Giải Toán 9 Bài 9: Căn bậc ba

Giải bài tập Toán 9 Bài 9: Căn bậc ba

Trả lời câu hỏi giữa bài 

Trả lời câu hỏi 1 trang 35 SGK Toán 9 Tập 1 :Tìm căn bậc ba của mỗi số sau:

a) 27

b) -64

c) 0

d) $\frac{1}{125}$

Phương pháp giải:

Căn bậc ba của số $a$ là số thực $x$ sao cho $x^3=a$

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{\left(3^3\right)}=3$

b) $\sqrt[3]{\left(-64\right)}=\sqrt[3]{{\left(-4\right)}^3}=-4$

c) $\sqrt[3]{0}=0$

d) $\sqrt[3]{\frac{1}{125}}=\sqrt[3]{{\left(\frac{1}{5}\right)}^3}=\frac{1}{5}$

Trả lời câu hỏi 2 trang 36 SGK Toán 9 Tập 1 :Tính $\sqrt[3]{1728}:\sqrt[3]{64}$ theo hai cách.

Phương pháp giải: 

Cách 1: Tính từng căn bậc ba rồi thực hiện phép tính chia

Cách 2: Sử dụng tính chất $\sqrt[3]{A}:\sqrt[3]{B}=\sqrt[3]{\frac{A}{B}}$ với $B\ne 0.$

Lời giải:

Cách 1: $\sqrt[3]{1728}:\sqrt[3]{64}=12:4=3$

Cách 2: $\sqrt[3]{1728}:\sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{\frac{1728}{64}}$$=\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3$

Bài tập ( trang 36 SGK Toán 9) 

Bài 67 trang 36 SGK Toán 9 Tập 1 :Hãy tìm

$\sqrt[3]{512};\sqrt[3]{-729};\sqrt[3]{0,064},\sqrt[3]{-0,216};\sqrt[3]{-0,008}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: Với mọi $x$, ta có:    $\sqrt[3]{x^3}=x$.

 Lời giải:
Ta có:

+ $\sqrt[3]{512}=\sqrt[3]{8^3}=8;$

+ $\sqrt[3]{-729}=\sqrt[3]{(-9{)}^3}=-9;$

+ $\sqrt[3]{0,064}=\sqrt[3]{0,4^3}=0,4;$

+ $\sqrt[3]{-0,216}=\sqrt[3]{(-0,6{)}^3}=-0,6;$

+ $\sqrt[3]{-0,008}=\sqrt[3]{(-0,2{)}^3}=-0,2.$

Bài 68 trang 36 SGK Toán 9 Tập 1 :Tính:

a) $\sqrt[3]{27}-\sqrt[3]{-8}-\sqrt[3]{125}$

b)  $\frac{\sqrt[3]{135}}{\sqrt[3]{5}}-\sqrt[3]{54}.\sqrt[3]{4}$

a) Phương pháp giải:

Tính từng căn bậc ba rồi thực hiện phép tính

Lời giải:

$\sqrt[3]{27}-\sqrt[3]{-8}-\sqrt[3]{125}=\sqrt[3]{3^3}-\sqrt[3]{(-2{)}^3}-\sqrt[3]{5^3}$

$=3-(-2)-5$

$=3+2-5=0$.

b) Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

$\sqrt[3]{a.b}=\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}$.

$\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$,  với $b\ne 0$.

Lời giải:

$\frac{\sqrt[3]{135}}{\sqrt[3]{5}}-\sqrt[3]{54}.\sqrt[3]{4}=\frac{\sqrt[3]{27.5}}{\sqrt[3]{5}}-\sqrt[3]{54.4}$

$=\frac{\sqrt[3]{5}.\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{5}}-\sqrt[3]{216}$

$=\sqrt[3]{27}-\sqrt[3]{216}$

$=\sqrt[3]{3^3}-\sqrt[3]{6^3}$

$=3-6=-3$.

Bài 69 trang 36 SGK Toán 9 Tập 1 :So sánh

a) $5$ và $\sqrt[3]{123}$ ;

b) $5\sqrt[3]{6}$ và $6\sqrt[3]{5}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất của căn bậc ba:

            + $a<b\iff \sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}$.

            + $(\sqrt[3]{a}{)}^3=a$.

Lời giải:

a) Ta có: $5=\sqrt[3]{5^3}=\sqrt[3]{125}$

Vì $125>123\iff \sqrt[3]{125}>\sqrt[3]{123}$   

                        $\iff 5>\sqrt[3]{123}$

Vậy $5>\sqrt[3]{123}$. 

b) Ta có:

$\begin{array}{l}+)5\sqrt[3]{6}=\sqrt[3]{5^3.6}=\sqrt[3]{125.6}=\sqrt[3]{750}\\ +)6\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{6^3.5}=\sqrt[3]{216.5}=\sqrt[3]{1080}\end{array}$

Vì $750<1080\iff \sqrt[3]{750}<\sqrt[3]{1080}$

                          $\iff 5\sqrt[3]{6}<6\sqrt[3]{5}$.

Vậy $5\sqrt[3]{6}<6\sqrt[3]{5}$. 

Lý thuyết Bài 9: Căn bậc ba

1. Định nghĩa 

+ Căn bậc ba của một số a là số x sao cho $x^3=a$

+ Căn bậc ba của số a được kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$

Như vậy ${\left(\sqrt[3]{a}\right)}^3=a$

Mọi số thực đều có căn bậc ba.

2. Các tính chất

a) $a<b\iff \sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}$

b) $\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}$

c) Với b ≠ 0, ta có $\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$

3. Áp dụng 

Từ các tính chất trên, ta cũng có các quy tắc đưa thừa số vào trong, ra ngoài dấu căn bậc ba, quy tắc khử mẫu của biểu thức lấy căn bậc ba và quy tắc trục căn bậc ba ở mẫu:

a) $a\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{a^{3}b}$

b) $\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a{b}^2}}{b}$

c) Áp dụng hằng đẳng thức $\left(A\pm B\right)\left(A^2\mp AB+B^2\right)=A^3\pm B^3$, ta có:

$\begin{array}{rl}& \left(\sqrt[3]{a}\pm \sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a^2}\mp \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\right)\\ & ={\left(\sqrt[3]{a}\right)}^3\pm {\left(\sqrt[3]{b}\right)}^3=a\pm b\end{array}$

 Do đó

$\begin{array}{rl}& \frac{M}{\sqrt[3]{a}\pm \sqrt[3]{b}}\\ & =\frac{M\left(\sqrt[3]{a^2}\mp \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\right)}{\left(\sqrt[3]{a}\pm \sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a^2}\mp \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\right)}\\ & =\frac{M\left(\sqrt[3]{a^2}\mp \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\right)}{a\pm b}\end{array}$

4. Các dạng toán cơ bản

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức 

Sử dụng: ${\left(\sqrt[3]{a}\right)}^3=\sqrt[3]{a^3}=a$ 

Ví dụ: $\sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{4^3}=4$

Dạng 2: So sánh các căn bậc ba

Sử dụng: $a<b\iff \sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}$

Ví dụ: So sánh 3 và $\sqrt[3]{26}$

Ta có: $3=\sqrt[3]{27}$ mà $26<27$ nên $\sqrt[3]{26}<\sqrt[3]{27}\iff \sqrt[3]{26}<3$

Dạng 3: Giải phương trình chứa căn bậc ba

Sử dụng: $\sqrt[3]{A}=B\iff A=B^3$

Ví dụ: 

$\begin{array}{l}\sqrt[3]{x-1}=2\\ \iff x-1=2^3\\ \iff x-1=8\\ \iff x=9\end{array}$