Toán 9 Bài 4: Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau
A. Lý thuyết Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau
I. Đường thẳng song song.
Hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) song song với nhau khi và chỉ khi a = a’, b ≠ b’ và trùng nhau khi và chỉ khi a = a’, b = b’
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x và đồ thị hàm số y = 2x + 3. Nhận xét gì về hai đồ thị hàm số trên ?
Nhận xét: Ta thấy đồ thị hàm số y = 2x và đồ thị hàm số y = 2x + 3 có a = a’ = 2 và b ≠ b’ (0 ≠ 3) nên hai đồ thị trên song song với nhau.
Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để hai đường thẳng y = 2x + 3 và y = (m – 1)x + 2 song song với nhau?
Giải:
Theo đề bài ta có: b ≠ b’ vì 3 ≠ 2
Để hai đường thẳng song song thì 2 = m – 1 hay m = 3
Vậy giá trị m cần tìm là m = 3
II. Đường thẳng cắt nhau.
Hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) cắt nhau khi và chỉ khi a ≠ a’
Chú ý: Khi a ≠ a’ và b = b’ thì hai đường thẳng có cùng tung độ gốc, do đó chúng cắt nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ là b.
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x và đồ thị hàm số y = x + 1. Nhận xét gì về hai đồ thị trên ?
* Xét hàm số y = 2x
Cho x = 1 ta được: A(1;2)
Đồ thị hàm số y =2x đi qua O(0; 0) và A.
*Xét hàm số y = x + 1
Cho x = -1 ta được B (-1; 0)
Cho x = 1 ta được: A (1;2)
Đồ thị hàm số y = x + 1 đi qua A và B.
Nhận xét: Ta thấy đồ thị hàm số y = 2x và đồ thị hàm số y = x + 1 có a ≠ a’ (2 ≠ 1) nên hai đồ thị trên cắt nhau.
Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để hai đường thẳng y = mx + 1 và y = (3m – 4)x – 2 cắt nhau.
Giải:
Để hai đường thẳng đã cho cắt nhau thì
m ≠ 3m – 4 ⇔ -2m ≠ -4 ⇔ m ≠ 2
Vậy giá trị m cần tìm là .
B. Bài tập tự luận
Câu 1: Xác định các hệ số a và b để đường thẳng y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2 và song song với đường thẳng OA, trong đó O là góc tọa độ và điểm A(2; 1)
Lời giải
* Đường thẳng OA đi qua gốc tọa độ O(0;0) nên phương trình đường thẳng có dạng: y= ax.
Câu 2: Với những giá trị nào của m thì đồ thị các hàm số y = 2x+(m+3) và y = 3x+(5-m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung ?
Lời giải
Giả sử đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau tại điểm A(0; a) nằm trên trục tung.
* Điểm A thuộc đồ thị hàm số y = 2x + (m + 3) nên:
a = 2.0 + (m + 3) hay a = m + 3 (1)
* Điểm A thuộc đồ thị hàm số y = 3x + (5 – m ) nên
a = 3.0 + (5 – m) hay a = 5 – m (2)
* Từ (1) và (2) suy ra: m + 3 = 5 – m
⇔ 2m = 2 ⇔ m = 1