Giải SGK Toán 9 Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (tiếp theo)

Giải bài tập Toán lớp 9 Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (tiếp theo)

Trả lời câu hỏi giữa bài

Câu hỏi 1 trang 23 Toán 9 Tập 2: Giải hệ phương trình (II) bằng cách đặt ẩn phụ  rồi trả lời bài toán đã cho.

Lời giải:

(II) $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{3}{2}.\frac{1}{y}\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{24}\end{array}\right.$. Đặt $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=u\\ \frac{1}{y}=v\end{array}\right.$

 Khi đó hệ phương trình (II) trở thành

$\left\{\begin{array}{l}u=\frac{3}{2}v\\ u+v=\frac{1}{24}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}u=\frac{3}{2}v\\ \frac{3}{2}v+v=\frac{1}{24}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}u=\frac{3}{2}v\\ \frac{5}{2}v=\frac{1}{24}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}u=\frac{3}{2}v\\ v=\frac{1}{24}:\frac{5}{2}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}u=\frac{3}{2}v\\ v=\frac{1}{60}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}u=\frac{3}{2}.\frac{1}{60}\\ v=\frac{1}{60}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}u=\frac{1}{40}\\ v=\frac{1}{60}\end{array}\right.$

Thay u = $\frac{1}{x}$; v =$\frac{1}{y}$ khi đó ta được:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{40}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{60}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=40\\ y=60\end{array}\right.$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số ngày đội A làm một mình xong đoạn đường là 40 ngày.

Số ngày đội B làm một mình xong đoạn đường là 60 ngày.

Câu hỏi 2 trang 23 Toán 9 Tập 2: Hãy giải bài toán trên bằng cách khác (gọi x là số phần công việc làm trong một ngày của đội A; y là số phần công việc làm trong một ngày của đội B). Em có nhận xét gì về cách giải này ?

Lời giải:

Gọi x là số phần công việc làm trong 1 ngày của đội A

y là số phần công việc làm trong 1 ngày của đội B

Điều kiện (x > 0; y > 0)

Một ngày cả hai đội làm được $\frac{1}{24}$ công việc nên ta có phương trình:

x + y = $\frac{1}{24}$ (công việc) (1)

Mỗi ngày phần việc của đội A gấp rưỡi đội B nên ta có phương trình

x = $\frac{3}{2}y$ (công việc) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}x+y=\frac{1}{24}\\ x=\frac{3}{2}y\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}y\\ \frac{3}{2}y+y=\frac{1}{24}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}y\\ \frac{5}{2}y=\frac{1}{24}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}y\\ y=\frac{1}{24}:\frac{5}{2}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}y\\ y=\frac{1}{60}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}.\frac{1}{60}\\ y=\frac{1}{60}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{40}\\ y=\frac{1}{60}\end{array}\right. \left(tm\right)$

Trong 1 ngày, đội A làm được $\frac{1}{40}$ công việc nên đội A làm 1 mình sẽ hoàn thành công việc trong 40 ngày

Trong 1 ngày, đội B làm được $\frac{1}{60}$ công việc nên đội B làm 1 mình sẽ hoàn thành công việc trong 60 ngày

Nhận xét:

Ở cách giải này thì chúng ta không cần đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình

Bài tập (trang 23; 24)

Bài 31 trang 23 SGK Toán 9 Tập 2: Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 cm², và nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm 4cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 cm².

Lời giải

Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông (x > 2, y > 4).

Diện tích tam giác ban đầu là $\frac{1}{2}xy$ (cm²)

+ Tăng mỗi cạnh lên 3cm thì tam giác vuông mới có độ dài 2 cạnh là x + 3(cm) và y + 3 (cm)

Diện tích tam giác mới là: $\frac{1}{2}\left(x+3\right)\left(y+3\right)$ (cm²)

Vì diện tích tăng thêm 36cm² nên ta có phương trình:

$\frac{1}{2}xy+36=\frac{1}{2}\left(x+3\right)\left(y+3\right)\iff xy+72=\left(x+3\right)\left(y+3\right)\iff xy+72=xy+3x+3y+9\iff 3x+3y=72-9$

$\iff 3x+3y=63\iff x+y=21 \left(1\right)$

+ Giảm một cạnh 2cm và giảm cạnh kia 4cm thì tam giác vuông mới có 2 cạnh là : x – 2 (cm) và y – 4 (cm).

