Giải SGK Toán 9 Ôn tập chương 1 Hình học

Giải bài tập Toán lớp 9 Ôn tập chương 1 Hình học

Trả lời câu hỏi giữa bài

Câu hỏi 1 trang 91 Toán lớp 9 tập 1: Hãy viết hệ thức giữa:

a) Cạnh huyền, cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền;

b) Các cạnh góc vuông p, r và đường cao h;

c) Đường cao h và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền p’, r’

Lời giải:

a)

Xét tam giác PQR vuông tại Q có đường cao h

Ta có:

${\mathrm{p}}^2=\mathrm{p}‘.\mathrm{q}{\mathrm{r}}^2=\mathrm{r}‘.\mathrm{q}$

b)

Xét tam giác giác PQR vuông tại Q có đường cao h

Ta có:

$\frac{1}{{\mathrm{h}}^2}=\frac{1}{{\mathrm{p}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{r}}^2}$

c)

Xét tam giác giác PQR vuông tại Q có đường cao h

Ta có: ${\mathrm{h}}^2=\mathrm{p}‘.\mathrm{r}‘$

Câu hỏi 2 trang 91 Toán lớp 9 tập 1: Cho hình 37.

a) Hãy viết công thức tính các tỉ số lượng giác của góc $\alpha$;

b) Hãy viết hệ thức giữa các tỉ số lượng giác của góc $\alpha$ và các tỉ số lượng giác của góc $\beta$.

Lời giải:

a)

Xét tam giác ABC vuông tại A

AB = c, AC = b, BC = a,

Ta có:

$\mathrm{sin\alpha }=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\mathrm{cos\alpha }=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\mathrm{tan\alpha }=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}\mathrm{cot\alpha }=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}$

b)

Xét tam giác ABC vuông tại A

AB = c, AC = b, BC = a, $\widehat{\mathrm{B}}=\mathrm{\alpha }, \widehat{\mathrm{C}}=\mathrm{\beta }$

Có $\mathrm{\alpha }+\mathrm{\beta }={90}^{\mathrm{o}}$ nên $\alpha$ và $\beta$ là hai góc phụ nhau

Do đó ta có:

$\mathrm{sin\beta }=\mathrm{cos\alpha }=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\mathrm{cos\beta }=\mathrm{sin\alpha }=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\mathrm{tan\beta }=\mathrm{cot\alpha }=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\mathrm{cot\beta }=\mathrm{tan\alpha }=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}$

Câu hỏi 3 trang 91 Toán lớp 9 tập 1: Xem hình 37.

a) Hãy viết công thức tính các cạnh góc vuông b và c theo cạnh huyền a và tỉ số lượng giác của các góc $\mathrm{\alpha }, \mathrm{\beta }$:

b) Hãy viết công thức tính mỗi cạnh góc vuông theo cạnh góc vuông kia và tỉ số lượng giác của các góc $\alpha$, $\beta$.

Lời giải:

a)

Xét tam giác ABC vuông tại A

AB = c, AC = b, BC = a, $\widehat{\mathrm{B}}=\mathrm{\alpha }, \widehat{\mathrm{C}}=\mathrm{\beta }$,

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc của tam giác vuông ta có:

$\mathrm{b}=\mathrm{asin\alpha }=\mathrm{acos\beta }\mathrm{c}=\mathrm{asin\beta }=\mathrm{acos\alpha }$

b)

Xét tam giác ABC vuông tại A

AB = c, AC = b, BC = a, $\widehat{\mathrm{B}}=\mathrm{\alpha }, \widehat{\mathrm{C}}=\mathrm{\beta }$,

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc của tam giác vuông ta có:

$\mathrm{b}=\mathrm{ctan\alpha }=\mathrm{c}.\mathrm{cot\beta }\mathrm{c}=\mathrm{btan\beta }=\mathrm{bcot\alpha }$

Câu hỏi 4 trang 92 Toán lớp 9 tập 1: Để giải một tam giác vuông, cần biết ít nhất mấy góc và cạnh? Có lưu ý gì về số cạnh ?

Lời giải:

Để giải một tam giác vuông cần biết một cạnh và một góc hoặc biết 2 trong 3 cạnh của tam giác vuông.

Lưu ý: Để giải một tam giác vuông ta cần biết ít nhất một yếu tố là cạnh.

