$ Phương trình trở thành $5u^2-3u+\frac{7}{16}=0(\ast ).$

Giải phương trình $(\ast )$ :

$\mathrm{\Delta }=(-3{)}^2-\mathrm{4.5.}\frac{7}{16}=9-\frac{35}{4}=\frac{1}{4}$

Suy ra $\sqrt{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow u_1=\frac{3+\frac{1}{2}}{2.5}=\frac{7}{20}$(thỏa mãn)

$u_2=\frac{3-\frac{1}{2}}{2.5}=\frac{1}{4}$(thỏa mãn)

+) $u_1=\frac{7}{20}$$\Rightarrow x^2=\frac{7}{20}$$\Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{7}{20}}.$

+) $u_2=\frac{1}{4}$$\Rightarrow x^2=\frac{1}{4}$$\Rightarrow x=\pm \frac{1}{2}$

Vậy phương trình đã cho có $4$ nghiệm $x_1=\sqrt{\frac{7}{20}};$ $x_2=-\sqrt{\frac{7}{20}};$ $x_3=\frac{1}{2};$ $x_4=-\frac{1}{2}$

b)

Đặt $x^2=u.$ Điều kiện $u\ge 0.$ Phương trình trở thành $12u^2-5u+30=0\left(\ast \ast \right).$

Giải phương trình $\left(\ast \ast \right)$ :

$\mathrm{\Delta }=(-5{)}^2-\mathrm{4.12.30}$$=25-1440=-1415<0$

Suy ra phương trình $(\ast \ast )$ vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 16 trang 195 SBT Toán 9 tập 2: Một tam giác có chiều cao bằng $\frac{3}{4}$ cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm $3dm$ và cạnh đáy giảm đi $2dm$ thì diện tích của hình đó tăng thêm $12d{m}^2.$ Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác đó.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Cách giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :

Bước 1: Lập hệ phương trình

+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết

+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.

Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.

Lời giải:

+) Gọi chiều cao và cạnh đáy của tam giác ban đầu lần lượt là $x\left(dm\right)$ và $y\left(dm\right)$$\left(y>x;x,y>0\right).$

Ta có diện tích tam giác bằng $\frac{1}{2}xy$

Vì chiều cao bằng $\frac{3}{4}$ cạnh đáy nên ta có phương trình: $x=\frac{3}{4}y$

Nếu chiều cao tăng thêm $3dm$ và cạnh đáy giảm đi $2dm$ thì diện tích của hình tam giác mới là $\frac{1}{2}\left(x+3\right)\left(y-2\right)$ (với $y>2)$ và diện tích mới này tăng $12d{m}^2$ so với diện tích ban đầu nên ta có phương trình: $\frac{1}{2}\left(x+3\right)\left(y-2\right)=\frac{1}{2}xy+12$

Từ đó, ta có hệ phương trình :

$\{\begin{array}{c}x=\frac{3}{4}y\\ \frac{1}{2}\left(x+3\right).\left(y-2\right)=\frac{1}{2}xy+12\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x-\frac{3}{4}y=0\\ \frac{1}{2}\left(xy-2x+3y-6\right)=\frac{1}{2}xy+12\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x-\frac{3}{4}y=0\\ \frac{1}{2}xy-x+\frac{3}{2}y-3=\frac{1}{2}xy+12\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x-\frac{3}{4}y=0\\ x-\frac{3}{2}y=-15\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}\frac{3}{4}y=15\\ x-\frac{3}{2}y=-15\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}y=20\\ x-\frac{3}{2}.20=-15\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x=15(thỏamãn)\\ y=20(thỏamãn)\end{array}$

 

Vậy chiều cao và cạnh đáy của tam giác ban đầu lần lượt là $15dm;20dm.$

Bài 17 trang 195 SBT Toán 9 tập 2: Một ôtô đi từ $A$ đến $B$ với một vận tốc xác định. Nếu vận tốc tăng thêm $30km/h$ thì thời gian đi sẽ giảm 1 giờ. Nếu vận tốc giảm bớt $15km/h$ thì thời gian đi tăng thêm $1$ giờ. Tính vận tốc và thời gian đi từ $A$ đến $B$ của ôtô.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Cách giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :

Bước 1: Lập hệ phương trình

+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết

+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.

Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.

Lời giải:

+) Gọi vận tốc của ôtô là $x\left(km/h\right)\left(x>0\right)$ và thời gian đi của ôtô là $y\left(h\right)\left(y>0\right).$

Quãng đường $AB$ là: $xy$ (km)

Nếu vận tốc tăng thêm $30km/h$ thì thời gian đi sẽ giảm 1 giờ nên ta có phương trình: $\left(x+30\right)\left(y-1\right)=xy$

Nếu vận tốc giảm bớt $15km/h$ thì thời gian đi tăng thêm $1$ giờ nên ta có phương trình: $\left(x-15\right)\left(y+1\right)=xy$ $(ĐK:x>15)$

Theo đề bài, ta có hệ phương trình :

$\{\begin{array}{c}\left(x+30\right)\left(y-1\right)=xy\\ \left(x-15\right)\left(y+1\right)=xy\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}xy-x+30y-30=xy\\ xy+x-15y-15=xy\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x-30y=-30\\ x-15y=15\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}15y=45\\ x=15y+15\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}y=3\\ x=15.3+15\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x=60(tm)\\ y=3(tm)\end{array}.$

Vậy vận tốc và thời gian đi của của ôtô lần lượt là $60\left(km/h\right);3\left(h\right).$

Bài 18 trang 195 SBT Toán 9 tập 2: Tìm hai số có tổng bằng $20$ và tổng các bình phương của chúng bằng $208.$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

$-$ Cách giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn :

Bước 1: Lập hệ phương trình

+ Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết

+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.

Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.

$-$ Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình $x^2-Sx+P=0.$

Lời giải:

Gọi hai số cần tìm là $x$ và $y$. Không mất tính tổng quát, giả sử $x\ge y.$

Vì hai số có tổng bằng $20$ nên ta có phương trình: $x+y=20$

Vì tổng các bình phương của hai số đó bằng $208$ nên ta có phương trình: $x^2+y^2=208$

Từ đó, ta có hệ phương trình :

$\{\begin{array}{c}x+y=20\left(1\right)\\ x^2+y^2=208\end{array}$

Từ phương trình $\left(1\right)$ ta suy ra ${\left(x+y\right)}^2={20}^2$ hay $x^2+y^2+2xy=400$$\Rightarrow 2xy=400-(x^2+y^2)$$\Rightarrow 2xy=400-208$

$\Rightarrow 2xy=192$$\Rightarrow xy=96$

Do đó ta có hệ: $\{\begin{array}{c}x+y=20\\ xy=96\end{array}$

Suy ra các số là $x$ và $y$ là nghiệm của phương trình $X^2-20X+96=0.$

Giải phương trình này, ta có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={10}^2-96=4>0$

$\Rightarrow X_1=10+2=12;$$X_2=10-2=8.$

từ đó ta có nghiệm $x=12;y=8.$

Vậy hai số cần tìm là $12$ và $8.$