Diện tích tam giác mới là: $\frac{1}{2}\left(x-2\right)\left(y-4\right)$ (cm²).

Diện tích giảm đi 26cm² nên ta có phương trình

$\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}\left(x-2\right)\left(y-4\right)+26\iff xy=\left(x-2\right)\left(y-4\right)+52\iff xy=xy-2y-4x+8+52\iff 4x+2y=60\iff 2x+y=30 \left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}x+y=21\\ 2x+y=30\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left(2x+y\right)-\left(x+y\right)=30-21\\ x+y=21\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+y-x-y=9\\ x+y=21\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=9\\ 9+y=21\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=9\\ y=21-9\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=9\\ y=12\end{array}\right.\left(tmđk\right)$

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó lần lượt là 9cm và 12cm.

Bài 32 trang 23 SGK Toán 9 Tập 2: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau $4\frac{4}{5}$ giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau $\frac{6}{5}$ giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể?

Lời giải:

Đổi 4$\frac{4}{5}$(h) =$\frac{24}{5}\left(h\right)$

Gọi thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x (h)

Gọi thời gian để vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là y (h)

$\left(x>\frac{24}{5};y>\frac{24}{5}\right)$

+ Một giờ vòi thứ nhất chảy được: $\frac{1}{x}$( bể )

+ Một giờ vòi thứ hai chảy được: $\frac{1}{y}$( bể )

+ Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau $\frac{24}{5}$ giờ đầy bể nên một giờ cả hai vòi chảy được: $1:\frac{24}{5}=\frac{5}{24}$ (bể)

$\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{24} \left(1\right)$

+ Nếu ban đầu mở vòi 1 và 9 giờ sau mở thêm vòi 2 thì sau  $\frac{6}{5}$(h) đầy bể. Khi đó, thời gian vòi 1 chảy là : $9+\frac{6}{5}=\frac{51}{5}$ (h) và thời gian vòi 2 chảy là $\frac{6}{5}$ (h).

Ta có phương trình:

$\frac{51}{5}.\frac{1}{x}+\frac{6}{5}.\frac{1}{y}=1$

$\iff \frac{51}{x}+\frac{6}{y}=5$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{24}\\ \frac{51}{x}+\frac{6}{y}=5\end{array}\right.$ (I). Đặt $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=a\\ \frac{1}{y}=b\end{array}\right.$ khi đó hệ phương trình (I) trở thành

$\left\{\begin{array}{l}a+b=\frac{5}{24}\\ 51a+6b=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{5}{24}-b\\ 51.\left(\frac{5}{24}-b\right)+6b=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{5}{24}-b\\ 10,625-51b+6b=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{5}{24}-b\\ -45b=5-10,625\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{5}{24}-b\\ -45b=-5,625\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{5}{24}-b\\ b=\left(-5,625\right):\left(-45\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{5}{24}-b\\ b=\frac{1}{8}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{5}{24}-\frac{1}{8}\\ b=\frac{1}{8}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{12}\\ b=\frac{1}{8}\end{array}\right.$

Thay a = $\frac{1}{x}$; b = $\frac{1}{y}$ ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{12}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{8}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=12\\ y=8\end{array}\right.$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy vòi thứ hai chảy một mình thì sau 8h sẽ đầy bể.

Bài 33 trang 24 SGK Toán 9 Tập 2: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?

Lời giải:

Gọi thời gian để người thứ nhất và người thứ hai một mình hoàn thành công việc lần lượt là x (giờ) và y (giờ). (Điều kiện x, y > 16).

Đổi 25% công việc = $\frac{1}{4}$ công việc

Trong một giờ, người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ (công việc); người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ (công việc).