Bài tập (trang 93; 94; 95; 96)

Bài 33 trang 93 Toán lớp 9 tập 1: Chọn kết quả đúng trong các kết quả dưới đây:

a) Trong hình 41, sin $\alpha$ bằng

(A) $\frac{5}{3}$

(B) $\frac{5}{4}$

(C) $\frac{3}{5}$

(D) $\frac{3}{4}$

b) Trong hình 42, sin Q bằng

(A) $\frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{RS}}$

(B) $\frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{QR}}$

(C) $\frac{\mathrm{PS}}{\mathrm{SR}}$

(D) $\frac{\mathrm{SR}}{\mathrm{QR}}$

c) Trong hình 43, $\cos {30}^0$ bằng

(A) $\frac{2\mathrm{a}}{\sqrt{3}}$

(B) $\frac{\mathrm{a}}{\sqrt{3}}$

(C) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(D) $2\sqrt{3}{\mathrm{a}}^2$

Lời giải:

a) Xét tam giác vuông trong hình 41, ta có:

$\mathrm{sin\alpha }=\frac{3}{5}$

Do đó ta chọn đán án (C)

b)

Xét tam giác PRQ vuông tại R

Ta có: $\mathrm{sinQ}=\frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{PQ}}$

Xét tam giác QRS vuông tại S

Ta có: $\mathrm{sinQ}=\frac{\mathrm{RS}}{\mathrm{RQ}}$

Do đó ta chọn đáp án (D)

c)

Xét tam giác vuông trong hình 43

Ta có:

$\cos {30}^{\mathrm{o}}=\frac{\sqrt{3}\mathrm{a}}{2\mathrm{a}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Do đó ta chọn đáp án (C)

Bài 34 trang 93, 94 Toán lớp 9 tập 1: a) Trong hình 44, hệ thức nào trong các hệ thức sau là đúng?

(A) $\mathrm{sin\alpha }=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}$

(B) $\mathrm{cot\alpha }=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}$

(C) $\mathrm{tan\alpha }=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}}$

(D) $\mathrm{cot\alpha }=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}}$

b) Trong hình 45, hệ thức nào trong các hệ thức sau không đúng ?

(A) ${\sin }^2\mathrm{\alpha }+{\cos }^2\mathrm{\alpha }=1$

(B) $\mathrm{sin\alpha }=\mathrm{cos\beta }$

(C) $\mathrm{cos\beta }=\sin ({90}^{\mathrm{o}}-\mathrm{\alpha })$

(D) $\mathrm{tan\alpha }=\frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}$

Lời giải:

a)

Xét tam giác vuông trong hình 44

Ta có:

$\mathrm{sin\alpha }=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\mathrm{tan\alpha }=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}}\mathrm{cot\alpha }=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$

Do đó ta chọn đáp án (C)

b)

Xét tam giác vuông trong hình 45

Ta có:

${\sin }^2\mathrm{\alpha }+{\cos }^2\mathrm{\alpha }=1$ (đã được chứng minh)

$\mathrm{\beta }+\mathrm{\alpha }={90}^{\mathrm{o}}\Rightarrow \mathrm{sin\alpha }=\mathrm{cos\beta }$ (tính chất của tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau)

$\mathrm{tan\alpha }=\frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}$ (đã được chứng minh)

Ta có: $\mathrm{\beta }={90}^{\mathrm{o}}-\mathrm{\alpha }$ và $\mathrm{\beta }\ne \mathrm{\alpha }$

$\Rightarrow \mathrm{cos\beta }\ne \mathrm{sin\beta }\Rightarrow \mathrm{cos\beta }\ne \sin ({90}^{\mathrm{o}}-\mathrm{\alpha })$ 

Do đó ta chọn đáp án (C)

Bài 35 trang 94 Toán lớp 9 tập 1: Tỉ số giữa hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông bằng 19 : 28. Tìm các góc của nó.

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A như hình trên

Ta có:

$\mathrm{tanB}=\mathrm{tan\beta }=\frac{28}{19}\Rightarrow \mathrm{\beta }={55}^{\mathrm{o}}50‘$

Mặt khác ta có:

$\widehat{\mathrm{C}}+\widehat{\mathrm{B}}={90}^{\mathrm{o}}\Rightarrow \mathrm{\alpha }=\widehat{\mathrm{C}}={90}^{\mathrm{o}}-{55}^{\mathrm{o}}50‘={34}^{\mathrm{o}}10‘$

Bài 36 trang 94 Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác có một góc bằng ${45}^0$. Đường cao chia một cạnh kề với góc đó thành các phần 20cm và 21cm. Tính cạnh lớn trong hai cạnh còn lại (lưu ý có hai trường hình 46 và hình 47).

