Lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (mới 2023 + bài tập) hay, chi tiết – Toán 9

Toán 9 Bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

A. Lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

I. Khái niệm về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a’x + b’y = c’. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:

    

    + Nếu hai phương trình có nghiệm chung là (x₀; y₀) thì (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (I).

    + Nếu hai phương trình không có nghiệm chung thì hệ phương trình (I) vô nghiệm.

    + Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

II. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a’x + b’y = c’. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:

    

Gọi (d) và (d’) là đồ thị hàm số của 2 hàm số rút ra từ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn của (I).

Đối với hệ phương trình (I), ta có:

Nếu (d) cắt (d’) thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất.

Nếu (d) song song với (d’) thì hệ (I) vô nghiệm.

Nếu (d) trùng với (d’) thì hệ (I) có vô số nghiệm.

Ví dụ: Xét hệ phương trình 

Do 3x – 2y = -6 ⇔ y = (3/2)x + 3 nên tập nghiệm của phương trình thứ nhất được biểu diễn bởi đường thẳng (d₁): y = (3/2)x + 3.

Tương tự, tập nghiệm của phương trình thứ hai được biểu diễn bởi đường thẳng

Hai đường thẳng (d₁) và (d₂) có tung độ gốc khác nhau và cùng hệ số góc là 3/2 nên song song với nhau, chúng không có điểm chung. Khi đó hệ đã cho vô nghiệm.

III. Hệ phương trình tương đương

Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Ta dùng kí hiệu “⇔” để chỉ sự tương đương của hai hệ phương trình.

Ví dụ: hai hệ phương trình tương đương là

B. Bài tập tự luận

Câu 1: Cho hai hệ phương trình  (I) và  (II) . Hỏi hai hệ này có tương đương nhau không?

Lời giải

Xét hệ  (I) có (1; 0) là một cặp nghiệm của hệ (I)

Nhưng với cặp nghiệm (1; 0) lại không phải là nghiệm của hệ  (II)

Khi đó hai hệ này không tương đương với nhau (dù cả hai hệ đều có vô số nghiệm)

Câu 2: Tìm giá trị a để hai hệ phương trình sau tương đương  và  biết hệ (I) có cặp nghiệm là (x; y) = (2; 1)

Lời giải

Hệ (I) và (II) tương đương nhau nên nghiệm của hệ (I) cũng là nghiệm của hệ (II)

Khi đó ta có:  ⇔ a = 1

Vậy giá trị a cần tìm là a = 1