+ Vì cả hai người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong 16 giờ nên ta có phương trình $16.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1$

$\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16} \left(1\right)$

+ Vì người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì hoàn thành $\frac{1}{4}$ công việc nên ta có phương trình $3.\frac{1}{x}+6.\frac{1}{y}=\frac{1}{4}$(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}16.\frac{1}{x}+16.\frac{1}{y}=1\\ 3.\frac{1}{x}+6.\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\end{array}\right.$

 Đặt $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=a\\ \frac{1}{y}=b\end{array}\right.$ khi đó hệ phương trình ban đầu trở thành:

$\left\{\begin{array}{l}16a+16b=1\\ 3a+6b=\frac{1}{4}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a+b=\frac{1}{16}\\ a+2b=\frac{1}{12}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left(a+2b\right)-\left(a+b\right)=\frac{1}{12}-\frac{1}{16}\\ a+b=\frac{1}{16}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a+2b-a-b=\frac{1}{48}\\ a+b=\frac{1}{16}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{1}{48}\\ a+\frac{1}{48}=\frac{1}{16}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{24}\\ b=\frac{1}{48}\end{array}\right.$

Thay a =$\frac{1}{x}; b=\frac{1}{y}$ khi đó ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{24}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{48}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=24\\ y=48\end{array}\right. \left(tmđk\right)$

Vậy nếu làm riêng người thứ nhất hoàn thành công việc trong 24h, người thứ hai hoàn thành công việc trong 48h.

Luyện tập trang 24, 25

Bài 34 trang 24 SGK Toán 9 Tập 2: Nhà Lan có một mảnh vườn trồng rau cải bắp. Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Lan tính rằng: Nếu tăng thêm 8 luống rau, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây. Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số rau toàn vườn sẽ tăng thêm 32 cây. Hỏi vườn nhà Lan trồng bao nhiêu cây rau cải bắp?

Lời giải

Gọi x là số luống rau, y là số cây mỗi luống.

Điều kiện x > 4, y > 3; x,y ∈ N^*

Số cây trong vườn là: x.y (cây)

+ Nếu tăng 8 luống và mỗi luống ít hơn 3 cây thì số luống là x + 8 (luống), số cây mỗi luống là y – 3 (cây)

Do đó tổng số cây trong vườn là (x + 8)(y – 3) cây.

Vì số cây trong vườn ít đi 54 cây nên ta có phương trình:

(x + 8)(y – 3) = xy – 54

⇔ xy – 3x + 8y – 24 = xy – 54

⇔ xy – 3x + 8y – xy = –54 + 24

⇔ -3x + 8y = –30

⇔ 3x – 8y = 30 (1)

+ Nếu giảm 4 luống và mỗi luống tăng thêm 2 cây thì số luống là x – 4 (luống) và số cây mỗi luống là y + 2 (cây).

Do đó số cây trong vườn là: (x – 4)(y + 2) cây

Vì số cây trong vườn tăng thêm 32 cây nên ta có phương trình:

(x – 4)(y + 2) = xy + 32

⇔ xy – 4y + 2x – 8 = xy + 32

⇔ 2x – 4y = 40

$\iff x-2y=20$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}3x-8y=30\\ x-2y=20\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3x-8y=30\\ 3x-6y=60\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left(3x-8y\right)-\left(3x-6y\right)=30-60\\ x-2y=20\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3x-8y-3x+6y=-30\\ x-2y=20\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-2y=-30\\ x-2y=20\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=\left(-30\right):\left(-2\right)\\ x-2y=20\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=15\\ x-2.15=20\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-30=20\\ y=15\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=50\\ y=15\end{array}\right.\left(tmđk\right)$

Vậy số rau cải bắp nhà Lan trồng là : 15.50 = 750 cây.

Bài 35 trang 24 SGK Toán 9 Tập 2: (Bài toán cổ Ấn Độ). Số tiền mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm là 107 rupi. Số tiền mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi. Hỏi giá mỗi quả thanh yên và mỗi quả táo rừng thơm là bao nhiêu rupi?

Lời giải

Gọi x (rupi) là giá tiền mỗi quả thanh yên.

Gọi y (rupi) là giá tiền mỗi quả táo rừng thơm.

Điều kiện x > 0, y > 0.