Lời giải:

*Trường hợp hình 46:

Xét tam giác ABH vuông tại H

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

${\mathrm{AB}}^2={\mathrm{BH}}^2+{\mathrm{AH}}^2$

Xét tam giác ACH vuông tại H

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

${\mathrm{AC}}^2={\mathrm{CH}}^2+{\mathrm{AH}}^2$ (1)

Ta có: BH < CH (do 20cm < 21cm)

$\Rightarrow {\mathrm{BH}}^2<{\mathrm{CH}}^2\Rightarrow {\mathrm{AB}}^2<{\mathrm{AC}}^2\Rightarrow \mathrm{AB}<\mathrm{AC}$

Do đó cạnh lớn hơn là AC

Xét tam giác ABH vuông tại H

$\widehat{\mathrm{AHB}}={90}^{\mathrm{o}}\widehat{\mathrm{ABH}}={45}^{\mathrm{o}}\Rightarrow \widehat{\mathrm{BAH}}={90}^{\mathrm{o}}-{45}^{\mathrm{o}}={45}^{\mathrm{o}}$

Do đó tam giác ABH vuông cân tại H (hai góc ở đáy $\widehat{\mathrm{ABH}}=\widehat{\mathrm{BAH}}={45}^{\mathrm{o}}$)

$\Rightarrow \mathrm{AH}=\mathrm{BH}=20\mathrm{cm}$

Từ (1) ta có: ${\mathrm{AC}}^2={\mathrm{CH}}^2+{\mathrm{AH}}^2={21}^2+{20}^2=841$

$\Rightarrow \mathrm{AC}=\sqrt{841}=29$ (cm)

*Trường hợp hình 47:

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

${\mathrm{AB}}^2={\mathrm{BH}}^2+{\mathrm{AH}}^2$ (2)

Xét tam giác ACH vuông tại H

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

${\mathrm{AC}}^2={\mathrm{CH}}^2+{\mathrm{AH}}^2$

Ta có: BH > CH (do 21cm > 20cm)

$\Rightarrow {\mathrm{BH}}^2>{\mathrm{CH}}^2\Rightarrow {\mathrm{AB}}^2>{\mathrm{AC}}^2\Rightarrow \mathrm{AB}>\mathrm{AC}$

Do đó cạnh lớn hơn là AB

Xét tam giác ABH vuông tại H

$\widehat{\mathrm{AHB}}={90}^{\mathrm{o}}\widehat{\mathrm{ABH}}={45}^{\mathrm{o}}\Rightarrow \widehat{\mathrm{BAH}}={90}^{\mathrm{o}}-{45}^{\mathrm{o}}={45}^{\mathrm{o}}$

Do đó tam giác ABH vuông cân tại H (hai góc ở đáy $\widehat{\mathrm{ABH}}=\widehat{\mathrm{BAH}}={45}^{\mathrm{o}}$)

$\Rightarrow \mathrm{AH}=\mathrm{BH}=21\mathrm{cm}$

Từ (2) ta có:

${\mathrm{AB}}^2={\mathrm{BH}}^2+{\mathrm{AH}}^2={21}^2+{21}^2=882\Rightarrow \mathrm{AB}=\sqrt{882}=21\sqrt{2}$

Bài 37 trang 94 Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác đó.

b) Hỏi rằng điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nằm trên đường nào ?

Lời giải:

a)

Xét tam giác ABC

Có:

${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2=6^2+4,5^2=56,25{\mathrm{BC}}^2=7,5^2=56,25\Rightarrow {\mathrm{BC}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2$

Do đó tam giác ABC vuông tại A (định lí Py-ta-go đảo)

Xét tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

$\mathrm{sinB}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}=\frac{4,5}{7,5}=\frac{3}{5}\Rightarrow \widehat{\mathrm{B}}={36}^{\mathrm{o}}52‘\mathrm{sinC}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{6}{7,5}=\frac{4}{5}\Rightarrow \widehat{\mathrm{C}}={53}^{\mathrm{o}}8‘$

Áp dụng hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông ta có:

$\frac{1}{{\mathrm{AH}}^2}=\frac{1}{{\mathrm{AB}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{AC}}^2}=\frac{1}{6^2}+\frac{1}{4,5^2}=\frac{25}{324}\Rightarrow {\mathrm{AH}}^2=\frac{324}{25}\Rightarrow \mathrm{AH}=\sqrt{\frac{324}{25}}=3,6 \left(\mathrm{cm}\right)$

b)

Lấy điểm M bất kì, kẻ $\mathrm{MK}\perp \mathrm{BC}$ tại K

Diện tích của tam giác MBC là: ${\mathrm{S}}_{\mathrm{\Delta MBC}}=\frac{1}{2}\mathrm{MK}.\mathrm{BC}$

Diện tích của tam giác ABC là: ${\mathrm{S}}_{\mathrm{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}\mathrm{AH}.\mathrm{BC}$

Để diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC thì

$\frac{1}{2}\mathrm{MK}.\mathrm{BC}=\frac{1}{2}\mathrm{AH}.\mathrm{BC}\iff \mathrm{MK}=\mathrm{AH}=3,6 \left(\mathrm{cm}\right)$

hay M cách BC một khoảng không đổi bằng AH.

Vậy tập hợp các điểm M là hai đường thẳng song song với BC và cách BC một khoảng bằng 3,6cm.

Bài 38 trang 95 Toán lớp 9 tập 1: Hai chiếc thuyến A và B ở vị trí được minh họa như trong hình 48. Tính khoảng cách giữa chúng (làm tròn đến mét).

Lời giải:

Xét tam giác BIK vuông tại I

$\widehat{\mathrm{BKI}}=\widehat{\mathrm{IKA}}+\widehat{\mathrm{AKB}}={50}^{\mathrm{o}}+{15}^{\mathrm{o}}={65}^{\mathrm{o}}$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

$\mathrm{BI}=\mathrm{IK}.\tan \widehat{\mathrm{BKI}}=380.\tan {65}^{\mathrm{o}}\approx 815$ (m)

Xét tam giác AIK vuông tại I

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

$\mathrm{AI}=\mathrm{IK}.\tan \widehat{\mathrm{AKI}}=380.\tan {50}^{\mathrm{o}}\approx 453$ (m)

Do đó khoảng cách giữa hai thuyền là:

$\mathrm{AB}=\mathrm{BI}-\mathrm{AI}=815-453=362$ (m)

Bài 39 trang 95 Toán lớp 9 tập 1: Tìm khoảng cách giữa hai cọc để căng dây vượt qua vực trong hình 49 (làm tròn đến mét).

Lời giải:

Kí hiệu như hình vẽ. 

Xét tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}.\tan \widehat{\mathrm{ACB}}=20.\tan {50}^{\mathrm{o}}\approx 24$ (m)

$\Rightarrow \mathrm{BD}=\mathrm{AB}-\mathrm{AD}=24-5=19$

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{CA}\perp \mathrm{BA}\\ \mathrm{HD}\perp \mathrm{BA}\end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{CA}//\mathrm{DH}$

 $\Rightarrow \widehat{\mathrm{BHD}}=\widehat{\mathrm{BCA}}={50}^{\mathrm{o}}$ (hai góc đồng vị)

Xét tam giác BDH vuông tại D

$\mathrm{BD}=\mathrm{BH}.\sin \widehat{\mathrm{BHD}}\Rightarrow \mathrm{BH}=\frac{\mathrm{BD}}{\sin \widehat{\mathrm{BHD}}}=\frac{19}{\sin {50}^{\mathrm{o}}}\approx 25 \left(\mathrm{cm}\right)$

Do đó, khoảng cách giữa hai cọc là: BH = 25m

Bài 40 trang 95 Toán lớp 9 tập 1: Tính chiều cao của cây trong hình 50 (làm tròn đến đêximét).

Lời giải:

Kí hiệu như hình vẽ.