Vì mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm hết 107 rupi nên ta có phương trình:

9x + 8y = 107  (1).

Vì mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi nên ta có phương trình:

7x + 7y = 91 ⇔ x + y = 13   (2)

Từ (1) và (2) có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}9x+8y=107\\ x+y=13\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}9x+8y=107\\ 9x+9y=117\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left(9x+8y\right)-\left(9x+9y\right)=107-117\\ x+y=13\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}9x+8y-9x-9y=-10\\ x+y=13\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-y=-10\\ x+y=13\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+10=13\\ y=10\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=10\end{array}\right. \left(tmđk\right)$

Vậy giá mỗi quả thanh yên là 3 rupi và giá mỗi quả táo rừng thơm là 10 rupi.

Bài 36 trang 24 SGK Toán 9 Tập 2: Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm. Kết quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bị mờ không đọc được (đánh dấu *):

Điểm số của mỗi lần bằng	10	9	8	7	6
Số lần bắn	25	42	*	15	*

Em hãy tìm lại các số trong hai ô đó.

Lời giải:

Gọi số lần bắn đạt điểm 8 là x, số lần bắn đạt điểm 6 là y.

Điều kiện x, y ∈ N; x < 18, y < 18.

Tổng số lần bắn là 100 nên ta có:

25 + 42 + x + 15 + y = 100

⇔ x + y + 82 = 100

$\Rightarrow x+y=18$ (1)

Điểm trung bình là:

$\frac{10.25+9.42+8.x+7.15+6y}{100}=\frac{8x+6y+733}{100}$

Vì điểm trung bình bằng 8,69 nên ta có phương trình:

$\frac{8x+6y+733}{100}=8,69\iff 8x+6y+733=100.8,69\iff 8x+6y=869-733\iff 8x+6y=136\iff 4x+3y=68 \left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}x+y=18\\ 4x+3y=68\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3x+3y=54\\ 4x+3y=68\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left(4x+3y\right)-\left(3x+3y\right)=54\\ x+y=18\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}4x+3y-3x-3y=68-54\\ x+y=18\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=14\\ x+y=18\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=14\\ x+14=18\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=14\\ y=4\end{array}\right.$

Vậy số lần bắn đạt 8 điểm là 14 và số lần bắn đạt 6 điểm là 4.

Bài 37 trang 24 SGK Toán 9 Tập 2: Hai vật chuyển động đều trên một con đường tròn đường kính 20cm, xuất phát cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây chúng lại gặp nhau. Nếu chuyển động ngược chiểu thì cứ sau 4 giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật.

Lời giải

Gọi vận tốc của vật thứ nhất là x(cm/s), vận tốc của vật thứ hai là y(cm/s)

Giả sử vật thứ nhất đi nhanh hơn vật thứ hai.

Điều kiện x > y > 0.

Chu vi vòng tròn là : 20.π (cm)

Quãng đường vật thứ nhất đi được trong 20s là 20x (cm)

Quãng đường vật thứ hai đi được trong 20s là 20y (cm)

Khi chuyển động cùng chiều, cứ 20 giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là quãng đường 2 vật đi được trong 20 giây chênh lệch nhau đúng bằng 1 vòng tròn. Nên ta có phương trình: 20x – 20y = 20π   (1).

Quãng đường vật thứ nhất đi được trong 4s là 4x (cm)

Quãng đường vật thứ hai đi được trong 4s là 4y (cm)

Khi chuyển động ngược chiều, cứ 4 giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là tổng quãng đường hai vật đi được trong 4 giây là đúng 1 vòng tròn nên ta có phương trình: 4x + 4y = 20π   (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy vận tốc của hai vật lần lượt là $3\mathrm{\pi }$ và $2\mathrm{\pi }$.

Bài 38 trang 24 SGK Toán 9 Tập 2: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ 2 trong 12 phút thì chỉ được $\frac{2}{15}$ bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu?

Lời giải

Gọi x (phút), y (phút) lần lượt là thời gian vòi thứ nhất, vòi thứ hai chảy một mình để đầy bể.

(Điều kiện: x, y > 80 )

Trong 1 phút vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ bể; vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{y}$ bể.

Sau 1 giờ 20 phút = 80 phút, cả hai vòi cùng chảy thì đầy bể nên ta có phương trình:

$80\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1$

$\iff \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{80}$ (1)

Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút thì lượng nước vòi thứ nhất chảy được so với bể là: 10.$\frac{1}{x}$ (bể)

Nếu mở vòi thứ hai trong 12 phút thì lượng nước vòi thứ hai chảy được so với bể là: 12.$\frac{1}{y}$ (bể)

Khi đó cả hai vòi chả được $\frac{2}{15}$ bể nên ta có phương trình:

$\frac{10}{x}+\frac{12}{y}=\frac{2}{15}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{80}\\ \frac{10}{x}+\frac{12}{y}=\frac{2}{15}\end{array}\right.$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=u\\ \frac{1}{y}=v\end{array}\right.$ khi đó phương trình trở thành

$\left\{\begin{array}{l}u+v=\frac{1}{80}\\ 10u+12v=\frac{2}{15}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}10u+10v=\frac{1}{8}\\ 10u+12v=\frac{2}{15}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left(10u+12v\right)-\left(10u-10v\right)=\frac{2}{15}-\frac{1}{8}\\ u+v=\frac{1}{80}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}10u+12v-10u-10v=\frac{1}{120}\\ u+v=\frac{1}{80}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2v=\frac{1}{120}\\ u+v=\frac{1}{80}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}v=\frac{1}{120}:2\\ u=\frac{1}{80}-v\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}v=\frac{1}{240}\\ u=\frac{1}{80}-\frac{1}{240}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}u=\frac{1}{120}\\ v=\frac{1}{240}\end{array}\right.$

Thay u = $\frac{1}{x};v=\frac{1}{y}$ khi đó ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{120}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{240}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=120\\ y=240\end{array}\right.\left(tm\right)$

Đổi 120 phút = 2h

240 phút = 4h

Vậy nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy trong 2h sẽ đầy bể; vòi thứ hai chảy trong 4h sẽ đầy bể.

Bài 39 trang 25 SGK Toán 9 Tập 2: Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đố với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?

Lời giải

Giả sử giá của loại hàng thứ nhất và thứ hai không tính VAT lần lượt là x, y

(x, y > 0, triệu đồng; x < 2,17, y < 2,17)

Nếu áp dụng mức thuế VAT 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai thì :

+ Giá mặt hàng thứ nhất tính cả thuế VAT là: x + 10%.x = x + 0,1x = 1,1x

+ Giá mặt hàng thứ hai tính cả thuế VAT là: y + 8%.y = y + 0,08y = 1,08y.

Mà số tiền người đó phải trả là 2,17 triệu đồng nên ta có phương trình: 1,1x + 1,08y = 2,17   (1)

Nếu áp dụng mức thuế VAT 9% đối với cả hai loại hàng thì :

+ Giá mặt hàng thứ nhất tính cả thuế VAT là : x + 9%.x = x + 0,09x = 1,09x

+ Giá mặt hàng thứ hai tính cả thuế VAT là : y + 9%.y = y + 0,09y = 1,09y.

Mà số tiền người đó phải trả là 2,18 triệu đồng nên ta có phương trình:

1,09x + 1,09y = 2,18  ⇔ x + y = 2   (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :

$\left\{\begin{array}{l}1,1x+1,08y=2,17\\ x+y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}1,1x+1,08y=2,17\\ y=2-x\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}1,1x+1,08\left(2-x\right)=2,17\\ y=2-x\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}1,1x+2,16-1,08x=2,17\\ y=2-x\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}0,02x=2,17-2,16\\ y=2-x\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}0,02x=0,01\\ y=2-x\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=0,01;0,02\\ y=2-x\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=0,5\\ y=2-0,5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=0,5\\ y=1,5\end{array}\right.$

Vậy nếu không tính thuế người đó phải trả cho mặt hàng thứ nhất là 0,5 triệu đồng, mặt hàng thứ hai là 1,5 triệu đồng.