Xét tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

$\mathrm{CA}=\mathrm{AH}.\tan \widehat{\mathrm{CBA}}=30.\tan {35}^{\mathrm{o}}\approx 21$ (m)

Do đó, chiều cao của cây là:

CH = CA + AH = 21 + 1,7 = 22,7 (m) = 227 dm

Bài 41 trang 96 Toán lớp 9 tập 1: Tam giác ABC vuông tại C có AC = 2cm, BC = 5cm, $\widehat{\mathrm{BAC}}=\mathrm{x}$, $\widehat{\mathrm{ABC}}=\mathrm{y}$. Dùng các thông tin sau (nếu cần) để tìm x – y:

$\sin {23}^{\mathrm{o}}36‘\approx 0,4\cos {66}^{\mathrm{o}}24‘\approx 0,4\tan {21}^{\mathrm{o}}48‘\approx 0,4$

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại C

Ta có:

$\mathrm{tanB}=\mathrm{tany}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}=\frac{2}{5}=0,4\Rightarrow \mathrm{y}\approx {21}^{\mathrm{o}}48‘\widehat{\mathrm{C}}+\widehat{\mathrm{B}}={90}^{\mathrm{o}}\Rightarrow \widehat{\mathrm{C}}=\mathrm{x}={90}^{\mathrm{o}}-{21}^{\mathrm{o}}48‘={68}^{\mathrm{o}}12‘$

Do đó, $\mathrm{x}-\mathrm{y}={68}^{\mathrm{o}}12‘-{21}^{\mathrm{o}}48‘={46}^{\mathrm{o}}24‘$

Bài 42 trang 96 Toán lớp 9 tập 1: Ở một cái thang dài 3m người ta ghi: “Để đảm bảo an toàn khi dùng thang, phải đặt thang này tạo với mặt đất một góc có độ lớn từ ${60}^0$ đến ${70}^0$”. Đo góc thì khó hơn đo độ dài. Vậy hãy cho biết: Khi dùng thang đó chân thang phải đặt cách tường khoảng bao nhiêu mét để đảm bảo an toàn ?

Lời giải:

Kí hiệu như hình vẽ. BC là thang.

Xét tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông ta có:

$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}.\mathrm{cosC}=3.\mathrm{cosC}$

Theo đề bài ta có:

${60}^{\mathrm{o}}\le \widehat{\mathrm{C}}\le {70}^{\mathrm{o}}$

Với $\widehat{\mathrm{C}}={60}^{\mathrm{o}}$ ta có: $\mathrm{AC}=3.\cos {60}^{\mathrm{o}}=\frac{3}{2}=1,5$ (m)

Với $\widehat{\mathrm{C}}={70}^{\mathrm{o}}$ ta có: $\mathrm{AC}=3.\cos {70}^{\mathrm{o}}=1,03$ (m)

Do đó, khi dùng thang đó, chân thang phải đặt cách chân tường một khoảng từ 1,03m đến 1,5m để đảm bảo an toàn.

Bài 43 trang 96 Toán lớp 9 tập 1:Vào khoảng năm 200 trước Công Nguyên, Ơratôxten, một nhà toán học và thiên văn học Hi Lạp, đã ước lượng được “chu vi” của Trái Đất (chu vi đường Xích Đạo) nhờ hai quan sát sau:

1) Một ngày trong năm, ông ta để ý thấy Mặt Trời chiếu thẳng các đáy giếng ở thành phố Xy-en (nay gọi là At-xu-an), tức là tia sáng chiếu thẳng đứng.

2) Cùng lúc đó ở thành phố A-lếch-xăng-đri-a cách Xy-en 800km, một tháp cao 25m có bóng trên mặt đất dài 3,1m.

Từ hai quan sát trên, em hãy tính xấp xỉ “chu vi” của Trái Đất.

(Trên hình 51 điểm S tượng trưng cho thành phố Xy-en, điểm A tượng trưng cho thành phố A-lếch-xăng-đri-a, bóng của tháp trên mặt đất được coi là đoạn thẳng AB).

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A.

AC = 25m, AB = 3,1m

Ta có:

$\mathrm{tanC}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{3,1}{25}\approx 0,124\Rightarrow \widehat{\mathrm{C}}\approx 7,{07}^{\mathrm{o}}$

Các tia sáng được coi là song song với nhau hay BC // SO nên ta có:

$\widehat{\mathrm{BCA}}=\widehat{\mathrm{COS}}=7,{07}^{\mathrm{o}}$ (hai góc so le trong)

Theo đề bài thì Thành phố Xy-en nằm ở vị trí điểm S và thánh phố A-lếch-xăng-đria nằm ở vị trí điểm A nên SA = 800km, mà số đo cả đường tròn (trái đất) là ${360}^0$ nên chu vi Trái Đất là:

$800.\frac{360}{7,07}\approx 40736$ (km)